4.2 Extens˜ ao do m´ etodo: Modelo el´ıptico
4.2.1 Demonstra¸c˜ ao matem´ atica
Partindo da mesma motiva¸c˜ao e problemas apresentados nas se¸c˜oes anteriores. Vamos agora supor que a distribui¸c˜ao de potˆencia do feixe luminoso seja um padr˜ao gaus- siano bidimensional, por´em de proje¸c˜ao el´ıptica no plano reto do receptor como mostra a figura 4.3.
(a) Vista espacial da proje¸c˜ao do feixe luminoso (b) Vista no plano XY da proje¸c˜ao do feixe luminoso
Figura 4.3: Exemplo de uma gaussiana bivari´avel el´ıptica
Assumindo a proje¸c˜ao eliptica temos:
P (x, y) = P0e−(x−x0)
2/
2σx2
e−(y−y0)2/2σy2 (4.3) Onde a equa¸c˜ao 4.3 representa uma distribui¸c˜ao de potˆencia gaussiana bidimen- sional. Assim, de posse do desenvolvimento do feixe de proje¸c˜ao circular apresentada em [21], o pr´oximo passo ´e descobrir o melhor ponto em que se deve colocar os fotode- tectores no modelo el´ıptico. Perceba que quando fixada uma vista do plano 3D de uma distribui¸c˜ao gaussiana bidimensional el´ıptica, a vista frontal torna-se a de uma gaussiana unidimensional. Faz-se ent˜ao `a abstra¸c˜ao de que no plano YZ , a vista da proje¸c˜ao ser´a um gaussiana unidimensional, conforme aux´ılio da figura 4.4.
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Figura 4.4: Vista plano YZ da gaussiana bivari´avel el´ıptica
Logo, no plano YZ temos:
P (z) = P0e−(y−y0)
2
/2σy2
(4.4)
Onde a equa¸c˜ao 4.4 apresenta apenas a parte da equa¸c˜ao 4.3 respons´avel pela sua proje¸c˜ao no plano YZ. Como inicialmente nossa fonte luminosa est´a em um meio ideal, n˜ao turbulento e com seu foco no centro do plano cartesiano do receptor, isto ´e : M ax(P (z)) → y = y0 = 0
Assim, a equa¸c˜ao 4.4 para o plano YZ fica an´aloga ao caso circular, isto ´e:
P (z) = P0e−(y) 2 /2σy2 = P 0e−r 2/w2 (4.5)
Por compara¸c˜ao da igualdade em 4.5 temos:
28 Derivando-se a segunda em rela¸c˜ao a r , P00(Z) = ∂∂r2f2 , tem-se :
Ry critico= √ 2Wy 2 , onde, Wy = √ 2σy (4.6)
Onde Ry criticona equa¸c˜ao 4.6 representa a distˆancia ´otima da origem(y = 0 ) sobre
o eixo y, dessa maneira, garantimos a disposi¸c˜ao do fotodetector onde h´a uma maior inclina¸c˜ao da gaussiana, em outras palavras, onde teremos uma maior sensibilidade na leitura do fotodetector caso haja um efeito de deflex˜ao causado pelo beam wander, pois, ´e neste ponto em que a distribui¸c˜ao de potˆencia luminosa mais varia.
O mesmo desenvolvimento partindo da equa¸c˜ao 4.3 ´e v´alida para a vista no plano XZ. Assim: Rx critico = √ 2Wx 2 , onde, Wx = √ 2σx (4.7)
Todo o desenvolvimento do caso circular desenvolvido por [21] ´e v´alido para o caso el´ıptico, uma vez que o mesmo seja interpretado como um produto de duas gaussianas unidimensionais, uma no plano YZ e outra no plano XZ cada qual com suas respectivas larguras no plano de proje¸c˜ao.
Resolu¸c˜ao limite em x = 0.583Wx SN R (4.8) Resolu¸c˜ao limite em y = 0.583Wy SN R (4.9)
Podemos ainda fazer outra associa¸c˜oes com a geometria da el´ıpse. Sabendo que a el´ıpse possui a geometria e seus parˆametros como mostra a figura 4.5:
2a = W x 2b = W y 2a =√2σx 2b = √ 2σy a= √ 2σx 2 b= √ 2σy 2
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Figura 4.5: Elipse e seus parˆametros geometricos
Assim, o sistema de equa¸c˜oes para que seja feito o trackeamento do padr˜ao el´ıptico segue-se da seguinte forma:
P (Z) = P0e−0.5((x−x0) 2 /σx2 +(y−y0)2/σy2) (4.10) simplificando : (x − x0) 2σ x2+ (y − y0) 2σ y2 = K (4.11) P (Z) P0 = ¯P = e−0.5K (4.12) ln( ¯P ) = −0.5K (4.13) K = −2ln( ¯P ) (4.14)
Abrindo o fator K e realizando M.M.C temos:
30 Observe que desta vez, em compara¸c˜ao ao modelo circular teremos 4 vari´aveis livres, logo, precisaremos de 4 equa¸c˜oes e consequentemente 4 fotodetectores:
(x1 − x0)2σy2+ (y1− y0)2σx2+ 2σx2σy2ln( ¯P ) = 0 (x2 − x0)2σy2+ (y2− y0)2σx2+ 2σx2σy2ln( ¯P ) = 0 (x3 − x0)2σy2+ (y3− y0)2σx2+ 2σx2σy2ln( ¯P ) = 0 (x4 − x0)2σy2+ (y4− y0)2σx2+ 2σx2σy2ln( ¯P ) = 0 (4.16)
onde x1, x2, x3, x4 e y1, y2, y3, y4 s˜ao as posi¸c˜oes dos fotodetectores no plano recep-
tor, ¯P potˆencia normalizada e as variaveis a serem descobertas : x0, y0, σx2, σy2 , onde x0
e y0 s˜ao as mais importantes, representando a posi¸c˜ao do centro do feixe luminoso.
4.2.2
Defini¸c˜ao de largura efetiva de um feixe luminoso
A largura efetiva consiste no diˆametro onde a intensidade luminosa normalizada do sinal decai a um valor de potˆencia igual ´a 1/e da potˆencia inicial, veja figura 4.6.
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4.2.3
Simula¸c˜ao, resultados e discuss˜ao do modelo eliptico
Os resultados das simula¸c˜oes ser˜ao expostos em 3 se¸c˜oes. Estes foram feitos em no ambiente de simula¸c˜ao Matlab com o objetivo de comprovar o trackeamento do feixe, assim, comprovando-se o trackeamento o conseq¨uente armazenamento das amostras de deflex˜ao do feixe causado pelo beam wander e sua estimativa do Cn2 com as equa¸c˜oes 3.8
ou 3.9 se tornam triviais.
Na primeira se¸c˜ao ser´a exposto a simula¸c˜ao do trackeamento em regimes quasi- est´atico, ou seja, pouca turbulˆencia de forma a validar a simula¸c˜ao. Na segunda se¸c˜ao, ser´a simulado em ambientes mais severos, isto ´e, maior turbulˆencia.
Os fotodetectores foram dispostos de acordo com a largura a altura 1e da potˆencia inicial medida de antem˜ao em um ambiente controlado. O objetivo ´e coloca-lo na posi¸c˜ao de maior taxa de varia¸c˜ao, maior gradiente, para uma maior sensibilidade de leitura das amostras [21]. Iremos utilizar o Wx, largura da fonte na vista XZ no valor de 5 unidades
de medida e Wy, largura da fonte na vista YZ no valor de 3 unidades de medida. A posi¸c˜ao
dos fotodetectores da simula¸c˜ao est˜ao dispostos de acordo com a tabela 4.1 abaixo:
i 1 2 3 4
xi 0 -3.5355 0 3.5355
yi 2.1213 0 -2.1213 0
Tabela 4.1: posi¸c˜ao dos fotodetectores em unidades de medida
Desta forma tem-se a configura¸c˜ao, conforme a figura 4.7 de uma el´ıpse de di- mens˜oes igual ´a 2a = 5 e 2b = 3 unidades de medida(u.m) em um plano receptor reto de 400(u.m)2.
32
Figura 4.7: Padr˜ao eliptico no plano receptor
(a) Trackeamento do feixe em regime quasi-est´atico
O regime quasi-est´atico ´e a simula¸c˜ao de um ambiente onde a intensidade da tur- bulˆencia atmosf´erica ´e muito fraca. Assim, o modelo matem´atico, desenvolvido na se¸c˜ao anterior, usa uma rotina interativa padr˜ao dispon´ıvel no ambiente de si- mula¸c˜ao Matlab chamada trust-region-dogleg para resolu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes apresentado em 4.16.
33
(a) Simula¸c˜ao regime quasi-est´atico (b) Erro versus distˆancia radial
Figura 4.8: Regime quasi-est´atico do padr˜ao eliptico
O m´etodo de an´alise de erro ´e calculado pelo somat´orio da distˆancia euclidiana dividida pelo n´umero total de elementos de amostra(N ), ou seja, f´ormula do erro m´edio 4.17.
P p(xc0− xc)2 + (yc0− yc)2
N (4.17)
onde (xc0, yc0) representa a posi¸c˜ao do centro do feixe dado pelo m´etodo da trian- gula¸c˜ao de potˆencias e (xc, yc) a posi¸c˜ao real do feixe.
34 (b) Trackeamento do feixe em regime extremos e severos
1. Primeiro caso: distˆancia entre fotodetectores >> W , Neste caso, mesmo que o feixe se mova, a potˆencia detectada Pi pelo fotodetector est´a imersa em ruido, isto leva
as equa¸c˜oes 4.16 a convergirem para o ponto (x0, y0) = (0, 0)
2. Segundo caso: distˆancia entre fotodetectores << W , Neste caso, mesmo que o feixe se mova, a potˆencia detectada n˜ao ir´a mudar,acusar altera¸c˜ao relevante, pois ∆P < Pru´ıdo, onde ∆P ´e a diferen¸ca de leitura entre os fotodetectores. Desta forma,
35 3. Terceiro caso: Canal atmosf´erico com SNR=30
(a) Trackeamento do feixe com SNR=30 (b) Erro versus distˆancia radial do centro cartesiano
4. Quarto caso: Canal atmosf´erico com SNR=20
36 5. Quinto caso: Canal atmosf´erico com SNR=10
37 Erro versus SNR
Cap´ıtulo 5
Conclus˜ao e expectativa de trabalho
futuros
O trabalho apresentado consistiu de um levantamento bibliogr´afico majoritaria- mente feito atrav´es do reposit´orio online do IEEE e os artigos mais relevantes para a produ¸c˜ao deste texto se encontram nas referencias. As simula¸c˜oes realizadas para pro- por a extens˜ao do m´etodo da triangula¸c˜ao de potˆencias se mostrou bastante ´util para o prop´osito que ´e de trackear o feixe e mensurar a intensidade da turbulˆencia atmosf´erica atrav´es da constante de estrutura do ´ındice de refra¸c˜ao (Cn2). Al´em disso, o m´etodo se
mostra bastante vers´atil para qualquer ambiente, variadas intensidades de turbulˆencias e tipos de proje¸c˜oes diferentes de feixes (circular e el´ıptico). Ainda,futuramente prop˜oem-se realizar experimentos que visam comprovar a efic´acia da extens˜ao do m´etodo de trian- gula¸c˜ao de potˆencias. Este experimento ser´a composto de um LASER como transmissor , um plano receptor com 4 fotodetectores e uma cˆamara capaz de se controlar as vari´aveis atmosf´ericas como press˜ao, temperatura e umidade .
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