De uma forma geral, uma linha de produ¸c˜ao consiste de um conjunto finito de tarefas, cada uma tendo um tempo de execu¸c˜ao, e um conjunto de rela¸c˜oes de precedˆencia, as quais especificam a ordem de execu¸c˜ao das tarefas. O problema do ALWABP ´e atribuir as tarefas para uma sequˆencia de esta¸c˜oes, tal que, as rela¸c˜oes de precedˆencias sejam satisfeitas e alguma medida de eficiˆencia seja otimizada. Entretanto, como nos CTD’s alguns trabalhadores podem ser muito lentos para executar certas tarefas ou at´e incapazes, e muito r´apidos na execu¸c˜ao de outras, o problema n˜ao consiste apenas em atribuir tarefas para esta¸c˜oes, mas tamb´em trabalhadores dispon´ıveis para esta¸c˜oes, sempre respeitando as incompatibilidades
quando atribuir tarefas para trabalhadores. AFigura 6.1 ilustra um exemplo de um conjunto de rela¸c˜oes de precedˆencias entre 11 tarefas.
4 1 2 3 6 7 8 5 9 10 11
Figura 6.1 - Exemplo de um conjunto de rela¸c˜oes de precedˆencias entre tarefas.
As principais caracter´ısticas do ALWABP s˜ao:
• os tempos de processamento das tarefas e as rela¸c˜oes de precedˆencias s˜ao determin´ısticos;
• existe um dado n´umero de trabalhadores dispon´ıveis, e o tempo de processamento das tarefas pode ser diferente dependendo de qual trabalhador executa a tarefa (uma vez que os trabalhadores tˆem diferentes habilidades e capacidades);
• n˜ao existem trabalhadores lentos ou r´apidos. Ao inv´es disso, trabalhadores podem ser muito lentos, ou at´e incapazes, de executar algumas tarefas, mas muito eficientes quando executam outras tarefas;
• todo trabalhador ´e atribu´ıdo para somente uma esta¸c˜ao de trabalho; • toda tarefa ´e atribu´ıda para somente uma esta¸c˜ao de trabalho, contanto
que o trabalhador selecionado para aquela esta¸c˜ao seja capaz de realizar a tarefa, e que as rela¸c˜oes de precedˆencia sejam satisfeitas.
Analogamente ao SALBP, quando se deseja minimizar o n´umero de esta¸c˜oes, o problema ´e chamado ALWABP-1, e quando o objetivo ´e minimizar o tempo de ciclo (ou maximizar a taxa de produ¸c˜ao), o problema ´e chamado ALWABP-2. Esta ´ultima ´e a situa¸c˜ao mais comum nos CTD’s, uma vez que, visa o aumento da eficiˆencia da produ¸c˜ao sem retirar nenhum posto de trabalho existente.
A situa¸c˜ao mais t´ıpica em um CTD ´e ter um dado n´umero de trabalhadores dispon´ıveis (cada um deles com tempos de opera¸c˜ao definidos para cada tarefa) e onde a eficiˆencia da linha de produ¸c˜ao deve ser maximizada. O tempo de ciclo (Ctempo) ´e a vari´avel de decis˜ao que representa a quantidade de tempo que um produto pode ser processado por uma esta¸c˜ao da linha de produ¸c˜ao, tendo rela¸c˜ao direta com a taxa de produ¸c˜ao da linha. Portanto, maximizar a eficiˆencia significa, neste ambiente, minimizar o tempo de ciclo.
O modelo matem´atico do ALWABP-2, proposto por Miralles et al. (2008), ´e apresentado a seguir. min z = Ctempo (6.1) sujeito a: X h∈H X s∈S xshi= 1 ∀i ∈ N (6.2) X s∈S ysh ≤ 1 ∀h ∈ H (6.3) X h∈H ysh≤ 1 ∀s ∈ S (6.4) X h∈H X s∈S s · xshi≤ X h∈H X s∈S s · xshj ∀i, j/i ∈ Pj (6.5) X i∈N thi· xshi ≤ Ctempo ∀h ∈ H, ∀s ∈ S (6.6) X i∈N xshi≤ B · ysh ∀h ∈ H, ∀s ∈ S (6.7) ysh ∈ [0, 1] ∀s ∈ S, ∀h ∈ H (6.8) xshi∈ [0, 1] ∀s ∈ S, ∀h ∈ H, ∀i ∈ N (6.9)
no qual,
• i e j s˜ao as tarefas;
• h s˜ao os trabalhadores;
• s s˜ao as esta¸c˜oes de trabalho;
• N ´e o conjunto de tarefas;
• H ´e o conjunto de trabalhadores dispon´ıveis;
• S ´e o conjunto de esta¸c˜oes de trabalho;
• Ctempo ´e o tempo de ciclo;
• thi ´e o tempo de opera¸c˜ao para o trabalhador h executar a tarefa i;
• Pj ´e o conjunto de tarefas que precedem imediatamente a tarefa j na rede de precedˆencia;
• xshi´e uma vari´avel bin´aria igual a 1 somente se a tarefa i ´e atribu´ıda para o trabalhador h na esta¸c˜ao s;
• ysh ´e uma vari´avel bin´aria igual a 1 somente se o trabalhador h ´e atribu´ıdo para a esta¸c˜ao s.
A fun¸c˜ao objetivo6.1do ALWABP-2 minimiza o tempo de ciclo Ctempo. As restri¸c˜oes
6.2 garantem que toda tarefa i ´e atribu´ıda para apenas uma esta¸c˜ao s e um trabalhador h. As restri¸c˜oes 6.3 e 6.4 asseguram que todo trabalhador pode ser atribu´ıdo para somente uma ´unica esta¸c˜ao, e que em toda esta¸c˜ao existe somente um trabalhador. O conjunto de restri¸c˜oes 6.5reflete as rela¸c˜oes de precedˆencia entre as tarefas i e j, onde i ´e predecessor de j. As restri¸c˜oes 6.6 e 6.7 implicam que todo trabalhador h atribu´ıdo para esta¸c˜ao s pode ter mais que uma tarefa, desde que o tempo de ciclo Ctempo n˜ao seja extrapolado. Como o tempo de ciclo Ctempo e ysh s˜ao ambos vari´aveis, as restri¸c˜oes 6.6 e 6.7 s˜ao definidas separadamente para que o modelo seja mantido linear. As restri¸c˜oes 6.8 e 6.9 definem as vari´aveis ysh e xshi como bin´arias. A constante B precisa ter um valor maior que o somat´orio de todos os tempos de processamento.
6.3 Revis˜ao Bibliogr´afica
O ALWABP ´e um problema que foi recentemente proposto, sendo assim, ainda n˜ao h´a na literatura muitos trabalhos sobre este. A maioria dos problemas sobre linha de produ¸c˜ao encontrados na literatura trabalha com tempos de opera¸c˜ao fixos, independentemente de qual trabalhador executa a tarefa. Essa simplifica¸c˜ao ´e justificada por causa do fato de que, na maioria dos casos de linhas de produ¸c˜ao reais, a varia¸c˜ao de tempo entre os trabalhadores ´e muito pequena.
S˜ao poucos os trabalhos encontrados na literatura que consideram tempos diferentes de opera¸c˜ao das tarefas dependendo de qual trabalhador a executa.Mansoor (1968) propˆos uma heur´ıstica para resolu¸c˜ao de uma linha de produ¸c˜ao considerando n´ıveis vari´aveis de performance dos trabalhadores. Bartholdi e Eisensteein (1996) consideram o caso de trabalhadores com velocidades diferentes, mas em um tipo particular de linha, a Toyota Swen System. Doerr et al. (2000) estudaram o desenvolvimento de uma linha de produ¸c˜ao considerando trabalhadores com diferentes habilidades e onde a hora-extra poderia ser usada quando a quota de produ¸c˜ao di´aria n˜ao fosse alcan¸cada. Hopp et al. (2001) e Gel et al.
(2002) apresentaram casos nos quais existem trabalhadores lentos e r´apidos, independentemente de qual tarefas eles executam, por´em as solu¸c˜oes partem de uma linha de produ¸c˜ao balanceada e o objetivo ´e apenas ter uma rota¸c˜ao eficiente dos trabalhadores e n˜ao balancear a linha. Corominas et al. (2003) apresentaram um modelo para um problema de balanceamento de linha de produ¸c˜ao que considera tempos vari´aveis de dura¸c˜ao das tarefas dependendo de qual esta¸c˜ao ela est´a alocada, sendo aplicado a v´arias situa¸c˜oes industriais nas quais ´e necess´ario diferenciar dois tipos de trabalhadores: experientes e inexperientes.
Outra situa¸c˜ao que leva em considera¸c˜ao velocidades vari´aveis ´e o Problema de Projeto da Linha de Produ¸c˜ao (ALDP, do inglˆes: Assembly Line Design Problem) (REKIEK et al., 2002) que trabalha com a instala¸c˜ao de m´aquinas com velocidades diferentes, sendo necess´ario selecionar as m´aquinas e balancear a rede de precedˆencias. Este problema se distingue do encontrado nos CTD’s em raz˜ao do objetivo ser reduzir os custos de instala¸c˜ao das m´aquinas e tamb´em pelo fato de haver a possibilidade de aquisi¸c˜ao de v´arios equipamentos semelhantes.
Os primeiros estudos sobre as vantagens de utilizar linhas de produ¸c˜ao nos CTD’s foram realizados por Miralles et al. (2007). Posteriormente, Miralles et al. (2008)
introduziram o ALWABP, definindo uma formula¸c˜ao matem´atica para o problema e implementando um algoritmo Branch e Bound com diferentes estrat´egias de busca. Os autores aplicaram esse m´etodo em um ambiente real de um CTD situado na cidade de Valˆencia (Espanha), mostrando que a Pesquisa Operacional pode abranger, al´em de objetivos econˆomicos e produtivos, objetivos sociais.
Costa e Miralles (2008) apresentam uma variante para o ALWABP, no qual ´e estudado como programar a rota¸c˜ao de tarefas neste problema. A rota¸c˜ao pode trazer diversos benef´ıcios, tais como, aumentar a motiva¸c˜ao dos trabalhadores, combater certas doen¸cas do trabalho e, principalmente, auxiliar o tratamento terapˆeutico dos trabalhadores. Os autores propuseram uma formula¸c˜ao inteira mista e um m´etodo de decomposi¸c˜ao heur´ıstico para resolu¸c˜ao desse problema.
6.4 Representa¸c˜ao do Problema
Uma solu¸c˜ao do ALWABP-2 ´e composta por dois vetores. O primeiro vetor representa a aloca¸c˜ao tarefa/esta¸c˜ao. O segundo vetor representa a aloca¸c˜ao trabalhador/esta¸c˜ao. A Figura 6.2 ilustra a representa¸c˜ao de uma solu¸c˜ao com 11 tarefas (n1, n2, ..., n11), 5 trabalhadores (h1, h2, ..., h5) e 5 esta¸c˜oes (s1, s2, ..., s5).
s1 s2 s4 s3 s5 Estação h5 h4 h3 h2 h1 Trabalhador s5 s5 s4 s3 s3 s3 s3 s2 s2 s1 s1 Estação n11 ... n4 n3 n2 n1 Tarefa
Figura 6.2 - Exemplo da representa¸c˜ao de uma solu¸c˜ao do ALWABP.
6.5 Estruturas de Vizinhan¸ca
Trˆes movimentos diferentes podem ser definidos para compor tipos distintos de vizinhan¸cas, permitindo que o espa¸co de busca possa ser pesquisado de forma adequada. Os movimentos para o ALWABP s˜ao:
• m1: trocar a aloca¸c˜ao de dois trabalhadores de esta¸c˜oes;
• m2: trocar a aloca¸c˜ao de duas tarefas de esta¸c˜oes diferentes;
• m3: transferir uma tarefa de uma esta¸c˜ao para outra esta¸c˜ao.
Todas os movimentos podem produzir inviabilidades. O movimento m1 pode fazer com que uma tarefa incompat´ıvel seja alocada a um trabalhador, e os movimentos m2 e m3, al´em de poderem causar essa inviabilidade trabalhador/tarefa, tamb´em podem violar a rede de precedˆencias das tarefas. Neste trabalho optou-se por permitir qualquer movimento, apesar da enorme quantidade de movimentos invi´aveis, sendo as solu¸c˜oes que forem invi´aveis penalizadas na fun¸c˜ao objetivo.
6.6 Fun¸c˜ao Objetivo
O c´alculo da fun¸c˜ao objetivo do ALWABP-2 computa os tempos de opera¸c˜ao de cada esta¸c˜ao, considerando as tarefas e o trabalhador alocados na esta¸c˜ao. A fun¸c˜ao objetivo corresponde ao tempo de ciclo da linha de produ¸c˜ao (Ctempo), que ´e o maior tempo de opera¸c˜ao das esta¸c˜oes. Solu¸c˜oes que n˜ao satisfa¸cam as restri¸c˜oes da rede de precedˆencias ou aloquem alguma tarefa incompat´ıvel com um trabalhador precisam ser penalizadas. Desta forma, uma solu¸c˜ao ´e avaliada pela seguinte fun¸c˜ao objetivo:
f (s) = Ctempo+ ω ∗ fr(s) + δ ∗ ft(s) (6.10)
no qual, os componentes fr e ft mensuram, respectivamente, a inviabilidade da rede de precedˆencias e da aloca¸c˜ao tarefa/trabalhador incompat´ıveis. ω e δ s˜ao os pesos que refletem a importˆancia relativa de cada um dos componentes de f . Neste trabalho utilizou-se ω = 1000 e δ = 500, privilegiando as solu¸c˜oes que satisfa¸cam as restri¸c˜oes da rede de precedˆencias, pois essas inviabilidades s˜ao mais complicadas de serem eliminadas.
6.7 Medida de Distˆancia entre duas Solu¸c˜oes
Para calcular a distˆancia entre duas solu¸c˜oes do ALWABP-2 ´e utilizada uma medida de distˆancia que calcula o n´umero de tarefas atribu´ıdas em esta¸c˜oes diferentes entre as solu¸c˜oes. Portanto, quanto maior o n´umero de tarefas alocadas em esta¸c˜oes diferentes entre duas solu¸c˜oes, maior ser´a a distˆancia entre elas e menor ser´a a similaridade.
Essa medida de distˆancia foi escolhida pois leva em considera¸c˜ao as aloca¸c˜oes das tarefas nas esta¸c˜oes de trabalho, sendo esta a maior dificuldade desse problema.