3.4 Esperan¸ca Condicional
3.4.2 Defini¸c˜ ao e Propriedades da Esperan¸ca Condicional
Nesta se¸c˜ao usando o Teorema de Radon-Nikod´ym vamos mostrar como s˜ao constru´ıdas as probabilidade e esperan¸ca condicional. Em v´arias partes desta se¸c˜ao vamos considerar um espa¸co de medida (Ω,F , µ), uma sub-σ-´algebra B de F e usaremos a nota¸c˜ao ν = µ|B, para denotar a restri¸c˜ao da medida µ a sub-σ-´algebra B. Vamos denotar por L1(Ω,F , µ) o conjunto de todas as fun¸c˜oes F -mensur´aveis f : Ω → R tais que RΩ|f | dµ < +∞. Obs: Nos textos de teoria da Medida e An´alise funcional L1(Ω,F , µ) ´e uma nota¸c˜ao consagrada para denotar um espa¸co de
classes de equivalˆencia obtido pela identifica¸c˜ao de duas fun¸c˜oes que diferem em um subconjunto de Ω de medida zero. Voltaremos a discutir isto mais a frente no texto. E neste ponto para evitar confus˜ao e fixar a nota¸c˜ao vamos pensar em L1(Ω,F , µ) apenas como um espa¸co de fun¸c˜oes.
Teorema 47. Sejam (Ω,F , µ) um espa¸co de medida finita, B uma sub-σ-´algebra de F e ν = µ|B. Para cada f ∈ L1(Ω,F , µ) existe uma fun¸c˜ao g mensur´avel segundo a σ-´algebra B com
g ∈ L1(Ω,B, ν) tal que Z E f dµ = Z E g dν para todo E ∈B.
Al´em do mais se g0 ∈ L1(Ω,B, ν) ´e uma outra fun¸c˜ao satisfazendo a igualdade acima, ent˜ao
g = g0 ν-q.t.p.
Observa¸c˜ao. A fun¸c˜ao g cuja a existˆencia ´e garantida no Teorema (47) ´e nosso ponto de partida para apresentar a defini¸c˜ao da esperan¸ca condicional. A esperan¸ca condicional ser´a um dos conceitos fundamentais deste texto e vital para o estudo de medidas de Gibbs do ponto de vista probabil´ıstico e da teoria de especifica¸c˜oes. Seguimos a partir de agora apresentando em todos os detalhes a constru¸c˜ao da esperan¸ca condicional e suas propriedades importantes para a teoria das medidas de Gibbs.
Prova do Teorema (47) Vamos considerar inicialmente que f ≥ 0. Seja η : B → [0, +∞) a medida definida por
η(E) = Z
E
CAP´ITULO 3. O LIMITE TERMODIN ˆAMICO 30 Note que se ν(E) = 0 ent˜ao obviamente µ(E) = 0, mas se µ(E) = 0 ent˜ao a integral acima ´e igual a zero logo η(E) = 0, e assim temos que η ν. Da´ı segue do Teorema de Radon-Nikodym que existe uma fun¸c˜ao B-mensur´avel g : Ω → R tal que
η(E) = Z
E
g dν (3.4)
Usando a hip´otese f ∈ L1(Ω,F , µ) e tomando E = Ω nas igualdades (3.3) e (3.4) conclu´ımos que g ∈ L1(Ω,B, ν). O Teorema de Radon-Nikod´ym garante que g ´e unicamente determinada
ν-q.t.p. e portanto o teorema fica provado no caso em que f ≥ 0. No caso em que f toma valores reais basta repetir argumento apresentado acima para f+ e f−.
Defini¸c˜ao 48. Sejam (Ω,F , µ) um espa¸co de probabilidade, f ∈ L1(Ω,F , µ), B uma sub-σ-
´
algebra de F e ν = µ|B. Dizemos que uma fun¸c˜ao B-mensur´avel g : Ω → R ´e uma esperan¸ca condicional de f dada a σ-´algebra B, se
Z E f dµ = Z E g dν para todo E ∈B.
Como vimos acima o Teorema (47) garante a existˆencia de uma esperan¸ca condicional para toda f ∈ L1(Ω,F , µ) e para toda sub-σ-´algebra B de F . Cada uma das fun¸c˜oes g satisfazendo
a condi¸c˜ao acima ´e chamada de uma vers˜ao da esperan¸ca condicional de f com respeito a B. O Teorema (47) tamb´em nos garante que quaisquer duas vers˜oes da esperan¸ca condicional s˜ao fun¸c˜oes que diferem apenas em um conjunto de medida ν nula. J´a que do ponto de vista de integra¸c˜ao a escolha de uma vers˜ao arbitr´aria da esperan¸ca condicional n˜ao afeta nenhum c´alculo ´e comum tomarmos uma vers˜ao qualquer e denot´a-la por E[f |B]. Ressaltamos que E[f |B] ´e uma fun¸c˜ao (E[f |B] : Ω → R) cujo dom´ınio ´e o conjunto Ω e toma valores em R. Na sequˆencia apresentamos algumas de suas principais propriedades.
Proposi¸c˜ao 49 (Linearidade da Esperan¸ca Condicional). Sejam (Ω,F , µ) um espa¸co de medida finita, B uma sub-σ-´algebra de F e ν = µ|B. Para todas f, g ∈ L1(Ω,F , µ) e α ∈ R temos que
E[f + αg|B] = E[f |B] + αE[g|B] ν − q.t.p. Prova. Pela defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional temos
Z
E
(f + αg) dµ = Z
E
E[f + αg|B] dν para todo E ∈B. (3.5) Usando a linearidade da Integral de Lebesgue e a defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional de f e g dado a σ-´algebraB temos
Z E (f + αg) dµ = Z E f dµ + α Z E g dµ = Z E E[f |B] dν + α Z E
E[g|B] dν para todo E ∈B. (3.6)
CAP´ITULO 3. O LIMITE TERMODIN ˆAMICO 31 J´a que o lado esquerdo em (3.5) e (3.6) ´e o mesmo temos
Z E E[f + αg|B] dν = Z E E[f |B] dν + α Z E
E[g|B] dν para todo E ∈ B.
Usando novamente a linearidade da integral e que E ´e arbitr´ario em B conclu´ımos que E[f + αg|B] = E[f|B] + αE[g|B] ν − q.t.p..
A prova da pr´oxima proposi¸c˜ao ´e completamente an´aloga, mas repetiremos todos os detalhes para que o leitor menos experiente v´a se familiarizando com o conceito da esperan¸ca condicional e suas propriedades.
Proposi¸c˜ao 50 (B-homogenidade da Esperan¸ca Condicional). Sejam (Ω, F , µ) um espa¸co de medida finita, B uma sub-σ-´algebra de F e ν = µ|B. Se f ∈ L1(Ω,F , µ) e g ´e uma fun¸c˜ao B-mensur´avel ent˜ao
E[f g|B] = gE[f |B] ν − q.t.p.
Prova. Suponha que inicialmente que g = χF para algum F ∈ B. Da defini¸c˜ao de esperan¸ca
condicional temos Z E f χF dµ = Z E E[f χF|B] dν (3.7)
para todo E ∈ B. Como estamos supondo que F ∈ B, temos que E ∩ F ∈ B logo, aplicando novamente a defini¸c˜ao da esperan¸ca condicional obtemos
Z E f χF dµ = Z E∩F f dµ = Z E∩F E[f |B] dν = Z E χFE[f |B] dν. (3.8) De (3.7) e (3.8) segue que Z E E[f χF|B] dν = Z E
χFE[f |B] dν, para todo E ∈ B.
Logo E[f χF|B] = χFE[f |B] ν-q.t.p. e isto prova o teorema para o caso g = χF.
Vamos mostrar agora o teorema no caso em que g ´e uma fun¸c˜ao simples B-mensur´avel. Suponha que sua representa¸c˜ao padr˜ao seja g = Pn
j=1ajχEj, onde aj ∈ R e Ej ∈ B para todo
j = 1, . . . , n. Pela linearidade da esperan¸ca condicional e pela propriedade que acabamos de demostrar acima, uma indu¸c˜ao mostra que as seguintes igualdades s˜ao verdadeiras
E[gf |B] = E " n X j=1 ajχEj ! f B # = n X j=1 ajE[χEjf |B] = n X j=1 ajχEjE[f |B] = gE[f |B].
Resta agora estabelecer este fato para fun¸c˜oes g ∈ L1(Ω,B, ν). Primeiro vamos mostrar que ´e
CAP´ITULO 3. O LIMITE TERMODIN ˆAMICO 32 v´alido para f+, f− ∈ L1(Ω,F , µ) e g+, g− ∈ L1(Ω,B, ν). J´a que f = f+− f− e g = g+− g−
temos que
E[gf |B] = E[g+f+− g−f+− g+f−+ g−f−|B]
= E[g+f+|B] − E[g−f+|B] − E[g+f−|B] + E[g−
f−|B] = g+E[f+|B] − g−E[f+|B] − g+ E[f−|B] + g−E[f−|B] = (g+− g−)E[f+|B] − (g+− g−)E[f−|B] = gE[f+|B] − gE[f−|B] = g(E[f+|B] − E[f−|B]) = gE[f |B].
Portanto s´o resta mostrar que a proposi¸c˜ao ´e verdadeira para f ∈ L1(Ω,F , µ) e g ∈ L1(Ω,B, ν)
ambas n˜ao negativas. Pelo Teorema 29 existe uma sequˆencia gn : Ω → R mon´otona crescente
de fun¸c˜oes simples B-mensur´aveis tal que gn ↑ g. J´a que f ≥ 0 podemos afirmar que gnf ↑ gf .
Pela defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional Z
E
gnf dµ =
Z
E
E[gnf |B] dν, para todo E ∈B. (3.9)
J´a sabemos que para toda fun¸c˜aoB-mensur´avel gnsimples que a seguinte igualdade ´e verdadeira
E[gnf |B] = gnE[f |B]. Como f ≥ 0 ´e imediato verificar que E[f |B] ≥ 0, assim gnE[f |B] ↑
gE[f |B] o que nos permite aplicar o teorema da convergˆencia mon´otona em ambos os lados de (3.9) e concluir que Z E gf dµ = lim n→∞ Z E gnf dµ = lim n→∞ Z E gnE[f |B] dν = Z E
gE[f |B] dν, para todo E ∈ B. Observando que a integral mais a esquerda da igualdade acima ´e, por defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional, igual a REE[gf |B] dν e que esta igualdade ´e v´alida para todo E ∈ B conclu´ımos que E[gf |B] = gE[f |B] ν-q.t.p. e assim est´a completa a prova da proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 51 (Monotonicidade da Esperan¸ca Condicional). Seja (Ω,F , µ) um espa¸co de pro- babilidade. Se f, g ∈ L1(Ω,F , µ) s˜ao tais que f ≤ g e B ´e uma sub-σ-´algebra qualquer de F
ent˜ao E[f |B] ≤ E[g|B] ν-q.t.p., onde ν = µ|B
Prova. Pela defini¸c˜ao da esperan¸ca condicional temos Z E E[f |B] dν = Z E f dµ ≤ Z E g dµ = Z E
E[g|B] dν, para todo E ∈B. De onde segue o resultado.
CAP´ITULO 3. O LIMITE TERMODIN ˆAMICO 33 Teorema 52 (Teorema da Convergˆencia Mon´otona para Esperan¸ca Condicional). Seja (Ω,F , µ) um espa¸co de probabilidade, B uma sub-σ-´algebra de F e ν = µ|B. Se fn : Ω → [0, ∞] ´e uma
sequˆencia de fun¸c˜oes B-mensur´aveis tal que fn↑ f µ-q.t.p. ent˜ao E[fn|F ] ↑ E[f|F ] ν-q.t.p..
Prova. Por linearidade e monotonicidade da esperan¸ca condicional temos 0 ≤ Z E E[f |B] dν − Z E E[fn|B] dν = Z E f dµ − Z E fndµ. para todo E ∈B. Como R
EE[fn|B] dν ´e uma sequˆencia de n´umeros reais n˜ao decrescente e limitada ela possui
limite. Assim podemos tomar o limite quando n vai a infinito em ambos os lados da desigualdade acima e concluir usando o Teorema da Convergˆencia Mon´otona, no lado direito, que
0 ≤ Z E E[f |B] dν − lim n→∞ Z E
E[fn|B] dν = 0 para todo E ∈ B.
J´a que E[fn|B] ´e uma sequˆencia mon´otona de fun¸c˜oes, existe o limite limn→∞E[fn|B](ω) ν-q.t.p.
Logo podemos aplicar novamente o Teorema da Convergˆencia Mon´otona na desigualdade acima e concluir que Z E E[f |B] dν = Z E lim
n→∞E[fn|B] dν para todo E ∈B.
Desta forma acabamos de mostrar que E[fn|B] ↑ E[f|B] ν-q.t.p.
Exerc´ıcio 36. Prove a chamada propriedade de contra¸c˜ao para a esperan¸ca condicional. Seja (Ω,F , µ) um espa¸co de probabilidade, B uma sub-σ-´algebra de F , ν = µ|B e f ∈ L1(Ω,F , µ).
Mostre que Z Ω E[f |B] dν ≤ Z Ω |f | dµ.
Teorema 53 (Convergˆencia Dominada para Esperan¸ca Condicional). Seja (Ω,F , µ) um espa¸co de medida B sub-σ-´algebra de F e ν = µ|B. Suponha que fn: Ω → [0, +∞) seja uma sequˆencia
de fun¸c˜oes em L1(Ω,F , µ) que converge µ-q.t.p. para f : Ω → R. Se existe uma fun¸c˜ao
integr´avel g : Ω → R tal que |fn| ≤ g para todo n ∈ N, ent˜ao
lim
n→∞E[fn|B] = E[f|B] ν − q.t.p.
Prova. Seja hn : Ω → [0, +∞) uma sequˆencia de fun¸c˜oes dada por
hn(ω) = sup {j∈N:n≤j}
CAP´ITULO 3. O LIMITE TERMODIN ˆAMICO 34 Observe que para todo n ∈ N temos hn+1(ω) ≤ hn(ω) e hn(ω) ≤ |f (ω)| + |g(ω)|. Desta duas
propriedades podemos concluir que (|f | + |g| − hn) ↑ (|f | + |g|) µ-q.t.p.. Pelo Teorema 52
(convergˆencia mon´otona) segue que
E[(|f | + |g| − hn)|B] ↑ E[(|f| + |g|)|B] ν − q.t.p.
Usando a linearidade e monotonicidade da esperan¸ca condicional segue da observa¸c˜ao acima que E[hn|B] ↓ 0. Usando novamente a monotonicidade obtemos
E[f |B] − E[fn|B] ≤ E[|f − fn||B] ≤ E[hn|B] ↓ 0 ν − q.t.p..
Proposi¸c˜ao 54. Sejam (Ω,F , µ) um espa¸co de medida f : Ω → R uma fun¸c˜ao F -mensur´avel, A ⊂ B ⊂ F σ-´algebras, ν = µ|B e η = µ|A. Ent˜ao E[E[f |B]|A ] = E[f |A ] η-q.t.p..
Prova. Por defini¸c˜ao da esperan¸ca condicional temos Z
F
E[E[f |B]|A ] dη = Z
F
E[f |B] dν, para todo F ∈ A .
Como F tamb´em ´e um conjunto B-mensur´avel segue novamente da defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional que Z F E[f |B] dν = Z F f dµ, para todo F ∈A . Das duas igualdades acima, temos que
Z
F
f dµ = Z
F
E[E[f |B]|A ] dη, para todo F ∈ A .
Da unicidade η-q.t.p. garantida pelo Teorema 47 segue que o lado direito da igualdade acima ´e igual a E[f |A ] η-q.t.p., o que prova a proposi¸c˜ao.
Cap´ıtulo 4
Especifica¸c˜oes Gibbsianas
Em todo este cap´ıtulo Λ ⊂ Zd denotar´a um subconjunto finito da rede. Tamb´em tem um papel importante a fam´ılia de todos os subconjuntos finitos de Zd e por isso introduzimos a seguinte
nota¸c˜ao L := {Λ ⊂ Zd : |Λ| < ∞}.
Assumiremos tamb´em que o espa¸co de estados Ω ser´a sempre o produto cartesiano EZd,
onde E ´e um espa¸co m´etrico compacto como, por exemplo, {−1, 1}Zd, {1, . . . , q}Zd, (S1)Zd. Se
σ = (σi)i∈Zd ∈ Ω ent˜ao cada uma de suas componentes σi ∈ E ser´a chamada de spin no s´ıtio
i ∈ Zd. Vamos considerar tamb´em a rede Zd como um espa¸co m´etrico cuja a m´etrica ´e dada
pela norma `1, isto ´e, ki − jk = Pd
k=1|ik− jk|. Quando nos referirmos ao espa¸co mensur´avel
(Ω, F ), estaremos considerando sempre que F ´e a σ-´algebra gerada pelos cilindros.
Se Γ ⊂ Zd ´e um subconjunto arbitr´ario e σ ∈ Ω, usaremos a nota¸c˜ao σΓ para denotar
o elemento de EΓ, dado por σ
Γ = (σi)i∈Γ. Ou seja, σΓ como um elemento da imagem de
πΓ : EZ d
→ EΓ que aplica σ = (σ
i)i∈Zd 7→ (σi)i∈Γ= σΓ. Em geral, vamos considerar nesta se¸c˜ao
que o espa¸co de spins est´a munido de uma σ-´algebra E . Por exemplo, se E ´e igual a {−1, 1} ou {1, . . . , q} tomamos E = P(E). No caso E = S1 a σ-´algebra mais natural para ser tomada
´e a σ-´algebra de Borel do c´ırculo. No caso geral onde E ´e um espa¸co m´etrico compacto vamos tomar sempre E sendo a σ-´algebra dos borelianos.
Seguimos com uma pequena generaliza¸c˜ao da constru¸c˜ao apresentada anteriormente da σ-´algebra FΓ. Para cada i ∈ Γ e F ∈E , definimos CFi = {σ ∈ Ω : σi ∈ F }. Agora consideramos
a cole¸c˜ao de todos estes conjuntos, nota¸c˜aoCΓ = {CFi : i ∈ Γ e F ∈E }. A σ-´algebra FΓ ´e ent˜ao
a menor sub-σ-´algebra de F gerada pela cole¸c˜ao CΓ. Na maior parte deste cap´ıtulo estaremos
interessados no caso em que Γ = Λ (finito) ou Γ = Λc.
J´a que Λ ´e um subconjunto finito nos referimos aos elementos de FΛcomo um evento local
ou evento cil´ındrico.
Exerc´ıcio 37. Mostre que se Γ ⊂ Λ ent˜ao FΓ ´e uma sub-σ-´algebra de FΛ. O que podemos dizer
CAP´ITULO 4. ESPECIFICAC¸ ˜OES GIBBSIANAS 36 sobre a rela¸c˜ao de continˆencia entre FΓc e FΛc ?
Denotamos por B(Ω, F ) o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : Ω → R, F-mensur´aveis limi- tadas. De maneira an´aloga, para todo Λ ⊂ Zd definimos o espa¸co B(Ω, F
Λ) como o espa¸co das
fun¸c˜oes f : Ω → R, FΛ-mensur´aveis limitadas.
Vamos introduzir uma nota¸c˜ao que ser´a bastante conveniente para a discuss˜ao que se- gue. Sejam Λ ⊂ Zd, σ, ω ∈ Ω. Usaremos a nota¸c˜ao de concatena¸c˜ao σ
ΛωZd\Λ para denotar a
configura¸c˜ao η ∈ Ω definida por ηi = σi se i ∈ Λ e ηi = ωi se i ∈ Λc.
Exerc´ıcio 38. Seja Λ ⊂ Zd finito. Mostre que se f ∈ B(Ω, F
Λ) ent˜ao
f (σΛωZd\Λ) = f (σΛη Zd\Λ),
para quaisquer σ, ω, η ∈ Ω. Em outras palavras as fun¸c˜oes em B(Ω, FΛ) s˜ao fun¸c˜oes que depen-
dem apenas dos valores dos spins em Λ.
Dica: Comece provando este resultado para fun¸c˜oes caracter´ısticas, em seguida estenda seu resultado para fun¸c˜oes simples e mostre como ´e poss´ıvel usar o Teorema 29 para finalmente concluir que a afirma¸c˜ao ´e v´alida em B(Ω, F ).
Fun¸c˜oes que est˜ao em algum B(Ω, FΛ) s˜ao chamadas de fun¸c˜oes locais e denotamos este espa¸co
por Bloc(Ω) = [ Λ⊂Zd |Λ|<∞ B(Ω, FΛ)
Outro espa¸co importante nesta se¸c˜ao ser´a o espa¸co das fun¸c˜oes quase-locais que denota- remos por Bqloc(Ω), sendo este o conjunto formando pelas fun¸c˜oes que s˜ao limite uniforme de
fun¸c˜oes em Bloc(Ω).
Exerc´ıcio 39. Mostre que f ∈ Bqloc(Ω) se, e somente se,
lim
Λ↑Zd sup σ,σ0∈Ω σΛ=σΛ0
|f (σ) − f (σ0)| = 0. Dica (⇒): Se Λ ⊂ Γ, verifique que
sup σ,σ0∈Ω σΓ=σ0Γ |f (σ) − f (σ0)| ≤ sup σ,σ0∈Ω σΛ=σ0Λ |f (σ) − f (σ0)|. (⇐) Fixe ω ∈ Zd considere a seguinte sequˆencia de fun¸c˜oes locais f
Λ : Ω → R, definida por
CAP´ITULO 4. ESPECIFICAC¸ ˜OES GIBBSIANAS 37
4.1
Intera¸c˜oes Regulares
Nesta se¸c˜ao consideramos uma classe bastante ampla de Hamiltonianos para os quais podere- mos falar sobre medidas de Gibbs. Introduzimos tamb´em ainda num contexto particular (caso compacto) a no¸c˜ao de especifica¸c˜ao gibbsiana com intuito de preparar o leitor para o estudo do caso geral, que ser´a feito mais adiante.
Seja (Ω,F ) um espa¸co mensur´avel, com Ω = EZd e F a σ-´algebra gerada pelos cilindros.
Vamos supor sempre que existe uma m´etrica d em Ω tal queF ´e gerada por esta m´etrica e (Ω, d) ´e um espa¸co m´etrico compacto. Se Λ ⊂ Zd, denotaremos por C(Ω, F
Λ) o conjunto de todas as
fun¸c˜oes f : Ω → R cont´ınuas que s˜ao FΛ-mensur´aveis.
Defini¸c˜ao 55. Uma intera¸c˜ao ´e uma fam´ılia Φ = {ΦA}A∈L de fun¸c˜oes indexada por L onde
ΦA ∈ B(Ω, FA) ∀ A ∈ L . No caso em que ΦA ∈ C(Ω, FA) para todo A ∈ L dizemos que a
intera¸c˜ao Φ ´e cont´ınua.
De maneira usual denotamos por kΦAk∞ a norma do sup de ΦA, isto ´e,
kΦAk∞= sup ω∈Ω
|ΦA(ω)|.
Defini¸c˜ao 56 (Intera¸c˜ao Regular). Uma intera¸c˜ao Φ = {ΦA}A∈L ´e chamada de regular se para
cada i ∈ Zd, existe uma constante c
i > 0 tal que
X
A3i A∈L
kΦAk∞≤ ci < ∞.
Observa¸c˜ao. O conjunto de todas as intera¸c˜oes para as quais supi∈Zdci < ∞, forma um espa¸co
de Banach (B0, ||| · |||), com a norma definida por
|||Φ||| = sup
i∈Zd
X
A3i
kΦAk∞.
Na ausˆencia da limita¸c˜ao uniforme das constantes ci podemos garantir apenas que o conjunto
das intera¸c˜oes forma um espa¸co de Fr´echet. Quando a intera¸c˜ao ´e invariante por transla¸c˜ao, isto ´e, ΦA+j(Tj(σ)) = ΦA(σ), onde (Tj(σ))i = σi+j, para todo j ∈ Zd as constantes ci podem ser
tomadas como sendo uma constante c e portanto o subconjunto dos potenciais invariantes por transla¸c˜ao ´e um subespa¸co de (B0, ||| · |||).
A partir de uma intera¸c˜ao podemos construir um Hamiltoniano para todo volume finito Λ ⊂ Zd, da seguinte forma
HΛ(σ) = −
X
A∩Λ6=∅
CAP´ITULO 4. ESPECIFICAC¸ ˜OES GIBBSIANAS 38 Exerc´ıcio 40. Se Φ ∈ (B0, ||| · |||), mostre que existe uma constante C > 0 tal que para todo
Λ ⊂ Zd finito temos
kHΛk∞ ≤ C|Λ|.
Exerc´ıcio 41. Mostre que se Φ = {ΦA}A∈L ´e uma intera¸c˜ao regular ent˜ao HΛ ´e uma fun¸c˜ao
quase local para todo Λ ⊂ Zd finito.
Exerc´ıcio 42. Mostre que se Φ = {ΦA}A∈L ´e uma intera¸c˜ao regular cont´ınua ent˜ao HΛ´e uma
fun¸c˜ao quase local cont´ınua para todo Λ ⊂ Zd finito.