Coeficiente de correcção da Fórmula de Merchant Rankine
3.3 Imperfeições Geométricas
3.3.1 Deformada inicial
Considere-se uma coluna simplesmente apoiada, a qual apresenta uma configuração de deformada inicial definida
2001). Após carregamento a configuração de
Imperfeições Geométricas
No presente capítulo, têm-se desenvolvido conceitos teóricos de colunas axialmente comprimidas. No entanto, tem-se admitido que as colunas são perfeitas, isto é, o eixo da
do segundo a linha de acção da carga axial – é rectilíneo.
a prática, as colunas possuem imperfeições geométricas. De entre elas destacam Configuração com deformada inicial; isto é, o eixo da coluna na fase
neo (como se pode ver na Figura 3.6).
Excentricidade de carga, isto é, o carregamento axial como se pode ver na Figura 3.7).
Configuração de deformada Reis e Camotim (2001)
Figura 3.6: Excentricidade de
adaptado de Reis e Camotim (2001)
De seguida são demonstrados, de forma mais pormenorizada, os tipos de imperfeições acima apresentadas. Salienta-se que nos princípios abaixo expostos considera
mente apoiadas.
ma coluna simplesmente apoiada, a qual apresenta uma configuração w0(x), axialmente carregada por uma carga P
. Após carregamento a configuração de equilíbrio é definida por: w0(x) + w(x)
se desenvolvido conceitos teóricos de colunas axialmente se admitido que as colunas são perfeitas, isto é, o eixo da
e entre elas destacam-se: deformada inicial; isto é, o eixo da coluna na fase
axial não é aplicado no
Excentricidade de carga, Reis e Camotim (2001)
s, de forma mais pormenorizada, os tipos de imperfeições se que nos princípios abaixo expostos considera-se que as
ma coluna simplesmente apoiada, a qual apresenta uma configuração (x), axialmente carregada por uma carga P (Reis e Camotim,
Figura 3.7: Configuração deformada inicial, adaptado de
O comportamento da coluna é definido pela equação diferencial: !
A primeira parcela da equação, deslocamentos adicionais w(x).
A deformada inicial da coluna pode ser representada, pela série de Fourier:
Sendo os coeficientes
instabilidade das colunas perfeitas são dados pela expressão; afirmar que “a componente da configuração
instabilidade de ordem m da coluna perfeita” é representada por cada 2001).
Atendendo a que as condições fronteiras são:
e aplicando-as nas equações atrás definidas, obt diferencial, dada por:
Em que / são os coeficientes que é necessário determinar equação atrás apresentada na equação diferencial, obtendo
∑∞ !" S/01 T
/f
Configuração deformada inicial, adaptado de (Reis e Camotim, 2001) O comportamento da coluna é definido pela equação diferencial:
!. ". # # 0
A primeira parcela da equação, !. ". , define os momentos internos e deve deslocamentos adicionais w(x).
A deformada inicial da coluna pode ser representada, pela série de Fourier: ∑∞f. sin S.0.1 T
Sendo os coeficientes conhecidos (pela série de Fourier) e dado que os modos de instabilidade das colunas perfeitas são dados pela expressão; sin
afirmar que “a componente da configuração com deformada inicial segundo o mo instabilidade de ordem m da coluna perfeita” é representada por cada ” (Reis e Camotim,
Atendendo a que as condições fronteiras são: 0 0
as nas equações atrás definidas, obtem-se a solução geral da equação
∑∞f/ . sin S/.0.1 T
são os coeficientes que é necessário determinar. Para tal basta substituir a equação atrás apresentada na equação diferencial, obtendo-se:
S T&# . /. sin/01 ∑∞fS . sin01
(Reis e Camotim, 2001)
(3.24) os momentos internos e deve-se aos
A deformada inicial da coluna pode ser representada, pela série de Fourier:
(3.25) e dado que os modos de sin S.0.1 T é correcto deformada inicial segundo o modo de ” (Reis e Camotim,
(3.26) se a solução geral da equação
(3.27) ara tal basta substituir a
Igualando os coeficientes das funções trigonométricas (senos), vem:
Tendo em conta que
Posto isto conclui-se que a config
submetida a um esforço de compressão constante P, é definida pela expressão matemática:
Da expressão matemática acima apresentada, podem conclusões:
- Cada termo da série corresponde a um modo de instabilidade; - A amplitude de cada modo de instabilidade é dada pelo factor designado, segundo (Reis e Camotim,2001)
. - Cada componente das imperfeiçõe
ampliada por um factor, o qual é inversamente proporcional à carga de bifurcação correspondente e é dependente do carregamento axial.
Através da expressão matemática que caracteriza a c se as trajectórias de equilíbrio, apresentadas na
Figura 3.8: Trajectória de equilíbrio de uma coluna comprimida axialmente sujeita
uma deformada inicial, adaptado
Igualando os coeficientes das funções trigonométricas (senos), vem: / . K S?BT { / / .0 1 , obtém-se: / { . /
se que a configuração com deformada inicial
submetida a um esforço de compressão constante P, é definida pela expressão matemática: ∑
{ .
∞
/f sin/01
Da expressão matemática acima apresentada, podem-se retirar as seguintes
Cada termo da série corresponde a um modo de instabilidade; A amplitude de cada modo de instabilidade é dada pelo factor designado, segundo (Reis e Camotim,2001), facto de ampliação
Cada componente das imperfeições iniciais, (Reis e Camotim, 2001), ampliada por um factor, o qual é inversamente proporcional à carga de bifurcação correspondente e é dependente do carregamento axial.
Através da expressão matemática que caracteriza a configuração de equilíbrio obtêm e as trajectórias de equilíbrio, apresentadas na Figura 3.8.
Trajectória de equilíbrio de uma coluna comprimida axialmente sujeita uma deformada inicial, adaptado de (Reis e Camotim,2001)
Igualando os coeficientes das funções trigonométricas (senos), vem:
(3.29)
(3.30)
inicial da coluna, quando submetida a um esforço de compressão constante P, é definida pela expressão matemática:
(3.31)
se retirar as seguintes
Cada termo da série corresponde a um modo de instabilidade; A amplitude de cada modo de instabilidade é dada pelo factor
{ M que é
(Reis e Camotim, 2001), é ampliada por um factor, o qual é inversamente proporcional à carga de bifurcação
onfiguração de equilíbrio obtêm-
Trajectória de equilíbrio de uma coluna comprimida axialmente sujeita de (Reis e Camotim,2001)
Analisando a Figura 3. bifurcação de equilíbrio; isto deve
aumento gradual dos deslocamentos, matematicamente representados .
Com isto, conclui-se que, transcrevendo
apresenta bifurcação de equilíbrio, .., os deslocamentos se tornam infinitos quando a carga critica (que é uma assimptota horizontal das trajectórias de equilíbr