Neste capítulo iremos buscar formas de "retalhar"a superfície em caixas de fluxo nas quais o fluxo poderá ser suavizado. Os resultados principais aqui apresentados são as proposições 4.1 e 4.2; porém antes iremos precisar de alguma terminologia.
Definição 4.1. (µ-coordenadas) Seja σ um segmento orientado e fechado, começando em a e terminando em b. Uma medida µ na álgebra de Borel de σ será chamada de medida distinguida em σ se 0 < µ(σ) < ∞ e a aplicação h : σ −→ [0, µ(σ)] dada por h(x) = µ(ax) for um homeomorfismo, onde ax é um subsegmento de σ com extremos a e x. Esta aplicação h será chamada de µ-homeomorfismo de σ.
Seja Σ = {σi}i∈I tal que as componentes conexas de cada σi, com i ∈ I, são círculos ou
segmentos. Diremos que µ é uma medida distinguida na família Σ se, para todo i ∈ I, e todo segmento orientado e fechado λ ⊂ σi tivermos que µ|λ é uma medida distinguida em λ.
Quando a família tem apenas um termo então identificamos a família com este termo. Seja B uma caixa de fluxo de ϕ tendo lados transversais A1 e A2 (note que, por definição,
não temos singularidades no interior de B). Seja τ : A1 −→ A2 a Aplicação de Poincaré
induzida por ϕ|B(restrição de ϕ a B). Suponha também que {A1, A2} é provido com a medida
distinguida µ. Denotemos por h1 e h2 os µ-homeomorfismos de A1 e A2 respectivamente. A
aplicação τ da caixa de fluxo B é dita µ-suave (respectivamente µ-C1) se a expressão µ-
coordenada de τ dada por e
τ = h2◦ τ ◦ h−11 : [0, µ(A1)] −→ [0, µ(A2)],
for suave (respectivamente de classe C1). Veja a figura (4.1).
A1 A2 B h1 h2 e τ 0 0 µ(A1) µ(A2) Figura 4.1
Sejam f e g : I −→ IR aplicações suaves, onde I é um intervalo de IR. Definimos kf k0= sup{|f (x)|; x ∈ I}
e para k ∈ IN,
kf kk= max{kf k0, kf′k0, ..., kf(k)k0}.
Dado ǫ > 0, dizemos que a aplicação f está ǫ-próxima de g, na topologia Ck, se
kf − gkk≤ ǫ.
Sejam T e Γ como na proposição 3.1, temos então a seguinte definição.
Definição 4.2. (τ -Seqüências) Fixemos τ ∈ {T, T−1}. Uma seqüência finita Σ =
{Σ1, Σ2, ..., Σn} de segmentos abertos de Γ, dois a dois disjuntos, é chamada de τ -seqüência
se quaisquer dois termos consecutivos Σi e Σi+1 desta seqüência satisfazem τ (Σi) = Σi+1.
Seja Σ = {Σ1, Σ2, ..., Σn} uma τ -seqüência, então:
(a) Σ é dita atratora se τn(Σ
1) ⊂ Σ1, τn|Σ1 admite extensão contínua a Σ1 e esta extensão
tem um único ponto fixo que é um atrator e está situado em um dos extremos de Σ1.
(b) Σ é dita periódica se τ (Σn) = Σ1 e cada ponto p ∈ Σ1 for um ponto fixo de τn.
(c) Σ é dita errante se Σ1 for ϕ-errante.
(d) Quando Σ é atratora, o segmento semi-aberto Σ1− τ (Σn−1) será chamado um domínio
51 Σ1 Σ2 Σ3 D Σn ...
Figura 4.2: τ -seqüência atratora. D é o domínio fundamental.
(e) A união de todos os termos de Σ será denotada por span(Σ).
Lema 4.1. Diante às condições e notações do Teorema de Estrutura 3.1 e corolário 3.1, suponhamos que Ωl+1, Ωl+2, ..., Ωl+v sejam conjuntos minimais não-triviais de ϕ. Dado i ∈
{l+1, l+2, ..., l+v}, se Vi1 (respectivamente V (−1)
i ) denota a união dos segmentos transversais
de ∂(Rec(Ci)) por onde as trajetórias entram (respectivamente saem) em Rec(Ci) e eµ é uma
medida distinguida em V1 i ∪V
(−1)
i , o "portão"de Rec(Ci), então existe uma medida distinguida
µ em Ci estendendo eµ e tal que, em µ-coordenadas,
Ti|(C
i−Vi(−1))
: (Ci− Vi(−1)) −→ Ci
é de classe C1 e tem derivada igual a 1 em todos os extremos das componentes conexas de
Ci− Vi(−1) (onde Ti é Aplicação de Poincaré).
Demonstração: Segue do Teorema de Estrutura e do corolário 3.1 que : 1. V1
i e V (−1)
i têm o mesmo número de componentes conexas (fechadas). Também, se
Vδ
i1, Vi2δ, ..., Visδi denotam as componentes conexas (fechadas) de V
δ
i (δ ∈ {1, −1}) então,
para todo (n, j) ∈ IN × {1, 2, ..., si}, a aplicação Tnδ está definida em Vijδ. Veja a figura
(4.3).
Seja Bio conjunto dos elementos [a, b] ∈ A(Ci) tais que [a, b]* Dom(Ti). Dado [a, b] ∈ Bi,
existem seqüências {pn} e {qn} em Ci tais que pn −→ a e qn −→ b; consideremos também
o disco Dpnqn associado à terna (pn, qn, ∼) (conforme na definição 3.1). Definamos D[a, b] =
∩∞
n=1Dpnqn. Observemos que devem haver singularidades no interior de D[a, b].
Afirmamos que Bi é finito. De fato, se Bi fosse infinito, existiria p ∈ Ci que é ponto de
Vi11 Vi1(−1) V1 i2 Vi2(−1) Ωi Rec(Ωi) Figura 4.3: V1 i = Vi11 ∪ Vi21 e V (−1) i = V (−1) i1 ∪ V (−1) i2 .
intervalo aberto A ⊂ Dom(Ti) tal que p ∈ A (pois Dom(Ti) é aberto); o que é absurdo pois
Bi∩ A seria não vazia; e assim concluímos que p /∈ Dom(Ti). Por outro lado p é acumulado
por pontos de γ ∩ Ci (pois p é acumulado pelos extremos dos intervalos de Bi que por sua
vez são acumulados por pontos de γ ∩ Ci) e como γ ∩ Ci ⊂ Dom(Ti) (pois γ é recorrente
não-trivial) temos que p ∈ Dom(Ti), que é uma contradição. Assim Bi é finito.
Escrevamos agora Bi como sendo a união de subconjuntos disjuntos Bi1, Bi2, ... ,Bik
tais que cada Bij (com j = 1, 2, ..., k) é maximal com relação a propriedade que todos os seus elementos pertencem à mesma TC-órbita (vide definição 3.1). Para cada j (com j = 1, 2, ..., k),
existe [aj, bj] ∈ Bij e um número natural nj tal que
Bij ⊂ {TC[aj, bj], TC2[aj, bj], ..., T nj−1
C [aj, bj]}.
De forma semelhante à feita na definição de relação de equivalência podemos achar se- qüências {pn} e {qn} tais que pn−→ aj e qn−→ bj e com estas seqüências podemos encontrar
discos abertos eDpnqn tais que eDpnqn contêm todos os elementos de B
j
i e os lados horizontais
de eDpnqn são os arcos de trajetória
y pnTnj(pn) e y qnTnj(qn). Sejam eD[aj, bj] = ∩∞n=1Depnqn e K = ∪ k
j=1D[ae j, bj]; donde temos que K é compacto.
Sendo assim, é possível construir um círculo transversal eC, disjunto de K. Com isso, é possível encontrarmos intervalos de eC onde a aplicação T não esteja definida negativamente (aqui chamados de V1
i ) e intervalos de eC onde a aplicação T não esteja definida positivamente
(aqui chamados de Vi(−1)). As outras classes de equivalência em A( eC) são formadas por intervalos fechados (abaixo chamaremos alguns destes intervalos de Zj onde j varia em um
conjunto J ⊂ IN) para os quais a aplicação T está bem definida.
2. Existe J ⊂ IN e uma família de subintervalos fechados {Zj}j∈J de Ci− (Vi1∪ V (−1) i ), não
reduzida a pontos, tal que para todo (n, j) ∈ ZZ × J, a aplicação Tn está definida em Z j
e a família {Tn(Z
j), Tmδ(Vikδ); n ∈ ZZ, j ∈ J, m ∈ IN ∪ {0}, δ ∈ {1, −1}, k ∈ {1, 2, ..., si}} é
53 Suponhamos agora que M é um toro, que Rec(Ci) = M (em particular Dom(Ti) = Ci) e
que J = {1}. Neste caso, por Denjoy [4], existe uma medida µ em Ci tal que :
3. µ(Ci) = 1, µ(Ci− ∪n∈ZZTn(Z1)) = 0 e Ti: Ci −→ Ci é µ − C1.
Quando J ⊂ IN for arbitrário (pelos ítens 1 e 2), a mesma idéia pode ser usada para construir uma medida µ em Ci estendendo eµ e satisfazendo este lema.
A demonstração do lema seguinte pode ser vista em [27] e [22].
Lema 4.2. Se p é ponto interior do conjunto dos pontos não-errantes de ϕ, então p pertence ao fecho do conjunto dos pontos recorrentes de ϕ.
No lema seguinte denotaremos por A o conjunto das τ -seqüências atratoras, por P o conjunto das τ -seqüências periódicas e por W o conjunto das τ -seqüências errantes.
Lema 4.3. Com as condições e notações do Teorema de Estrutura e da proposição 3.1, suponha que i ∈ {1, 2, ..., l} (respectivamente i ∈ {l + 1, l + 2, ..., l + v}) se, e somente se, Ωi ∩ Ci = Ci (respectivamente Ωi é um conjunto minimal não-trivial de ϕ). Dado
σ ∈ {A, P, W } existe um conjunto de seqüências Aσ = {σ1, σ2, ..., σn, ...}, no máximo enu-
merável, tal que:
(i) Cada Ai(respectivamente Pi) é uma Tδi-seqüência atratora (respectivamente Tǫi-seqüência
periódica) com δi ∈ {−1, 1} (respectivamente ǫi ∈ {−1, 1}). Cada Wi é um intervalo
aberto errante.
(ii) Se i 6= j então span(σi) ∩ span(σj) = ∅ e
h ∪nTn(Wi) i ∩h∪nTn(Wj) i = ∅.
(iii) O fecho do conjunto ∪i,j(span(Ai)∪ span(Pj)) é uma vizinhança do conjunto dos pontos
de Γ que pertencem às órbitas fechadas de ϕ.
(iv) O conjunto ∪kWk é disjunto dos conjuntos ∪i,j[(span(Ai) − Di) ∪ span(Pj)], ∪lt=1∪n
Tn(C
t) e ∪l+vr=l+1[(Rec(Cr) − Gr) ∩ Γ]; onde Di denota o domínio de Ai e Gr denota o
portão de Rec(Ci).
(v) A união dos conjuntos ∪i,j(span(Ai) ∪ span(Pj)), ∪k∪nTn(Wk), ∪lt=1∪nTn(Ct) e
∪l+vr=l+1(Rec(Cr) ∩ Γ) é um conjunto aberto e denso de Γ.
(vi) Para todo Ai ∈ AA e todo r ∈ {l + 1, l + 2, ..., l + v} o conjunto ∪k ∪nTn(Wk) não
intersecta o conjunto {extremos de Di} nem o conjunto
{extremos das componentes conexas de Gr}.
Demonstração: Seja AP (respectivamente AA) um conjunto tal que: λ ∈ AP (respecti-
1. Qualquer elemento de λ é uma Tδ-seqüência periódica (respectivamente atratora), com
δ ∈ {−1, 1}. Mais ainda, qualquer par λk, λj ∈ λ satisfaz que span(λk) ∩ span(λj) = ∅.
Seja σ ∈ {P, A}. Se Aσ 6= ∅, a inclusão de conjuntos "⊂"determina uma relação de ordem
parcial em Aσ. Diante disso, o Lema de Zorn pode ser usado para encontrarmos um elemento
maximal Aσ∈ Aσ para esta relação de ordem parcial.
Ficam assim provados parcialmente os ítens (i) e (ii), para continuarmos, suponhamos que:
2. AA= {Ai | i = 1, 2, ...} e AP = {Pj | j = 1, 2, ...}.
Desde que Aσ, com σ ∈ {A, P }, é um elemento maximal da relação de ordem parcial
"⊂"em Aσ, o ítem (iii) deste lema é verdadeiro.
Seja ψ o conjunto de todas as trajetórias de ϕ que passam através dos extremos do domínio fundamental dos elementos de AA. Pode-se ver que:
3. ψ ∩ Γ é um conjunto discreto de Γ.
Seja eΛ o complemento, em Γ, da união de ∪i,j[(span(Ai)− Di)∪ span(Pj)], ∪lt=1∪nTn(Ct)
e ∪l+v
r=l+1[(Rec(Cr) − Gr) ∩ Γ], onde Di é o domínio fundamental de Ai e Gr é o portão de
Rec(Cr). Seja Λ o interior do conjunto de pontos errantes de eΛ − ψ. Como o ítem (iii) é
verdadeiro, segue do lema 4.2 e do ítem anterior, que : 4. Λ é (aberto e) denso em eΛ.
Seja AW um conjunto caracterizado da seguinte maneira: λ ∈ AW se, e somente se:
5. Qualquer elemento de λ é um segmento aberto ϕ-errante contido em Λ. Mais ainda, qualquer par λk, λj ∈ λ satisfaz
∪nTn(λk) ∩∪nTn(λj) = ∅.
Se Λ contém algum segmento ϕ-errante então AW 6= ∅. Procedendo como acima, existe
um elemento maximal AW = {Wk | k = 1, 2, ...} ∈ AW para a relação de ordem parcial
determinada pela inclusão de conjuntos "⊂". Certamente AW é no máximo enumerável. Isto
encerra a prova dos ítens (i) e (ii). A maximalidade de AW e o fato que cada Wi é aberto
implicam que:
6. ∪k∪nTn(Wk) é aberto e denso em Λ.
Da construção das seqüênciasAA,AP eAW segue que o ítem (iv) é verificado; já os ítens
4 e 6 provam (v). Desde que ψ é disjunto de Λ, cada Wk é um intervalo errante e também
55 conjunto minimal não-trivial Ωr; donde concluímos que (vi) deste lema também é verdadeiro.
No que segue, diremos que uma aplicação suave f , entre subintervalos da reta, tem contato de ordem infinita em x0 com a aplicação identidade, se: 1 = f′(x0) e f(k)(x0) = 0 para todo
k > 1.
Lema 4.4. Consideremos τ ∈ {T, T−1} e Σ = {Σ
1, Σ2, ..., Σn} uma τ -seqüência atratora.
Para qualquer ǫ ∈ (0, 1) e k ∈ IN, existe ρ > 0 tal que, se eµ é uma medida distinguida no domínio fundamental D de Σ tal que eµ(D) ≤ ρ, então existe uma medida distinguida canônica µ em Σ, estendendo eµ, tendo ordem k e tamanho ǫ. Isto é, se Σ1 também for denotado por
Σn+1, então:
(a) Para todo i ∈ {1, 2, ..., n} e para orientações apropriadas em Σi e em Σi+1, a expressão
µ-coordenada τi : [0, µ(Σi)] −→ [0, µ(Σi+1)] de τ |Σi : Σi −→ Σi+1 é suave, 2−k-próxima
da aplicação identidade de [0, µ(Σi)] na topologia Ck e sua derivada τi′ tem contato de
ordem infinita em x ∈ {0, µ(Σi)} com a aplicação constante 1.
(b) Σn
i=1µ(Σi) ≤ ǫ.
Demonstração: Seja θ : IR −→ [0, 1] uma função suave tal que θ−1(0) = (−∞, 0],
θ−1(1) = [1, ∞) e, para todo t ∈ (0, 1), temos θ′(t) > 0. Dado 0 < ǫ < 1 e k ∈ IN, definimos 1.
ρ = ǫ
k+1
nk+1(1 + kθkk).
Seja eµ uma medida distinguida no domínio fundamental D de Σ tal que eµ(D) = ρ < ρ. Definamos σ : IR −→ IR por σ(t) = t − ρθ t
(ǫ n)
. Os seguintes fatos podem ser verificados: 2. A aplicação σ é um difeomorfismo ǫ-próximo da aplicação identidade de IR na topologia
Ck. Também temos que σ tem contato de ordem infinita em 0 (respectivamente em ǫ n)
com a aplicação t 7→ t (respectivamente t 7→ t − ρ) definida em IR. Mais ainda, σ|[0,ǫ n)
tem 0 como único ponto fixo e este é um atrator. Finalmente, σ(0, ǫ n) = (0, ǫ n− ρ). De fato, |σ(t) − t| = ρ. θnt ǫ ≤ ρ.kθk k< ǫk+1 nk+1 kθkk 1 + kθkk < ǫ, (4.1) e analogamente verifica-se a desigualdade para as derivadas.
As aplicações τn : Σ
1 −→ Σ1 e σ|(0,nǫ) : (0,nǫ) −→ (0, ǫ
n− ρ) são topologicamente conju-
gadas. Seja h : Σ1 −→ (0,nǫ) o único homeomorfismo que conjuga τn e σ|[0,ǫ
n) de tal forma
Σ1 Σ2 τ h 0 0 nǫ nǫ σ ǫ n− ρ Figura 4.4 A medida de Lebesgue de (0, ǫ n) (respectivamente (0, ǫ
n−ρ)) induz, via h (respectivamente
via σ ◦ h ◦ τ−1|
Σ2 : Σ2 −→ (0,
ǫ
n− ρ)) uma medida distinguida em Σ1 (respectivamente Σ2)
(veja a figura (4.4)).
Estenda µ a uma medida distinguida em Σ definindo µ|Σi+2 = µ(τ−i|Σi+2) tal que i =
1, 2, ..., n − 2. Segue da construção de µ que a expressão µ-coordenada de τ |Σ1 : Σ1 −→ Σ2
é precisamente σ|(0,ǫ n) : (0,
ǫ
n) −→ (0, ǫ
n − ρ) e mais ainda, a expressão µ-coordenada de
τ |Σi : Σi −→ Σi+1, tal que i = 2, ..., n, é a aplicação identidade de (0,
ǫ
n− ρ). Isto, junto com
o ítem 2 implicam (a) e (b) deste lema (para provar o ítem (a) note que na equação 4.1 temos: |σ(t) − t| < (ǫ
n)k+1 < 1
2k; e para o ítem (b) note que: Σni=1µ(Σi) = nǫ + (n − 1)[nǫ − ρ] < ǫ).
A demonstração do lema a seguir é semelhante àquela dada no lema anterior. Lema 4.5. Consideremos τ ∈ {T, T−1} e Σ = {Σ
1, Σ2, ..., Σn, Σn+1} uma τ -seqüência. Seja
e
µ uma medida distinguida em Σ1. Então, para qualquer ǫ > 0, existe uma medida distinguida
canônica µ em Σ estendendo eµ e tendo tamanho ǫ. Isto é, se todo termo de Σ está orientado tal que, para todo i = 1, 2, ..., n a aplicação τ |Σi : Σi−→ Σi+1 preserva orientação, então:
(a) A extensão contínua τ1 : [0, µ(Σ1)] −→ [0, µ(Σ2)] da expressão µ-coordenada de τ |Σ1
(definida em (0, µ(Σ1))) é suave e sua derivada τ1′ tem contato de ordem infinita com a
aplicação constante ≡ 1.
(b) Para todo i = 2, 3, ..., n a expressão µ-coordenada de τ |Σi é a aplicação identidade de
(0, ǫ n).
Seja Γi como na proposição 3.1, então temos o seguinte lema:
Lema 4.6. Seja Σ = {Σ1, Σ2, ..., Σi, ...} uma seqüência infinita tal que para todo n ∈ IN o
conjunto {Σ1, Σ2, ..., Σn} é uma T -seqüência (respectivamente T−1-seqüência). Suponha que
para todo p ∈ Σ1 o ω-limite de p (respectivamente o α-limite de p) contenha um ponto fixo de
ϕ. Então para qualquer k ∈ IN existem j e l ∈ IN tais que Σ2+j ⊂ Γl+k.
Demonstração: Consideremos apenas o caso em que Σi+1 = T (Σi) para i ∈ IN. Seja
57 segue imediatamente tomando j = 1 e l = N − k. Assumamos então que N ≤ k. Desde que ω(p) contém um ponto fixo de ϕ, existe j ∈ IN tal que Tj+1(p) ∈ Γ
k+1; de fato, como
∩Mi = F := conjunto dos pontos fixos, se Tj+1(p) /∈ Γk+1 seria porque Tj+1(p) ∈ Γl (com
l < k + 1) ∀j ∈ IN e então ω(p) não poderia conter pontos fixos. Daí, usando o fato que {Σ1, Σ2, ..., Σj+2} é uma T -seqüência, segue que Tj+1(Σ1) = Σj+2 ⊂ Γk+1; e assim o lema
está provado.
A prova do seguinte lema de cálculo será omitida.
Lema 4.7. Seja f : [a, b] −→ [c, d] um homeomorfismo crescente. Então f é suave (em [a, b]) e tem contato de ordem infinita em x ∈ {a, b} com a aplicação t 7→ t−x+f (x) se para alguma seqüência {[ai, bi]; i ∈ IN} de subintervalos fechados e disjuntos de [a, b] tivermos que:
(a) [a, b] = ∪∞
i=1[ai, bi], Σ∞i=1(bi− ai) = b − a e Σ∞i=1(f (bi) − f (ai)) = d − c.
(b) Para todo i ∈ IN e para todo x ∈ {ai, bi} a aplicação f |[ai,bi] é suave e tem contato de
ordem infinita, em x, com a aplicação t 7→ t − x + f (x) definida em [ai, bi].
(c) Existe N tal que, para todo inteiro positivo i ≥ N, temos kf |[ai,bi]− (Id|[ai,bi]+ f (ai) − ai)ki ≤
1 i, onde Id é a aplicação identidade de IR.
Proposição 4.1. Com as considerações da proposição 3.1, existe uma medida distinguida µ em Γ e um inteiro não-negativo n0 tais que para cada segmento Σ contido em Γ cuja imagem
T (Σ) também seja um segmento temos que: (a) T |Σ: Σ −→ T (Σ) é µ − C1;
(b) se Σ ⊂ Γi e i ≥ n0, então T |Σ : Σ −→ T (Σ) é µ-suave;
(c) se os conjuntos minimais de ϕ são triviais então n0 = 0.
Demonstração: Considere as notações e os fatos estabelecidos no lema 4.3. É claro, por este lema, que:
1. Os conjuntos ∪jspan(Pj), ∪lt=1∪nTn(Ct), ∪i(span(Ai) − Di), ∪kBke ∪l+vr=l+1{Rec(Cr) ∩
Γ − Gr} são dois a dois disjuntos e sua união é aberta e densa em Γ, onde
Bk= ∪nTn(Wk) − [{∪i(span(Ai) − Di)} ∪ {∪l+vr=l+1[Rec(Cr) ∩ Γ − Gr]}] e Wk∈AW.
Iremos definir medidas distinguidas em cada um dos conjuntos descritos acima e como estes são densos em Γ teremos uma medida distinguida em Γ.
Começaremos definindo uma medida distinguida µ em ∪jspan(Pj). Seja Pj =
{Σ1, Σ2, ..., Σn} um elemento arbitrário de AP. Por definição Pj é uma Tδ-seqüência, onde
δ ∈ {−1, 1}. Definamos µ em Pj tal que para i = 1, 2, ..., n (e para orientações apropriadas
em Σi e Tδ(Σi)), a expressão µ-coordenada de Tδ|Σi : Σi−→ T
δ(Σ
i) é a aplicação identidade
de (0,2−i
2. µ é uma medida distinguida em ∪jspan(Pj) tal que µ(∪jspan(Pj)) ≤ 1 e se I e T (I) são
intervalos abertos de ∪jspan(Pj) então a expressão µ-coordenada de T |I : I −→ T (I) é
a aplicação identidade de (0, µ(I)). Vamos agora definir µ em ∪l
t=1∪nTn(Ct). Conforme já denotamos anteriormente (lema
4.3), quando i ∈ {1, 2, ..., l} existe uma trajetória recorrente não-trivial densa em Ci. En-
tão, pelo Teorema de Estrutura, existe um homeomorfismo hi : Ci −→ IR/ZZ conjugando a
Aplicação de Poincaré Ti: Ci −→ Ci, induzida por ϕ, com uma transformação de troca de in-
tervalos. A medida de Lebesgue de IR/ZZ induz, via hi, uma medida distinguida µ em Ci, com
i = 1, 2, ..., l, que é Ti-invariante. Seja I um intervalo aberto de ∪lt=1Ct. Se para δ ∈ {−1, 1}
e n ∈ IN, a imagem Tnδ(I) for um intervalo, defina µ|
Tnδ(I) = µ ◦ T−nδ|Tnδ(I). Esta aplicação
está bem definida pois µ|Ci é Ti-invariante quando i = 1, 2, ..., l. Também temos, por (iv) da
proposição 3.1, que dados n ∈ IN, δ ∈ {−1, 1} e i = 1, 2, ..., l, a aplicação Tnδ|
Ci : Ci −→ Γ
é descontínua em finitos pontos. Assim, µ já está definido em ∪l
t=1 ∪nTn(Ct) exceto para
um conjunto enumerável. Tomemos a medida µ deste conjunto enumerável como sendo zero. Para mostrar que µ é uma medida distinguida em ∪l
t=1∪nTn(Ct) veremos que:
3. Para todo j ∈ IN tem-se que µ([∪l
t=1∪nTn(Ct)] ∩ Γj) ≤ lλj, onde λj é como no ítem (v)
da proposição 3.1.
De fato, por (v) da proposição 3.1 e da existência de uma trajetória de ϕ que é densa em qualquer círculo Ci, com i = {1, 2, ..., l}, segue que: Dado i = {1, 2, ..., l} e j ∈ IN, qualquer
arco de trajetória, intersectando Ci em um de seus extremos e tendo seu outro extremo em
Γj, encontra Γj no máximo λj vezes. Podemos tomar µ(T (Ci)) = 1 e como T preserva
medida, temos que µ(∪nTn(Ci) ∩ Γj) ≤ λj; isto prova o ítem 3, pois são l os círculos a serem
considerados.
Sob estas condições temos que: 4. µ é uma medida distinguida em ∪l
t=1 ∪nTn(Ct) tal que, se I e T (I) são subintervalos
abertos deste conjunto, então a expressão µ-coordenada de T |I: I −→ T (I) é a aplicação
identidade de (0, µ(I)).
Agora iremos definir uma medida distinguida µ em ∪kBk. Pelo lema 4.4, dado qualquer
termo Ai de AAexiste um número real positivo σi∈ (0, 1) tal que:
5. Se eµ é uma medida distinguida no domínio Di de Ai satisfazendo 0 < eµ(Di) ≤ σi;
então existe uma medida distinguida canônica bµ em Ai estendendo eµ, tendo ordem i e
tamanho 2−i.
Dados (δ, s) ∈ {−1, 1} × IN e um intervalo aberto λ contido em ∪k∪nTn(Wk) definamos
59 6. Quaisquer um de seus termos é um intervalo aberto (de ∪k∪nTn(Wk)) disjunto da união
de ∪i,j(span(Ai) − Di) e ∪l+vr=l+1[Rec(Cr) ∩ Γ − Gr]. Mais ainda, exceto possivelmente
para λ e Tδ(λ), qualquer termo de Σ está contido em ∪s j=0Γj.
Seja λ um intervalo aberto de Γ. Um subintervalo aberto não-vazio I de λ é chamado de intervalo Tδ-derivado de λ se este é maximal com respeito à seguinte propriedade: Tδ(I) é
um segmento aberto de Γ.
Desde que, dados i ∈ IN ∪ {0} e δ ∈ {−1, 1}, a aplicação Tδ|
Γi : Γi −→ Γ é descontínua
em finitos pontos (ítem (iv) da proposição 3.1), podemos verificar que:
7. Dado δ ∈ {−1, 1}, o fecho de qualquer intervalo λ ⊂ Γ é a união finita do fecho de seus subintervalos Tδ-derivados.
Para cada Wk ∈ AW e s ∈ ZZ − {0}, defina indutivamente s famílias (finitas ou vazias)
denotadas por Σs
k= {Σsk1, Σ
s k2, ..., Σ
s
ksk} de Tδ-seqüências errantes, com δ = |s|s, como segue:
8. Quando s = δ ∈ {−1, 1}, então sk = 1 e Σsk1 = G(δ, k, Wk). Suponha que Σ
s−1
k tenha sido
definida, então Σs
k= {G(δ, k|s|, λ) | λ é um intervalo aberto Tδ-derivado do último
termo de Σs−1
kj , com j ∈ {1, 2, ..., (s − 1)k}}.
Observe que, pelo lema 4.6, cada G(δ, k|s|, λ) acima tem finitos termos, isto é, G(δ, k|s|, λ) é de fato uma Tδ-seqüência. Agora:
9. Para um dado Γj, a família {Σskr | s ∈ ZZ − {0}, k ∈ {2, 3, ..., n, ...}, r ∈ {1, 2, ..., sk} e seus
primeiros termos estão contidos em Γj} é finito.
Para provar isso, primeiro notemos que, desde que j está fixo, existem apenas finitos termos da forma Σs
kr com (k − 1)|s| ≤ j + 1. Agora, se algum Σ
s
kr, com k ≥ 2 e (k − 1)|s| > j + 1
tem seu primeiro termo I em Γj, então para δ = |s|s , o termo I não é apenas Tδ-derivado do
último termo de alguma seqüência de Σk−1
k mas também está propriamente contido em tal
último termo. Isto implica que Tδ é descontínua em um dos extremos de I. O ítem 9 segue
do fato que Tδ|
Γj tem finitos pontos de descontinuidade (veja (iv) da proposição 3.1).
Observe que, por (vi) do lema 4.3, o último termo de qualquer seqüência não-vazia Σs k1
como acima está contido em algum Di0 ou é disjunto de ∪iDi. Entretanto, se n(s) denota
o número de todos os termos das seqüências formando Σs
k e Σ−sk e se Σskj ∈ Σ
s
k é não-vazio,
podemos dizer que : 10. σ(Σs
kj) é [
2−k−|s|
n(s) ].σi0 ou é
2−k−|s|
n(s) , dependendo se o último termo de Σskj está contido em
algum Di0 ou é disjunto de ∪iDi, respectivamente.
Iremos agora definir µ em ∪sk
j=1∪s∈ZZ−{0}span(Σskj).
Seja Wk ∈AW. Seja µ uma medida distinguida em Wk tal que µ(Wk) = σ(Σ1k1).σ(Σ−1k1 ).
Se δ ∈ {−1, 1} e Tδj(W
k) é um termo de Σδk1, definamos µ em T
δj(W
k) como µ ◦ T−δj|Tδj(W k).
11 Se λ1 e λ2 são dois termos consecutivos de Σδk1, então a expressão µ-coordenada de
Tδ: λ1 −→ λ2 é a aplicação identidade de (0, µ(Wk)).
Seja s ∈ IN. Suponhamos que a medida distinguida µ tenha sido definida em todo Σt kj de
Σt
k, quando t ∈ {−s + 1, −s + 2, ..., −2, −1, 1, 2, ..., s − 2, s − 1} e j ∈ {1, 2, ..., tk}. Podemos
proceder indutivamente para definir µ em todas as seqüências de Σ−s
k ∪Σskda seguinte maneira:
Seja s ∈ {−1, 1} e Σδs kj ∈ Σ
−s
k ∪ Σsk. Certamente µ já fora definida no primeiro termo de Σδskj.
Usando o lema 4.5 existe uma medida distinguida canônica em Σδs
kj estendendo µ e tendo
tamanho σ(Σδs
kj). Desta forma, podemos assumir que:
12. µ esteja definida nos termos de todas as seqüências de Σs
k para k ∈ IN e s ∈ ZZ − {0}.
Mais ainda, se {Σ1, Σ2, ..., Σn+1} ∈ Σsk, com k ≥ 2; então, para i = 1, 2..., n e δ = |s|
s, a
expressão µ-coordenada de Tδ|
Σi : Σi−→ Σi+1 é a aplicação identidade de (0, µ(Σi)).
Desde que, para j ∈ IN ∪ {0}, a aplicação T |Σj é descontínua em finitos pontos, e pela
forma com que as seqüências Σs
k, com k ∈ IN e s ∈ ZZ − {0}, foram construídas, segue que:
13. Para todo k ∈ IN, ∪sk
j=1∪s∈ZZ−{0}span(Σskj) está contida em Bk e difere deste conjunto
por um conjunto que é, no máximo, enumerável.
Estenda µ a uma medida distinguida em cada Bk definindo:
14. µBk− h ∪sk j=1∪s∈ZZ−{0}span(Σskj) i = 0. Alguns cálculos nos mostram que :
15. µ(∪kBk) = ΣkΣj=1sk Σs∈ZZ−{0}µ[span(Σskj)] ≤ 1.
Agora, µ será estendida a uma medida distinguida em ∪i(span(Ai)).
Por (v) do lema 4.3, para todo Di, temos que (∪kBk) ∩ Di = fDi é aberto e denso em Di.
Desde que µ está definida em ∪kBk (veja 13 e 14), µ pode ser estendida a Di definindo-se
µ(Di− fDi) = 0. Usando o ítem 10, temos que 0 < µ(Di) ≤ σi. Daí, por 5, segue que:
16. Para todo Ai ∈AA, a medida µ pode ser estendida a uma medida distinguida canônica
em Ai tendo ordem i e tamanho 2−i.
Segue desta construção que:
17. µ(∪ispan(Ai)) = Σ∞i=1µ(span(Ai)) ≤ 1.
Finalmente, µ será estendida a ∪l+v
r=l+1Rec(Cr) ∩ Γ.
Por (iv) e (v) do lema 4.3, para todo r ∈ {l + 1, l + 2, ..., l + v}, temos que (∪kBk) ∩
Gr = fGr é aberto e denso em Gr. Desde que µ está definida em ∪kBk, estenda µ a Gr
61 um intervalo aberto de ∪l+v
r=l+1Cr, se para algum n ∈ IN a imagem Tn(I) for um intervalo e
(∪ni=1Ti(I)) ∩ (∪l+vr=l+1Cr) = ∅, defina µ|Tn(I) = µ ◦ T−n|Tn(I). Novamente, como no ítem 3,
por (iv) da proposição 3.1, µ já está definida em ∪l+v
r=l+1Rec(Cr) ∩ Γ exceto para um conjunto
enumerável. Tomemos a medida µ deste conjunto enumerável como sendo zero. Como na prova de 3, podemos ver que :
18. Para todo j ∈ IN, tem-se µ(∪l+v
r=l+1Rec(Cr) ∩ Γj) < ∞.
Sob estas circunstâncias, por 1, µ está definida em um subconjunto aberto e denso de Γ. Estenda µ a todo Γ fazendo zero a medida no conjunto restante, onde µ ainda não fora definida.
Agora será provado que T é µ-suave. Segue de 2, 3, 15, 17 e 18 que para todo j ∈ IN, tem-se µ(Γj) < ∞. Assim, mediante a maneira como µ fora construída, verifica-se que :
19. µ é uma medida distinguida em Γ.
Seja Σ ⊂ Γ tal que Σ e T (Σ) são segmentos. Orientemos Σ e T (Σ) de tal forma que T |Σ : Σ −→ T (Σ) esteja preservando orientação. Pela construção de µ, as componentes
conexas da intersecção de Σ com a união de ∪jspan(Pj), ∪lt=1∪nTn(Ct), ∪i(span(Ai) − Di),
∪kBke ∪l+vr=l+1{Rec(Cr) ∩ Γ − Gr} formam uma família {Is}s∈S de subintervalos de Σ tal que:
20. Σs∈Sµ(Is) = µ(Σ).
Ampliando Σ se necessário, podemos assumir que : 21. Os extremos de Σ são disjuntos de ∪s∈SIs.
Segue dos ítens 9, 12, 13 e 14 que existem no máximo finitos termos Iesda família {Is}s∈S
tais que Ies ⊂ ∪kBk e a expressão µ-coordenada de T |Is : Ies −→ T (Ies) não é a aplicação
identidade de [0, µ(Ies)]. Similarmente, pode-se checar a expressão µ-coordenada de T |I
s para
todo intervalo Is de {Is}s∈S; podemos ver, por 20 e 21, que o lema 4.7 pode ser usado para
provar que a expressão µ-coordenada eT de T |Σ : Σ −→ T (Σ) é de classe C1 (respectivamente suave) quando Σ encontra (respectivamente não encontra) ∪l+v
r=l+1Rec(Cr), e também que se
x ∈ {0, µ(Σ)}, a derivada eT′ de eT satisfaz que eT′(x) = 1 (respectivamente eT′ tem contato de ordem infinita com a aplicação constante 1). Isto encerra a prova da proposição pois ∪l+vr=l+1Rec(Cr) está distante dos pontos fixos de ϕ; o que implica, por (ii) e (iii) da proposição
3.1, a existência de um inteiro não-negativo n0 tal que, para todo i ≥ n0,
Γi∩
∪l+vr=l+1Rec(Cr)
= ∅ e assim T |Σ é µ-suave quando Σ ⊂ Γi.
Proposição 4.2. Suponhamos que o conjunto F dos pontos fixos de ϕ não seja vazio. Então M − F pode ser expresso como a união de caixas de fluxo θi, com i ∈ IN, de tal forma que:
(a) cada conjunto compacto de M − F está contido em finitas caixas de fluxo θi;
(b) se i 6= j então θi∩ θj = ∂θi∩ ∂θj;
(c) existem n0 ∈ IN e uma medida distinguida µ nos lados transversais das caixas de fluxo θi
tais que, para todo i ∈ IN, temos que θi é µ − C1 e, para todo i ≥ n0, a aplicação θi é
µ-suave;
(d) se os conjuntos minimais de ϕ são triviais então n0 = 1.
Demonstração: Assumamos todas as considerações e notações das proposições 3.1 e 4.1. Seja ∆ a união do conjunto dos arcos de trajetória pq de ϕ tais que : p, q ∈ Γ com T (p) = q e,y ou T é descontínua em p ou T−1 é descontínua em q (veja a figura (4.5)). Seja Y o conjunto
das componentes conexas de M − (F ∪ ∆ ∪ Γ). O fecho Y de Y ∈ Y deixa de ser uma caixa de fluxo apenas se os "lados transversais"encontrarem um ao outro. Entretanto, neste caso Y pode ser expresso como a união de duas caixas de fluxo, a saber Y1 e Y2, tais que a componente
de Y1∩ Y2 que não pertencente a Γ é uma seção transversal global para ϕ|Y e também cada
Yi, com i = 1, 2, divide com Y exatamente um lado transversal (veja a figura (4.6)). Seja C a
união de todos os lados transversais de Yi, com i ∈ {1, 2} e Y ∈ Y.
p T (p) = q
Figura 4.5: T apresenta descontinuidade em p.
Y1
Y2
Figura 4.6 Desta construção temos que:
63 1. Γ ⊂ C.
Por (iv) da proposição 3.1, dado i ∈ IN, existem apenas finitas componentes conexas de M − (F ∪ ∆ ∪ C) intersectando M − Mi. Assim a família {Yi | i ∈ {1, 2} e Y ∈ Y} dos fechos
das componentes conexas de M − (F ∪ ∆ ∪ C) pode ser enumerada como θ1, θ2, ..., θj, ... onde
para todo i ∈ IN, existe k(i) ∈ IN tal que se j ≥ k(i) então θj∩ (M − Mi) = ∅. Certamente :
2. M − F = ∪j∈INθj.
Desde que qualquer subconjunto compacto K de M − F está contido em algum M − Mi,
a parte (a) desta proposição é verdadeira (a saber, K ⊂ ∪k(i)j=1θj). A parte (b) é verificada
pela construção de {θj}j∈IN.
Estenderemos agora a medida distinguida µ de Γ a C. Denotemos por eT : C −→ C a Aplicação de Poincaré induzida por ϕ. Dado Y ∈ Y assumamos que a caixa de fluxo cruza a componente E de Y1∩ Y2, não pertencente a Γ, de Y1 à Y2. Definamos µ|E = µ ◦ eT−1|E.
Capítulo