A id´eia na qual a distribui¸c˜ao BWM tem origem ´e uma classe geral de dis-tribui¸c˜oes definida da seguinte maneira: se G denota a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao acumulada (FDA) de uma vari´avel aleat´oria ent˜ao uma classe de distribui¸c˜oes generalizadas pode ser definida por F (x) = IG(x)(a, b) = 1 B(a, b) Z G(x) 0 ωa−1(1 − ω)b−1dω (59)
para a > 0 e b > 0, em que Iy(a, b) = By(a, b)/B(a, b) denota a fun¸c˜ao raz˜ao beta incompleta e By(a, b) = R0ywa−1(1 − w)b−1dw que denota a fun¸c˜ao beta incompleta (ABRAMOWITZ;
SEGUN, 1968)
Esta classe de generaliza¸c˜oes de distribui¸c˜oes tem recebido consider´avel aten¸c˜ao nos ´ultimos anos, em particular depois dos recentes trabalhos de Eugene, Lee e Famoye (2002) e Jones (2004). Eugene, Lee e Famoye (2002) introduziram o que ´e conhecido como a dis-tribui¸c˜ao beta normal (BN) por considerar G(x) na equa¸c˜ao (59) como sendo a FDA da normal e calcularam alguns dos seus primeiros momentos. Express˜oes mais gerais para esses momen-tos foram obtidas por Gupta e Nadarajah (2004). Nadarajah e Kotz (2004) introduziram a distribui¸c˜ao beta Gumbel (BG) por considerar G(x) como sendo a FDA da distribui¸c˜ao Gum-bel e forneceram express˜oes de forma fechada para os momentos, a distribui¸c˜ao assint´otica das estat´ısticas ordinais extremas e discutiram o procedimento de estima¸c˜ao de m´axima ve-rossimilhan¸ca. Nadarajah e Gupta (2004) introduziram a distribui¸c˜ao beta Fr´echet (BF) por considerar G(x) com sendo a distribui¸c˜ao de Fr´echet, obtiveram a forma anal´ıtica da fun¸c˜ao densidade de probablidade e da fun¸c˜ao de taxa de falha, al´em de calcularem a distribui¸c˜ao
assint´otica das estat´ısticas ordinais extremas. Tamb´em, Nadarajah e Kotz (2006) apresen-taram a distribui¸c˜ao beta exponencial (BE) e obtiveram a fun¸c˜ao geradora dos momentos, os quatro primeiros cumulantes, a distribui¸c˜ao assint´otica das estat´ısticas ordinais extremas e discutiram o procedimento de estima¸c˜ao de m´axima verossimilhan¸ca. Outra distribui¸c˜ao que passa a pertencer a equa¸c˜ao (59) ´e a distribui¸c˜ao beta log´ıstica, estudada por Brown, Floyd e Levy (2002), mesmo que n˜ao tenha sido obtida diretamente desta equa¸c˜ao.
A motiva¸c˜ao para introduzir a distribui¸c˜ao BWM ´e devido as generaliza¸c˜oes citadas acima, o amplo uso da distribui¸c˜ao Weibull e o fato de que a atual generaliza¸c˜ao fornece meios para a sua cont´ınua estens˜ao `a situa¸c˜oes ainda mais complexas.
Lai, Xie e Murthy (2003) introduziram a distribui¸c˜ao Weibull modificada (WM) que tem trˆes parˆametros α > 0, λ > 0 e γ ≥ 0 com FDA e fun¸c˜ao de densidade de probabili-dade dadas por
Gα,γ,λ(x) = 1 − exp[−αxγexp(λx)] (60)
e
gα,γ,λ(x) = αxγ−1(γ + λx) exp[λx − αxγexp(λx)], x > 0, (61)
respectivamente. Os parˆametros α e γ controlam a escala e a forma da distribui¸c˜ao, respec-tivamente. O parˆametro λ ´e uma esp´ecie de fator de acelera¸c˜ao do tempo de sobrevivˆencia e funciona como um fator de fragilidade na sobrevivˆencia do indiv´ıduo quando o tempo au-menta. A distribui¸c˜ao Weibull ´e um caso especial de (61) quando λ = 0. Se, adicionalmente a
λ = 0, γ = 1 e γ = 2, obtem-se, respectivamente, as distribui¸c˜oes exponencial (E) e Rayleigh
(R).
A fun¸c˜ao de densidade de probabilidade correspondente a equa¸c˜ao (59) pode ser escrita da seguinte maneira
f (x) = 1
B(a, b)G(x)
a−1[1 − G(x)]b−1g(x), (62)
em que g(x) = dG(x)/dx ´e a densidade da distribui¸c˜ao geradora. A fun¸c˜ao de densidade de probabilidade f (x) ser´a mais trat´avel quando as fun¸c˜oes G(x) e g(x) tˆem express˜oes anal´ıticas
simples como ´e o caso da distribui¸c˜ao WM. Exceto para alguns casos especiais escolhidos para
G(x) na equa¸c˜ao (59), poder´a acontecer que a equa¸c˜ao (62) seja d´ıficil de tratar.
Substituindo G(x) na equa¸c˜ao (59) pela FDA da distribui¸c˜ao WM, dada na equa¸c˜ao (60), obtem-se a distribui¸c˜ao BWM. Ent˜ao, a forma da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acu-mulada da distribui¸c˜ao BWM ´e dada por
F (x) = 1
B(a, b)
Z 1−exp{−αxγexp(λx)} 0
ωa−1(1 − ω)b−1dω. (63)
A fun¸c˜ao de densidade para BWM ´e obtida substituindo as equa¸c˜oes (60) e (61) na equa¸c˜ao (62), e pode ser escrita como
f (x) = αx
γ−1(γ + λx) exp(λx)
B(a, b) [1 − exp{−αx
γexp(λx)}]a−1exp{−bαxγexp(λx)}, x > 0.
(64)
A nota¸c˜ao utilizada ser´a X ∼ BWM(a, b, α, λ, γ).
A distribui¸c˜ao BWM cont´em como caso especiais v´arias distribui¸c˜oes conheci-das. Por exemplo, quando λ = 0 simplica para a distribui¸c˜ao beta Weibull (BW). Se γ = 1 al´em de λ = 0, obt´em-se a distribui¸c˜ao beta exponencial (BE). A distribui¸c˜ao WMG ´e um caso especial quando b = 1. Se a = 1 al´em de b = 1, a distribui¸c˜ao WM ´e obtida. Para b = 1 e λ = 0, a distribui¸c˜ao BWM reduz-se a distribui¸c˜ao WE. Se γ = 1 al´em de b = 1 e λ = 0, a distribui¸c˜ao BWM torna-se a distribui¸c˜ao exponencial exponenciada (EE) apresentada por Gupta e Kundu (2001). Para γ = 2, λ = 0 e b = 1, a distribui¸c˜ao BWM torna-se distribui¸c˜ao Rayleigh generalizada (RG). A distribui¸c˜ao Weibull ´e um caso especial quando a = b = 1 e
λ = 0. Os casos particulares da distribui¸c˜ao BWM s˜ao ilustrados na Figura 52, em que os
casos conhecidos da literatura e n˜ao definidos anteriormente s˜ao: beta Rayleigh modificada (BRM), beta exponencial modificada (BEM), Rayleigh modificada generalizada (RMG), ex-ponencial modificada generalizada (EMG), beta Rayleigh (BR), Rayleigh modificada (RM) e exponencial modificada (EM).
A distribui¸c˜ao BWM pode ser simulada a partir da equa¸c˜ao (63) como segue: se V tem fun¸c˜ao de densidade de probabilidade beta com parˆametros a e b, ent˜ao a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao n˜ao linear Xγexp(λX) = −α−1log(1 − V ) tem distribui¸c˜ao BWM(a, b, α, γ, λ). Para simular dados a partir dessa equa¸c˜ao n˜ao linear, foi usada a linguagem de programa¸c˜ao
ma-BWM BWM BRM BEM RMG WMG EMG BR BW BE WE RG EE WM RM EM R W E
Figura 52: Diagrama das distribui¸c˜oes obtidas como casos particulares da distribui¸c˜ao BWM.
tricial Ox por meio da sub-rotina SolveNLE (programa no apˆendice L). Gr´aficos comparando a densidade exata da distribui¸c˜ao BWM e o histograma do conjunto de dados simulado para alguns valores dos parˆametros s˜ao dados na Figura 53. Nota-se dessa figura que os valores simulados s˜ao consistentes com a distribui¸c˜ao BWM.
(a) (b) x f(x) 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x) 0 200 400 600 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
Figura 53 – Gr´aficos da fun¸c˜ao de densidade exata da distribui¸c˜ao BWM com histograma para dados simu-lados com: (a) a = 1, 5, b = 0, 5, α = 0, 5, λ = 1, 5, γ = 3 e (b) a = 8, b = 1, α = 0, 43, λ = 0, γ = 0, 5
incompleta e ´e dada por
h(x) = αxγ−1(γ + λx) exp(λx)
B(a, b)[1 − I1−exp(−αxγexp(λx))(a, b)][1−exp(−αx
γexp(λx))]a−1exp(−bαxγexp(λx)), x > 0.
(65)
As Figuras 54 e 55 ilustram algumas das poss´ıveis formas da fun¸c˜ao de densi-dade (64) e da fun¸c˜ao de taxa de falha (65), respectivamente, para determinados valores de parˆametros, incluindo alguns modelos particulares. Uma caracter´ıstica da distribui¸c˜ao BWM ´e que sua fun¸c˜ao de taxa de falha pode ser monotonicamente crescente ou decrescente, em forma de U ou unimodal dependendo unicamente dos valores dos parˆametros.
(a) (b) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x f(x) a=0,8; b=0,8; α =0,8; λ =0,8; γ =1,5 (BW) a=0,8; b=0,8; α =0,8; λ =0; γ =1 (BE) a=4; b=4; α =0,5; λ =0,5; γ =0,5 a=1,5; b=0,5; α =0,5; λ =1,5; γ =3 a=0,5; b=0,5; α =0,5; λ =0,5; γ =0,5 0 20 40 60 80 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 x f(x) a=0,5; b=1; α =0,001; λ =0,2; γ =0,5 (GMW) a=0,5; b=1; α =0,01; λ =0; γ =1 (EE) a=8; b=1; α =0,43; λ =0; γ =0,5 (WE) a=1; b=1; α =0,43; λ =0; γ =0,5 (Weibull) a=0,1; b=1; α =0,001; λ =0; γ =2 (GR)
Figura 54 – Gr´afico da fun¸c˜ao de densidade da distribui¸c˜ao BWM para alguns valores dos parˆametros
(a) (b) 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 x h(x) a=0,8; b=0,8; α =0,8; λ =0,8; γ =1,5 (BW) a=0,8; b=0,8; α =0,8; λ =0; γ =1 (BE) a=4; b=4; α =0,5; λ =0,5; γ =0,5 a=1,5; b=0,5; α =0,5; λ =1,5; γ =3 a=0,5; b=0,5; α =0,5; λ =0,5; γ =0,5 0 100 200 300 400 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 x h(x) a=0,5; b=1; α =0,001; λ =0,2; γ =0,5 (GMW) a=0,5; b=1; α =0,01; λ =0; γ =1 (EE) a=8; b=1; α =0,43; λ =0; γ =0,5 (WE) a=1; b=1; α =0,43; λ =0; γ =0,5 (Weibull) a=0,1; b=1; α =0,001; λ =0; γ =2 (GR)
8.2 Expans˜oes para as fun¸c˜oes de densidade, de distribui¸c˜ao acumulada e de