2.2 Probabilidades: Axiomas e Propriedades
2.2.2 Defini¸c˜ ao de Probabilidade
Existem v´arias formas de definir o conceito de probabilidade. Numa perspectiva cl´assica, a probabilidade de ocorrˆencia do evento E⊂ Ω, caracterizado por um conjunto finito numer´avel de elementos, designa-se por P (E) e ´e igual `a raz˜ao entre o cardinal de E e o cardinal de Ω. Ou seja,
P (E) = #E
#Ω (2.7)
Estando completamente identificados os conjuntos E e Ω, o valor da probabi- lidade ´e calculado a priori sem requerer qualquer experiˆencia. A probabilidade de um evento E verifica ainda as seguintes propriedades:
• 0 ≤ P (E) ≤ 1 para E ⊂ Ω
Se P (E) = 1 ent˜ao a ocorrˆencia de E ´e certa ou seja a probabilidade de ocorrer E, como resultado de uma experiˆencia com espa¸co Ω, ´e de 100%. Do mesmo modo um acontecimento E ´e imposs´ıvel se P (E) = 0 • Definindo um conjunto N parti¸c˜oes disjuntas de Ω, E1,∙ ∙ ∙ , EN, de tal
forma que Ω = E1∨ ∙ ∙ ∙ ∨ EN, ent˜ao: N
X
i=1
P (Ei) = 1 (2.8)
5A tens˜ao eficaz (RMS) na rede el´ectrica em Portugal ´e igual a 230 V (alterada, em 1984 por
raz˜oes de compatibilidade com os restantes pa´ıses Europeus, de 220 V para 230 V). A esse valor eficaz corresponde uma tens˜ao (monof´asica) de pico, em m´odulo, igual a 230√2≈ 325.3 V.
6Desde 1998 a Comiss˜ao Electrot´ecnica Internacional (IEC) aprovou uma lista de prefixos
para m´ultiplos bin´arios. O kilo ´e um prefixo SI que representa um factor×1000. Contudo, em bin´ario, 1KByte n˜ao representava 1000 mas sim 1024 bytes (210). Por esse motivo o que
era conhecido por 1KByte ´e agora 1KiByte (Ki representa o kilo bin´ario ou kibi). O valor de 1KByte passou a ser 1000 bytes de acordo com a norma SI.
7Ignorando o espa¸co reservado pela FAT e admitindo a possibilidade de escrita de bit
2.2. Probabilidades: Axiomas e Propriedades 59
Como se disse logo no in´ıcio do cap´ıtulo, a probabilidade pode ser avali- ada a posteriori pela an´alise da frequˆencia relativa de um evento, a partir de um n´umero suficientemente elevado de experiˆencias. Quando o n´umero de ex- periˆencias tende para infinito, a frequˆencia relativa do evento tende para o valor da sua probabilidade de ocorrˆencia. Este fen´omeno ´e designado por lei dos grandes n´umeros e pode ser colocada da seguinte forma:
P (E) = lim N→∞νN(E) (2.9) onde νN(E) = nE N (2.10)
se refere `a frequˆencia relativa da ocorrˆencia do evento E em N experiˆencias e nE representa o n´umero de vezes que o evento E ocorreu em N experiˆencias.
De modo a ilustrar ambas as defini¸c˜oes de probabilidade imagine-se que se pretende determinar a probabilidade de, numa transmiss˜ao de trˆes bit8, observar
dois bit idˆenticos. De acordo com a express˜ao (2.7) o valor dessa probabilidade pode ser calculada pela raz˜ao do cardinal do conjunto E: “exactamente dois bit consecutivos s˜ao idˆenticos”, que ´e dado pelos elementos{001, 011, 100, 110} pelo cardinal do conjunto definido pelo espa¸co amostral “envio de trˆes bit” ou seja Ω ={000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. Assim, neste caso,
P (E) = #E #Ω =
4
8 = 0.5 (2.11)
Imagine-se agora que um hipot´etico observador, colocado a jusante do canal de transmiss˜ao, desconhece Ω. Este observador pretende calcular a probabili- dade do evento E, “recep¸c˜ao de dois bit idˆenticos seguidos” estando, no entanto, impedido de recorrer a (2.11). Para isso o observador vai registando os ternos de valores recebidos. A cada nova recep¸c˜ao, o observador recalcula o valor da probabilidade do evento E ocorrer a partir da express˜ao (2.9). A figura 2.4 mostra uma poss´ıvel evolu¸c˜ao do valor estimado da probabilidade em fun¸c˜ao do n´umero de observa¸c˜oes efectuadas. Na caixa de texto que se segue apresenta-se a sequˆencia de comandos executados em Matlab para obter a referida figura.
clear all;clc
N=1000; %---N´umero de observa¸c~oes, for k=1:N,
...B=rand(1,3)>0.5; %---Transmite um terno de bit
...E(k)=abs(sum(diff(B))); %---- 1 se existirem apenas dois
...%---- bit iguais seguidos
...%---- 0 caso contr´ario
...P(k)=sum(E)/k; end
plot(1:N,P,1:N,0.5*ones(N,1),’:’);
xlabel(’Observa¸c~ao’);ylabel(’Valor estimado da probabilidade’)
8Admite-se que a probabilidade de transmitir um ‘0’ ´e igual `a probabilidade de transmitir
Figura 2.4: Evolu¸c˜ao do valor estimado da probabilidade em fun¸c˜ao do n´umero de ensaios.
Conforme se pode ver, a variˆancia9 na estimativa da probabilidade vai di-
minuindo com o n´umero de observa¸c˜oes N e convergindo para o valor real da probabilidade que, como se viu, ´e 0.5.
No caso de vari´aveis aleat´orias discretas define-se uma quantidade relacio- nada com a defini¸c˜ao anterior de probabilidade. Essa quantidade ´e derivada de uma fun¸c˜ao, fX(x), denominada por fun¸c˜ao massa de probabilidade 10 e
formalizada da seguinte forma:
fX(x) : x∈ X, fX(x) = P (X = x) (2.12)
Para vari´aveis aleat´orias discretas a rela¸c˜ao, entre a fun¸c˜ao massa de proba- bilidade, para um dado valor x da vari´avel X, e o valor da probabilidade de X tomar o valor x ´e de igualdade. Note que a fun¸c˜ao fX(x) se encontra definida
para qualquer valor de x mesmo os que n˜ao tˆem imagem em Ω. Neste caso fX(x) = 0 se x /∈ X(Ω).
De modo a ilustrar este conceito retoma-se novamente ao problema da trans- miss˜ao de trˆes bit atrav´es de um canal de comunica¸c˜ao. J´a se viu que o espa¸co amostral ´e dado por:
Ω ={ω0, ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7} (2.13)
onde ω0= 000, ω1= 001, ω2 = 010, ω3= 011, ω4= 100, ω5= 101, ω6= 110 e
ω7= 111.
O evento E, definido verbalmente por “exactamente dois bit consecutivos s˜ao idˆenticos”, corresponde ao conjunto E ={ω1, ω3, ω4, ω6}.
9O conceito de variˆancia estat´ıstica ser´a introduzido adiante. 10Do Inglˆes probability mass function.
2.2. Probabilidades: Axiomas e Propriedades 61
Define-se agora a vari´avel aleat´oria X(ω) como sendo “o n´umero de pares de bit consecutivos idˆenticos numa mensagem enviada”. Neste caso o contra- dom´ınio de X ´e o conjunto {0, 1, 2}. Por exemplo X(ω0) = 2, X(ω1) = 1 e
X(ω2) = 0. O mapeamento de todos os valores do espa¸co amostral leva ao
seguinte conjunto:
X(Ω) ={2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2} (2.14) A figura2.5ilustra este mapeamento para alguns elementos de Ω.
Figura 2.5: Exemplo do mapeamento de alguns elementos do espa¸co amostral Ω para a recta real X(Ω).
No problema em an´alise admite-se que cada observa¸c˜ao ωi em Ω tem igual
probabilidade de ocorrer. Ou seja, P (ωi) = 1
8, i = 0,∙ ∙ ∙ , 7 (2.15)
Para o evento E a probabilidade ´e, como j´a se viu, igual a: P (E) = 1
2 (2.16)
Relativamente `a vari´avel aleat´oria X(ω) a fun¸c˜ao massa de probabilidades ´e definida da seguinte forma:
fX(xi) = 2 8 para xi = 0 4 8 para xi = 1 2 8 para xi = 2 (2.17)
Os valores das probabilidades P (X = xi) para cada uma dos trˆes poss´ıveis
valores de xi, s˜ao obtidos pelo processo de contagem associada ao conjunto
representado na express˜ao (2.14).
Neste caso o valor de P (E) ´e igual a P (X = 1) ou seja o valor da probabili- dade da ocorrˆencia do evento E ´e igual `a probabilidade de serem transmitidos 1 par de bit idˆenticos na mensagem, i.e.
P (E) = fX(1) (2.18)
No entanto, de forma mais geral, a probabilidade de um evento E, definido por N elementos{ω1,∙ ∙ ∙ , ωN}, relaciona-se com a fun¸c˜ao massa de probabili-
dade por:
P (E) = X
xi=X(ωi)
Por exemplo se a vari´avel aleat´oria X fosse definida como “valor, em BCD, da soma m´odulo 2 dos bit da mensagem segundo a ordem recebida”11, ent˜ao:
X(Ω) ={0, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0} (2.20) A fun¸c˜ao massa de probabilidade ´e agora:
fX(xi) = 2 8 para xi= 0 2 8 para xi= 1 2 8 para xi= 2 2 8 para xi= 3