A seguir vamos justificar algumas propriedades b´asicas das derivadas que s˜ao muito ´uteis nos c´alculos de derivadas de combina¸c˜oes de fun¸c˜oes. Vocˆe certamente j´a ter´a se familiarizado com essas propriedades ao longo de cursos anteriores de C´alculo.
Teorema 20.4
Seja I ⊂ R um intervalo, ¯x ∈ I, e sejam f : I → R e g : I → R fun¸c˜oes diferenci´aveis em ¯x. Ent˜ao:
(i) Se c∈ R, a fun¸c˜ao cf ´e diferenci´avel em ¯x, e
(cf )0(¯x) = cf0(x). (20.4)
(ii) A fun¸c˜ao f + g ´e diferenci´avel em ¯x, e
AN ´ALISE REAL
A Derivada
(iii) (Regra do Produto) A fun¸c˜ao f g ´e diferenci´avel em ¯x, e
(f g)0(¯x) = f0(¯x)g(¯x) + f (¯x)g0(¯x). (20.6)
(iv) (Regra do Quociente) Se g(¯x)6= 0, ent˜ao a fun¸c˜ao f/g ´e diferenci´avel em ¯x, e f g 0 (¯x) = f0(¯x)g(¯x)− f(¯x)g0(¯x) g(¯x)2 . (20.7)
Prova: Vamos demonstrar (iii) e (iv), deixando as demonstra¸c˜oes de (i) e (ii) para vocˆe como exerc´ıcio.
(iii) Seja h := f g. Ent˜ao para x∈ I, x 6= ¯x, temos h(x)− h(¯x) x− ¯x = f (x)g(x)− f(¯x)g(¯x) x− ¯x = f (x)g(x)− f(¯x)g(x) + f(¯x)g(x) − f(¯x)g(¯x) x− ¯x = f (x)− f(¯x) x− ¯x · g(x) + f(¯x) g(x)− g(¯x) x− ¯x . Pelo Teorema 20.2, g ´e cont´ınua em ¯x; ent˜ao lim
x→¯xg(x) = g(¯x). Como f e g
s˜ao diferenci´aveis em ¯x, deduzimos do Teorema 13.2 sobre propriedades de limites que lim x→¯x h(x)− h(¯x) x− ¯x = f 0(¯x)g(¯x)− f(¯x)g0(¯x).
Portanto, h := f g ´e diferenci´avel em ¯x e vale (20.6).
(iv) Seja h := f /g. Como g ´e diferenci´avel em ¯x, ela ´e cont´ınua nesse ponto, pelo Teorema 20.2. Assim, como g(¯x)6= 0, sabemos do Teorema 13.5 que existe um intervalo J := (¯x− δ, ¯x + δ) ∩ I ⊂ I tal que g(x) 6= 0 para todo x∈ J. Para x ∈ J, x 6= ¯x, temos h(x)− h(¯x) x− ¯x = f (x)/g(x)− f(¯x)/g(¯x) x− ¯x = f (x)g(¯x)− f(¯x)g(x) g(x)g(¯x)(x− ¯x) = f (x)g(¯x)− f(¯x)g(¯x) + f(¯x)g(¯x) − f(¯x)g(x) g(x)g(¯x)(x− ¯x) = 1 g(x)g(¯x) f (x) − f(¯x) x− ¯x · g(¯x) − f(¯x) · g(x)− g(¯x) x− ¯x .
Usando a continuidade de g em ¯x e a diferenciabilidade de f e g em ¯x, obtemos h0(¯x) = lim x→¯x h(x)− h(¯x) x− ¯x = f0(¯x)g(¯x)− f(¯x)g0(¯x) g(¯x)2 .
Assim, h = f /g ´e diferenci´avel em ¯x e vale (20.7).
A Derivada
M ´ODULO 2 - AULA 20
Usando Indu¸c˜ao Matem´atica podemos obter facilmente as seguintes extens˜oes das regras de diferencia¸c˜ao.
Corol´ario 20.1
Se f1, f2,· · · , fn s˜ao fun¸c˜oes definidas num intervalo I com valores em R que
s˜ao diferenci´aveis em ¯x∈ I, ent˜ao:
(i) A fun¸c˜ao f1+ f2+· · · + fn´e diferenci´avel em ¯x, e
(f1+ f2+· · · + fn)0(¯x) = f10(¯x) + f20(¯x) +· · · + fn0(¯x). (20.8)
(ii) A fun¸c˜ao f1f2· · · fn´e diferenci´avel em ¯x, e
(f1f2· · · fn)0(¯x) = f10(¯x)f2(¯x)· · · fn(¯x) + f1(¯x)f20(¯x)· · · fn(¯x)
+· · · + f1(¯x)f2(¯x)· · · fn0(¯x). (20.9)
Exemplos 20.2
(a) Um caso especial importante da regra do produto estendida (20.9) ocorre quando f1 = f2 =· · · = fn= f . Neste caso, (20.9) se torna
(fn)0(¯x) = n(f (¯x))n−1f0(¯x). (20.10) Em particular, se tomarmos f (x) := x, ent˜ao obtemos mais uma vez que a derivada de g(x) := xn ´e dada por g0(x) = nxn−1, n ∈ N. A
derivada de h(x) := x−n = 1/g(x), x∈ R \ {0}, n ∈ N, ´e obtida usando
a regra do quociente, i.e., (x−n)0 = −g0(x)
g(x)2 =
−nxn−1
x2n =−nx −n−1.
Portanto, vale (xm)0 = mxm−1 para todo m∈ Z \ {0}, com x ∈ R \ {0}
se m < 0 e x∈ R se m > 0.
(b) Se p(x) := anxn + an−1xn−1 +· · · + a1x + a0, ent˜ao p ´e diferenci´avel
em todo x ∈ R e p0(x) = na
nxn−1+ (n− 1)an−1xn−2+· · · + a2x + a1.
Se q(x) := bmxm + bm−1xm−1 +· · · + b1x + b0, q(¯x) 6= 0, e r(x) :=
p(x)/q(x), ent˜ao, pela Regra do Quociente, r(x) ´e diferenci´avel em ¯x e r0(¯x) = (p0(¯x)q(¯x)− p(¯x)q0(¯x))/q(¯x)2, e j´a sabemos como calcular
p0(¯x), q0(¯x).
(c) (Regra de L’Hˆopital) Vamos provar aqui uma vers˜ao bastante simples da popular regra de L’Hˆopital para o c´alculo de derivadas de formas indeterminadas do tipo 0/0.
AN ´ALISE REAL
A Derivada
Seja I ⊂ R um intervalo, ¯x ∈ I, f, g : I → R diferenci´aveis em ¯x, com g0(¯x)6= 0. Suponhamos que f(¯x) = 0 = g(¯x). Ent˜ao
lim x→¯x f (x) g(x) = f0(¯x) g0(¯x). De fato, temos lim x→¯x f (x) g(x) = limx→¯x f (x) x−¯x g(x) x−¯x = lim x→¯x f (x)−f(¯x) x−¯x lim x→¯x g(x)−g(¯x) x−¯x = f 0(¯x) g0(¯x),
onde usamos a Defini¸c˜ao 20.1 e a hip´otese f (¯x) = 0 = g(¯x). (d) lim x→1 x5− 2x + 1 x7− 3x + 2 = 3 4.
De fato, ponhamos f (x) := x5− 2x + 2 e g(x) := x7 − 3x + 2. Ent˜ao
f e g s˜ao diferenci´aveis em x = 1, f (1) = 0 = g(1) e g0(1) = 4 6= 0.
Podemos ent˜ao aplicar a Regra de L’Hˆopital para afirmar que o referido limite ´e igual a f0(1)/g0(1) = 3/4.
Exerc´ıcios 20.1
1. Use a defini¸c˜ao para encontrar a derivada de cada uma das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) := x3 para x∈ R, (b) f (x) := 1/x2 para x∈ R, x 6= 0, (c) f (x) :=√x para x > 0. (d) f (x) := x 5+ 3x2+ 4 x4+ x2+ 1 para x∈ R.
2. Mostre que f (x) := x1/3, x∈ R, n˜ao ´e diferenci´avel em x = 0.
3. Prove o Teorema 20.4 (i) e (ii).
4. Seja f : R → R definida por f(x) := x2 para x racional, e f (x) := 0
para x irracional. Mostre que f ´e diferenci´avel em x = 0, e encontre f0(0).
5. Seja n ∈ N, n ≥ 2, e f : R → R definida por f(x) := xn para x ≥ 0 e
f (x) := 0 para x < 0. Mostre que f ´e diferenci´avel em todo ponto de R, em particular, em x = 0.
6. Suponha que f : R → R ´e diferenci´avel em ¯x e que f(¯x) = 0. Mostre que g(x) :=|f(x)| ´e diferenci´avel em em ¯x se, e somente se, f0(¯x) = 0.
A Derivada M ´ODULO 2 - AULA 20 7. Calcule os limites: (a) lim x→2 x4 − x + 14 x5− 12x + 8 (b) lim x→−1 x5+ 2x2 − 1 x6− x − 2
8. Seja f : R→ R diferenci´avel em ¯x ∈ R. Prove que lim
h→0
f (¯x + h)− f(¯x − h) 2h = f
0(¯x).
Mostre que f (x) = |x| em ¯x = 0 fornece um exemplo em que esse limite existe mas f n˜ao ´e diferenci´avel em ¯x.
Prossiga: Fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao-diferenci´avel em todo
ponto
Aqui apresentaremos um exemplo, devido a B.L. van der Waerden, de fun¸c˜ao cont´ınua em R que n˜ao ´e diferenci´avel em todo ponto de R. Como no caso de (20.3), esse exemplo tamb´em ´e descrito por meio de uma s´erie de fun¸c˜oes f (x) := ∞ X n=0 ϕn(x), (20.11)
onde as fun¸c˜oes ϕn(x), n ∈ N, s˜ao todas obtidas a partir de uma fun¸c˜ao
ϕ0(x) na forma
ϕn(x) := k−nϕ(knx),
para um certo k∈ N fixo.
Mais especificamente, o exemplo que agora apresentamos ´e dado por (20.11) com ϕ0(x) := dist(x; Z) = x− k para k ≤ x < k +1 2, k ∈ Z k + 1− x para k + 1 2 ≤ x < k + 1, k ∈ Z, e ϕn(x) := 10−nϕ0(10nx).
A continuidade de f definida por (20.11) segue do Teste M de Weier- strass que ser´a visto em aula futura e garante a convergˆencia uniforme de uma s´erie de fun¸c˜oes se os valores absolutos dos termos da s´erie |ϕn(x)| s˜ao
majorados por n´umeros positivos Mn tais que a s´erie num´ericaP Mn´e con-
AN ´ALISE REAL A Derivada 1 2 0 1 y = ϕ0(x) x y = ϕ1(x) y 1 2
Figura 20.1: Constru¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao-diferenci´avel em todo ponto.
Vamos agora provar que f n˜ao ´e diferenci´avel em nenhum ponto x∈ R. Como f ´e peri´odica de per´ıodo 1, bastar´a considerar o caso em que 0≤ x < 1. Nesse caso, podemos escrever x na forma
x = 0· a1a2. . . an. . . .
A ideia ser´a mostrar que existe uma sequˆencia (hm) com hm → 0 tal que a
sequˆencia ((f (x + hm)− f(x))/hm) n˜ao ´e convergente.
Distinguimos dois casos: (i) 0 ≤ 0 · an+1an+2· · · ≤ 1/2; (ii) 1/2 <
0· an+1an+2· · · < 1. No primeiro caso, temos
ϕ0(10nx) = 0· an+1an+2. . . ,
enquanto no segundo caso temos
ϕ0(10nx) = 1− 0 · an+1an+2. . . .
Ponhamos hm = −10−m se am ´e igual a 4 ou 9 e hm = 10−m se am ∈
{0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}. Observe que desse modo, para cada n ∈ {0, 1, 2, . . . , m− 1}, os n´umeros 10n(x + h
m) e 10nx est˜ao ambos num mesmo intervalo de
comprimento 1/2 da forma [k, k + 1/2) ou [k + 1/2, k + 1). Considere o quociente
f (x + hm)− f(x)
hm
. (20.12)
Pela f´ormula (20.11) esse quociente pode ser expresso por uma s´erie da forma
∞ X n=0 ϕ0(10n(x + 10−m))− ϕ0(10nx) 10n−m , C E D E R J 44
A Derivada M ´ODULO 2 - AULA 20 ou da forma ∞ X n=0 −ϕ0(10 n(x− 10−m))− ϕ 0(10nx) 10n−m , dependendo se hm = 10−m ou hm =−10−m.
Em qualquer um dos dois casos, ´e claro que os numeradores s˜ao nulos a partir de n = m em diante. Por outro lado, para n < m eles se re- duzem a 10n−m no primeiro caso e −10n−m no segundo; portanto, o termo
correspondente da s´erie ser´a igual a 1 no primeiro caso e −1 no segundo. Consequentemente, o valor do quociente (20.12) ´e um inteiro positivo ou ne- gativo, mas em todo caso par se m− 1 for par, e ´ımpar se m − 1 for ´ımpar. Logo a sequˆencia dos quocientes (20.12) n˜ao pode convergir, j´a que ´e formada por inteiros de paridade alternante.
A Regra da Cadeia
M ´ODULO 2 - AULA 21
Aula 21 – A Regra da Cadeia
Metas da aula:
Justificar rigorosamente a Regra da Cadeia para deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes compostas. Estabelecer a f´ormula para deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao in- versa.Objetivos:
Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de:• Saber o significado e algumas aplica¸c˜oes da Regra da Cadeia para deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes compostas.
• Saber a f´ormula para deriva¸c˜ao da fun¸c˜ao inversa e algumas de suas aplica¸c˜oes.
Introdu¸c˜ao
Nesta aula vamos justificar rigorosamente a important´ıssima Regra da Cadeia, a qual vocˆe j´a conhece de cursos anteriores de C´alculo. Tamb´em estabeleceremos a f´ormula para deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes inversas.