demonstrac ¸˜ oes 1 Por que Demonstrar?

“A l´ogica ´e a higiene que o matem´atico pratica para manter as suas ideias saud´aveis e fortes. “

Hermann Weyl

Nas sec¸˜oes anteriores apresentamos alguns elementos da linguagem e da l ´ogica que sustentam a matem´atica. J´a nesta sec¸˜ao apresentaremos algumas ideias sobre demonstra- c¸ ˜oes matem´aticas. Comec¸aremos com uma breve discuss˜ao sobre o papel das demonstrac¸˜oes no conhecimento matem´atico.

A importˆancia do conhecimento matem´atico para as ciˆencias ´e ineg´avel. Grandes te- orias cient´ıficas, como a mecˆanica newtoniana, o eletromagnetismo, a relatividade ge- ral e quˆantica s˜ao expressas elegantemente em termos matem´aticos, e mais, grac¸as a uma relac¸˜ao intrincada entre o conhecimento natural entre esses campos de saber e uma matem´atica sofisticada, essas teorias s˜ao capazes de um poder de expressividade, de descric¸˜ao e de precis˜ao invej´aveis. S˜ao essas teorias cient´ıficas, e assim tamb´em a ma- tem´atica envolvida nessas descric¸˜oes, que sustentam os avanc¸os tecnol ´ogicos de nossa sociedade. Como enfaticamente expresso pelo f´ısico Galileo Galilei:

“A filosofia encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre perante nossos olhos (isto ´e, o universo), que n˜ao se pode compreender an- tes de entender a l´ıngua e conhecer os caracteres com os quais est´a escrito. Ele est´a escrito em l´ıngua matem´atica, os caracteres s˜ao triˆangulos, circun- ferˆencias e outras figuras geom´etricas, sem cujos meios ´e imposs´ıvel entender humanamente as palavras; sem eles n ´os vagamos perdidos dentro de um obs- curo labirinto”

Galileo Galilei, O Ensaiador

Se por um lado essa vis˜ao utilitarista da matem´atica como ferramenta, seria sufici- ente para justificar a importˆancia do estudo da matem´atica, essa vis˜ao ´e insuficiente para levar `a compreens˜ao profunda da matem´atica em si. A matem´atica, como ´area do conhecimento, tem um prop ´osito muito mais amplo que ser a l´ıngua da ciˆencia.

A matem´atica tem objetivos e m´etodos pr ´oprios. E talvez o m´etodo seja uma das mar- cas que distinguem fundamentalmente a matem´atica das outras ´areas do conhecimento. Nessa linha podemos dizer que a matem´atica, pelo menos nos ´ultimos 23 s´eculos, se ca- racteriza pelo m´etodo axiom´atico, que simplificadamente pode ser descrito como tomar

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alguns fatos como verdadeiros (as hip ´oteses, os axiomas) e demonstrar todo o restante a partir desses fatos, utilizando as regras da l ´ogica.

Vale ressaltar que, claramente, a matem´atica se estende muito al´em do pensamento racional-dedutivo e a intuic¸˜ao e a percepc¸˜ao inconsciente s˜ao chaves para a criativi- dade matem´atica, e a sede de descobrir novas verdades, de expandir o conhecimento ´e a motivac¸˜ao do esforc¸o matem´atico. Por´em , embora estes sejam realmente elemen- tos essenciais na explorac¸˜ao cont´ınua e no desenvolvimento da matem´atica, o racioc´ınio l ´ogico ´e imprescind´ıvel para a determinac¸˜ao da verdade matem´atica.

Assim a quest˜ao natural ´e: porque as demonstrac¸˜oes s˜ao importantes? Porque a supre- macia do racioc´ınio l ´ogico e da deduc¸˜ao?

O principal motivo ´e que nossa intuic¸˜ao falha. E na hist ´oria da matem´atica, diversos exemplos demonstraram e convenceram os matem´aticos que s ´o a intuic¸˜ao ´e insuficiente para compreender os fatos matem´aticos.

Para ilustrar esse ponto, um exemplo t´ıpico da falibilidade da nossa intuic¸˜ao ´e o fato que para equac¸ ˜oes polinomiais de grau maior igual que 5 n˜ao existem f ´ormulas fechadas ao estilo da f ´ormula de Bhaskara que expressam as soluc¸ ˜oes desses polin ˆomios. Dito de outra forma, as soluc¸ ˜oes de um polin ˆomio de grau maior que 5 em geral n˜ao podem ser expressas como um n ´umero finito de somas, produtos, quocientes e ra´ızes dos coefi- cientes do polin ˆomio. Desde que as express ˜oes descobertas por Bhaskara Akaria (1114- 1185), Girolamo Cardano (1501-1576) e Niccol `o Tartaglia (1499-1557), mostraram como representar as soluc¸˜oes de um polin ˆomio de grau at´e 4 atrav´es de operac¸˜oes aritm´eticas e radicais dos coeficientes, o desconhecimento das express ˜oes para graus maiores foi atribu´ıdo a uma falta de t´ecnica que seria superada e gerac¸˜oes de matem´aticos se dedi- caram a encontrar express ˜oes para as soluc¸ ˜oes de polin ˆomios de graus maiores. Por´em, contrariando a intuic¸˜ao inicial, em 1824, Niels Henrik Abel provou que tal f ´ormula n˜ao poderia existir e mostrou que as tentativas tinham sido em v˜ao.

Prosseguindo nessa linha, outro exemplo da necessidade de rigor, cuidado conceitual e do valor das demonstrac¸˜oes ´e a noc¸˜ao de limites (e a noc¸˜ao de infinito) que trataremos no cap´ıtulo 8. A manipulac¸ ˜ao descuidada desses objetos levou a uma quantidade gigan- tesca de erros e falhas conceituais em toda a matem´atica, que s ´o foram resolvidas com definic¸ ˜oes precisas e demonstrac¸˜oes rigorosas.

Ainda sobre a limitac¸˜ao da intuic¸˜ao como crivo fundamental para a verdade ma- tem´atica, destacamos que conforme o conhecimento matem´atico se expandiu, expandiu- se tamb´em a generalidade e a abstrac¸˜ao desse conhecimento, que assim se afastou cada vez mais do restrito n ´umero de ideias sobre as quais temos alguma intuic¸˜ao natural- mente.

Outro ponto para justificar a necessidade das demonstrac¸˜oes, ´e que em geral as afirmac¸ ˜oes matem´aticas versam sobre uma infinidade de objetos, como a afirmac¸˜ao “Existem infi-

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nitos primos”. Por mais que verifiquemos atrav´es de computac¸ ˜oes que existam 101010

primos, n˜ao terminaremos com a inquietac¸˜ao e nem teremos raz ˜oes s ´olidas para acre- ditarmos nesse fato. Novamente, a matem´atica est´a repleta de exemplos de afirmac¸ ˜oes que valem para um grande n ´umero de casos iniciais, mas que mesmo assim admitem contraexemplos.

1.2.2

M´etodos de Demonstra¸c˜ao

Rigor ´e para o matem´atico o que a moral ´e para os homens.

Andr´e Weyl

Vamos ilustrar algumas t´ecnicas de demonstrac¸˜ao utilizando alguns resultados de n ´umeros naturais. Para isso recordamos algumas definic¸ ˜oes que utilizaremos:

• Um n ´umero inteiro n˜ao nulo a divide um n ´umero inteiro b se existe um inteiro k, tal que: b = ak. Se a divide b, b ´e dito m ´ultiplo de a ou de modo equivalente a ´e dito divisor de b.

• Um n ´umero inteiro a ´e dito par se 2 divide a, ou seja, se existe n ´umero inteiro k tal que a = 2k.

• Um n ´umero inteiro b ´e dito ´ımpar se 2 n˜ao divide b, nesse caso pode-se provar que existe um n ´umero inteiro k tal que b = 2k + 1.

• Um n ´umero real r ´e dito racional se existirem n ´umeros inteiros p, q tal que r = p_q.

• Um n ´umero real r ´e dito irracional se n˜ao for racional, i.e, se n˜ao existirem inteiros p, q tal que r = p_q.

Demonstra¸c˜ao Direta

A demonstrac¸˜ao direta ´e a forma mais simples de demonstrac¸˜ao que n ´os tratamos nesta sec¸˜ao, e ´e a mais ´obvia: para demonstrar que p ⇒ q suponha que p ´e verdadeiro, e atrav´es de uma s´erie de etapas, cada uma seguinte das anteriores, conclui-se q.

Exemplo 1.26Se n, m s˜ao n ´umeros pares ent˜ao n + m tamb´em ´e um n ´umero par. 

Um bom modo de iniciar uma demonstrac¸˜ao ´e identificando as hip ´oteses e a tese e esclarecendo os seus significados, e o significado dos termos envolvidos:

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Hip ´otese 1: n ´e par. Por definic¸˜ao de n ´umero par, temos que existe um inteiro k1 tal

que n = 2k1.

Hip ´otese 2: m ´e par. De modo an´alogo, temos pela definic¸˜ao de n ´umero par que existe (possivelmente outro) inteiro k2 tal que m = 2k2.

Tese: Queremos provar que n + m ´e par, ou seja, que existe um inteiro k3 tal que

n + m = 2k3.

Feito isso vamos a demonstrac¸˜ao:

Demonstrac¸˜ao: Como n, m s˜ao pares existem inteiros k1, k2 tais que n = 2k1 e m = 2k2.

Desta forma temos que n + m = 2k1+ 2k2, e colocando em evidˆencia o 2 teremos:

p + q = 2(k1+ k2) = 2k3

onde k3 = k1+ k2 ´e um n ´umero inteiro. E assim n + m ´e um n ´umero par.



Exemplo 1.27Se a divide b e b divide c, ent˜ao a divide c. 

Novamente comec¸aremos identificando as hip ´oteses e a tese e esclarecendo os seus significados:

Hip ´otese 1: a divide b. Isso significa que existe um n ´umero inteiro k1 tal que b = ak1.

Hip ´otese 2: b divide c. Isso significa que existe um n ´umero inteiro k2 tal que c = bk2.

Tese: Queremos provar que a divide c, ou seja, queremos mostrar que existe um n ´umero inteiro k3 tal que c = ak3

Demonstrac¸˜ao: Pelas hip ´oteses temos que existem inteiros k1, k2 tais que b = a.k1 e

c = b.k2.

Substituindo a primeira express˜ao na segunda teremos:

c = bk2 = (ak1)k2 = a(k1k2) = ak3

onde k3 = k1k2 ´e um n ´umero inteiro. O que prova que a divide c.



Exemplo 1.28Se n ´e um n ´umero ´ımpar ent˜ao n2 _{´e um n ´umero ´ımpar. }

Hip ´otese: n ´e um n ´umero ´ımpar, i.e,∃k1 ∈ Z tal que n = 2k1+ 1

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Demonstrac¸˜ao: Como n ´e um n ´umero ´ımpar, existe um inteiro k1 tal que n = 2k1+ 1 e

assim:

n2 = (2k1+ 1)2 = 4k21+ 4k1+ 1⇒ n2= 2(2k21+ 2k1) + 1

Como 2k2

1+ 2k1 ´e um n ´umero inteiro, temos pela definic¸˜ao que n2 ´e ´ımpar. 

Exerc´ıcios

Ex. 1.21 — Demonstre as seguintes afirmac¸ ˜oes: a) Se a divide b e a divide c ent˜ao a divide b + c.

b) Se p, q s˜ao n ´umeros racionais, ent˜ao p + q ´e um n ´umero racional. c) Se p, q s˜ao n ´umeros racionais, ent˜ao p· q ´e um n ´umero racional.

* d) Se r1 e r2 s˜ao ra´ızes distintas de p(x) = x2+ bx + c, ent˜ao r1+ r2 = −b e r1r2 = c.

Demonstra¸c˜ao por Redu¸c˜ao ao Absurdo

Uma demonstrac¸˜ao por reduc¸˜ao ao absurdo (tamb´em conhecida como demonstrac¸˜ao por contradic¸˜ao ou ainda por reductio ad absurdum) ´e uma t´ecnica de demonstrac¸˜ao no qual se demonstra que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradic¸˜ao l ´ogica, e portanto o enunciado deve ser falso.

Exemplo 1.29Existem infinitos n ´umeros primos. 

Demonstrac¸˜ao: Vamos demonstrar essa proposic¸˜ao por reduc¸˜ao ao absurdo. Desta forma suponha que existem finitos n ´umeros primos, que denotaremos por p1, p2, . . . , pn. Con-

sidere ent˜ao o n ´umero q = p1p2...pn+ 1. O n ´umero q n˜ao ´e divis´ıvel por nenhum dos

n ´umeros p1, p2, ..., pn (o resto da divis˜ao de q pelo primo pi ´e sempre 1). Logo, q ´e um

n ´umero primo distinto de p1, p2, . . . , pn. Isto contradiz a nossa hip ´otese inicial de que

existem apenas n n ´umeros primos. Absurdo. Logo existem infinitos n ´umeros primos 

Exemplo 1.30 √2 ´e irracional. 

Demonstrac¸˜ao: Faremos a demonstrac¸˜ao pelo m´etodo de reduc¸˜ao ao absurdo. Ou seja, supomos que √2 ´e um n ´umero racional, i.e., que existem n ´umeros inteiros positivos a e btais que:

a b =

√ 2

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ou, equivalentemente: a b 2 = 2

Podemos supor que a e b n˜ao s˜ao ambos n ´umeros pares, pois se fossem, poder´ıamos simplificar a frac¸˜ao at´e termos que pelo menos um dos termos da frac¸˜ao seja ´ımpar.

Agora, escrevemos: a b 2 = a 2 b2 = 2 Ent˜ao: a2 = 2b2 (1.1)

Conclu´ımos ent˜ao que a2 _{´e um n ´umero par, pois ´e dobro de b}2_{. Logo a tamb´em deve}

ser par, pois se a fosse ´ımpar o o seu quadrado tamb´em seria ´ımpar.

Temos ent˜ao que a ´e um n ´umero par e, portanto, ´e o dobro de algum n ´umero inteiro, digamos k:

a = 2k (1.2)

Substituindo 1.2 em 1.1 temos:

(2k)2 = 2b2_{⇒ 4k}2= 2b2 _{⇒ 2l}2 = b2 (1.3)

De modo an´alogo, temos que b deve ser um n ´umero par. O que ´e absurdo pois a e b n˜ao s˜ao ambos n ´umeros pares. Portanto, √2 tem que ser um n ´umero irracional. Como quer´ıamos demonstrar.



Exemplo 1.31N˜ao existem soluc¸ ˜oes inteiras positivas para a equac¸˜ao x2− y2 = 1.  Demonstrac¸˜ao: Vamos realizar a demonstrac¸˜ao por reduc¸˜ao ao absurdo. Desta forma, vamos supor que existe uma soluc¸˜ao (a, b) com a e b inteiros positivos, satisfazendo a2− b2 = 1. Ent˜ao fatorando temos:

a2− b2= (a − b)(a + b) = 1.

Como a + b e a − b s˜ao inteiros cujo produto ´e 1, temos que ou a + b = a − b = 1 ou a + b = a − b = −1. No primeiro caso, podemos adicionar as duas equac¸˜oes para obter a = 1

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e b = 0, contradizendo o nosso pressuposto inicial de que a e b s˜ao positivos. No segundo caso de modo semelhante, obtemos que a = −1 e b = 0, novamente contrariando a nossa hip ´otese. Logo por reduc¸˜ao ao absurdo, temos que n˜ao existem soluc¸ ˜oes inteiras positivas

para a equac¸˜ao x2_{− y}2 _{= 1. }

Exerc´ıcios

Ex. 1.22 — Use o m´etodo de reduc¸˜ao ao absurdo para provar cada um das seguintes proposic¸˜oes.

a) √32 ´e irracional.

b) N˜ao existem soluc¸˜oes inteiras positivas para a equac¸˜ao x2− y2 _{= 10.}

c) N˜ao existem soluc¸˜oes racionais para a equac¸˜ao x5_{+ x}4_{+ x}3_{+ x}2_{+ 1 = 0.}

d) Dados a, b, c n ´umeros inteiros. Mostre que se a n˜ao divide bc, ent˜ao a n˜ao divide b.

Demonstra¸c˜ao por Contraposi¸c˜ao

O m´etodo de demonstrac¸˜ao por contraposic¸˜ao baseia-se no fato que uma implicac¸ ˜ao pimplica q ´e equivalente a sua contrapositiva n˜ao q implica n˜ao p. Assim, no m´etodo de

demonstrac¸˜ao por contraposic¸˜ao ao inv´es de se demonstrar a implicac¸ ˜ao p implica q, demonstra-se que n˜ao q implica n˜ao p. Vejamos alguns exemplos.

No documento Armando Caputi e Daniel Miranda (páginas 30-36)