Deformações e Tensões

3.3.2.1 Deformações

Seja uma fibra de material qualquer, onde se designa por Vr, Ar e lr, o seu volume, a sua área da

seção transversal e o seu comprimento, respectivamente, na sua configuração de referência ou inicial e por Vc, Ac e lc, o seu volume, a sua área da seção transversal e o seu comprimento,

respectivamente, na configuração corrigida ou atual ou deformada, na qual atua uma força normal N, como ilustra a Fig. 3.8.

Figura 3.8 – Configurações de uma fibra material A partir da Fig. 3.8, é evidente que são válidas as seguintes equações:

= 𝐴 (3.73)

= 𝐴 (3.74)

Uma medida de deformação é definida como qualquer grandeza que compare os comprimentos da fibra nas configurações de referência e corrigida. Uma medida básica de deformação é o estiramento local da fibra, dado pela Eq. (3.72), que pode ser escrito como:

A_r A_c

N

N

= 𝑐

𝑟 (3.75)

Uma família de medidas de deformação ou família de deformações pode ser definida através de:

= λ − , ≠ (3.76)

= ln , = (3.77)

Variando-se o índice m das Eqs. (3.76) e (3.77) e com o auxílio da Eq. (3.75), alguns membros da família de deformações podem ser explicitados:

a) m = 1  Deformação Quadrática ou de Green-Lagrange: =λ − = 𝑐 −𝑟

𝑟 (3.78)

b) m =  Deformação Linear ou de Engenharia ou de Biot:

⁄ = − = 𝑐−𝑟

𝑟 =

Δ

𝑟 (3.79)

c) m = 0  Deformação Logarítmica ou Natural ou de Henchy: = ln = ln 𝑐

𝑟 (3.80)

d) m = −  Deformação Hiperbólica ou de Reiner:

− ⁄ = − − = 𝑐−_𝑐𝑟 =Δ_𝑐 (3.81)

e) m = -1  Deformação de Almansi:

− = −λ = 𝑐 −_𝑐𝑟 (3.82)

A Fig. 3.9 ilustra o gráfico deformação (m) versus estiramento () de uma fibra qualquer

Figura 3.9 – Gráfico m versus  das famílias de deformações

A Fig. 3.9 ilustra que para  < 1 há encurtamento da fibra com a deformação m < 0, com  = 1

não há estiramento e a deformação m = 0, já para  > 1 há extensão ou alongamento da fibra

com a deformação m > 0. Observa-se que todos os membros da família de deformações (Eqs.

(3.78) a (3.82)) concorrem em um mesmo ponto quando  = 1 e que essas deformações são muito próximas entre si no entorno desse ponto. Assim, no estudo de estruturas em que ocorrem pequenas deformações,  ≤ 1,04 conforme Bathe (1996), qualquer membro dessa família pode ser utilizado na análise.

Derivando-se a Eqs. (3.75) e (3.76) no tempo tem-se:

𝜆 _{= ̇ =} 𝑐̇

𝑟 (3.83)

𝜀 _{= ̇ = λ − ̇}

(3.84)

Com o auxílio da Eq. (3.83) obtém-se uma família de taxas de deformação: ̇ = λ 𝑐̇

𝑐 (3.85)

Denominando-se de taxa instantânea de deformação, que independe da configuração de referência, a relação: -12,00 -9,00 -6,00 -3,00 0,00 3,00 6,00 9,00 12,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 _m  Deformação Quadrática ou de Green-Lagrange

Deformação Linear ou de Biot Deformação Natural ou de Hencky Deformação Hiperbólica ou de Reiner Deformação de Almansi

Extensão/ Alongamento Encurtamento

̇ = 𝑐̇

𝑐 (3.86)

Finalmente, a família de taxas de deformação é dada por:

̇ = λ ̇ (3.87)

Como visto anteriormente, para pequenas deformações pode-se considerar que  ≈ 1 e, nesse caso, todos os membros da família de taxas de deformações (Eq. (3.87)) também se confundem.

3.3.2.2 Tensões

A tensão de Cauchy e a tensão de Engenharia ou Nominal da fibra são definidas, respectivamente, por:

𝜎 = 𝑁

𝑐 (3.88)

𝜎𝑁 = 𝑁_𝑟 (3.89)

onde N é a força normal, Ac e Ar são as áreas da seção transversal da fibra nas configurações

corrigida e de referência, respectivamente.

Entretanto, outras definições para as tensões são possíveis, podendo-se chegar a elas utilizando o conceito de potência, ou seja, do trabalho realizado (w) por unidade de tempo:

̇ = (3.90)

Portanto, o trabalho de N por unidade de volume de referência é dado por:

= _𝑉𝑁

𝑟 − (3.91)

Assim, utilizando-se as Eqs. (3.90) e (3.91) determina-se a potência de N por unidade de volume de referência:

̇ = _𝑉𝑁

𝑟 ̇ (3.92)

que pode ser escrita em função da tensão nominal (N), com a ajuda das Eqs. (3.73), (3.75),

(3.86) e (3.89), como:

̇ = 𝜎𝑁 ̇ (3.93)

Para se definir a tensão (m), conjugada com a deformação (m) dada pelas Eqs. (3.76) e (3.77),

deve-se igualar a potência dos esforços externos, dada pela Eq. (3.93), com a potência dos esforços internos, dada por:

̇ = 𝜎 ̇ (3.94)

Igualando-se as Eqs. (3.93) e (3.94) e com o auxílio da Eq. (3.87), obtém-se:

𝜎 = − _𝜎

𝑁 (3.95)

representando-se a família de tensões m conjugada com a família de deformações m, em

função da tensão normal N.

Variando-se o índice m da Eq. (3.95), alguns membros da família de tensões podem ser definidos em função da tensão de engenharia N da seguinte forma:

a) m = 1  Segunda Tensão de Piola-Kirchhoff: 𝜎 = − _𝜎

𝑁 (3.96)

que é conjugada com a deformação de Green-Lagrange, 1, dada pela Eq. (3.78).

b) m = ½  Tensão de Engenharia ou Nominal:

𝜎⁄ = 𝜎𝑁 (3.97)

que é conjugada com a deformação de Engenharia, 1/2, dada pela Eq. (3.79).

c) m = 0  Tensão de Kirchhoff-Trefftz:

𝜎 = 𝜎𝑁 (3.98)

d) m = - ½  Tensão de Reiner:

𝜎− / = 𝜎𝑁 (3.99)

que é conjugada com a deformação hiperbólica, -1/2, dada pela Eq. (3.81).

e) m = - 1  Tensão de Almansi:

𝜎− = 𝜎𝑁 (3.100)

que é conjugada com a deformação Almansi, -1, dada pela Eq. (3.82).

Derivando-se a Eq. (3.95) no tempo, obtém-se uma família de taxas de tensionamento dada por: 𝜎 ̇ = − _𝜎

𝑁̇ + − − ̇𝜎𝑁 (3.101)

Para pequenas deformações, quando  ≈ 1 as Eqs. (3.95) a (3.101) ficam:

𝜎 ≈ 𝜎𝑁 (3.102)

𝜎 ̇ ≈ 𝜎𝑁̇ + − ̇𝜎𝑁 (3.103)

ou seja, variando-se também o índice m, todos os membros da família de tensões (Eq. (3.95)) se confundem, mas os membros da família de taxas de tensionamento (Eq. (3.101)) diferem entre si.

Para uma análise teórica consistente em mecânica dos sólidos e estruturas, as medidas de tensões e deformações devem ser conjugadas e objetivas, segundo Bathe (1982, 1996) e Pai e Nayfeh (1994). Tensão e deformação conjugada são um par de medidas que ao se integrar o produto da tensão pela taxa de deformação em todo o volume da fibra tem-se a energia interna total. Por exemplo, o segundo tensor de tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das deformações de Green-Lagrange e as tensões e deformações de engenharia formam pares de medidas de tensões e deformações conjugadas.

Tensões e deformações objetivas são invariantes sob movimentos de corpo rígido, ou seja, nenhum componente dos tensores de tensão ou deformação muda, quando ocorrem rotações puras de corpo rígido.

Ao se adotar o sistema local de coordenadas corrotacionais, no qual os deslocamentos generalizados são medidos em relação a uma configuração deformada, é garantido que as tensões e deformações de engenharia formam pares de medidas de tensões e deformações objetivas. No sistema corrotacional não são considerados os graus de liberdade de corpo rígido, levando-se em conta apenas os graus de liberdade naturais (que são definidos em relação à corda de elemento deformado), os quais são quantidades objetivas, ou seja, a taxa de deformação depende somente deles. Aplicando-se então, as relações deformação-deslocamento da elasticidade linear no campo de deslocamento local, definido em função apenas dos graus de liberdade naturais, obtêm-se as deformações de engenharia objetivas. Para levar em conta os deslocamentos de corpo rígido, é necessária uma transformação entre os dois sistemas de coordenadas: um que descreve a configuração indeformada (sistema de coordenadas Lagrangiano ou cartesiano) e o outro que descreve a configuração deformada (sistema de coordenadas corrotacional).

Considerando-se todos estes conceitos, as tensões e deformações de engenharia tornam-se um par de medidas de tensão e deformação conjugadas e objetivas. Dessa forma, elas serão utilizadas como referência para o desenvolvimento da formulação desse trabalho, sendo designadas por:

⁄ = = − (3.104)

σ ⁄ = σ = 𝜎𝑁 (3.105)

cujas derivadas no tempo valem:

̇ ⁄ = ̇ = ̇ (3.106)

σ̇ ⁄ = σ̇ = 𝜎𝑁̇ (3.107)