A Íris estava no seu quarto a arrumar. Colocou no seu estojo 12 lápis e 4 marcadores. Quantos anos tem a Íris?
Reformula o problema de modo a que possa ser resolvido.
_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________
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Depois, a Íris foi para o jardim. Aproveitando o dia de sol apanhou algumas folhas de outono. Quando chegou a casa guardou-as da seguinte forma no seu álbum:
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A primeira parte diz respeito à resolução de um problema com informação insuficiente, ou seja, que não pode ser resolvido. Com esta tarefa pretende-se perceber se os alunos estão atentos ao que lhes é pedido e aos dados apresentados, de modo a que vejam que não têm dados suficientes para responder à questão apresentada. Assim, quando é colocada a primeira questão pretende-se que respondam, por exemplo, “Não me
é possível responder ao problema pois não existem dados sobre a idade da Íris.”
Ainda nesta primeira parte é pedido aos alunos que formulem uma questão tendo em conta os dados apresentados e, posteriormente, que resolvam corretamente o problema que formularam e respondam adequadamente. Assim, tendo em conta os dados apresentados no problema, poderá ser formulada uma questão do tipo “Quantos objetos
colocou a Íris no seu estojo?”, apresentando, por exemplo, a seguinte resolução: Dados:
- 12 marcadores - 4 lápis
12 + 4 = 16
R: A Íris colocou no seu estojo 16 objetos.
Na segunda parte do desafio são apresentadas as folhas que a Íris recolheu no seu jardim e que dispôs de uma maneira particular. Os alunos devem observar a disposição das mesmas e encontrar várias formas diferentes de as contar. Devem rodear as folhas de modo a que represente a forma como visualizam e contam as folhas. Depois de representar devem traduzir a representação através de uma expressão, utilizando adições e/ou subtrações.
Esta atividade permite desenvolver a visualização e as contagens e também o sentido de número, pois verificam que há diferentes formas de obter o mesmo resultado, neste caso contar o mesmo número de folhas.
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Tarefa 3 – As bolachas da mãe da Estrela
À semelhança do anterior, esta tarefa também se encontra dividida em duas partes.
Desafio de Matemática
A mãe da Estrela decidiu fazer bolachas para a sua filha e o amigo Ulisses. Para os fazer colocou 2 ovos, 100g de açúcar, 85g de manteiga e mais 100g de pepitas de chocolate. No final provou a massa e achou que faltava um pouco de açúcar e acrescentou 50g.
Com quantos gramas de açúcar ficaram no final as bolachas feitas pela mãe da Estrela?
Inventa outra questão que dê continuidade ao problema anterior.
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A mãe da Estrela depois de fazer as bolachas para o lanche, serviu-as da seguinte forma em vários pratos pequenos:
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Na primeira parte será trabalhado um problema com informação extra, tanto a sua resolução como a formulação de questões que deem continuidade ao mesmo.
Assim é apresentada a situação da mãe da Estrela que fez bolachas para a filha e o amigo Ulisses. São também apresentados todos os ingredientes e quantidades respetivas. Surge então um pequeno problema pois, depois de provar a massa, achou que faltava um pouco de açúcar e acrescentou.
É colocada a questão sobre a quantidade final de açúcar que foi usado na confeção das bolachas. Para resolver este problema, é necessário que os alunos entendam que a questão só se foca nas quantidades apresentadas de açúcar, pelo que devem selecioná-las e resolver o problema através de uma simples soma.
Dados:
- 100 g de açúcar
- 50 g de açúcar acrescentados
100 + 50 = 150
R: No final ficaram 150 g de açúcar nas bolachas feitas pela mãe da Estrela.
De seguida é pedido que formulem uma questão que dê continuidade ao problema apresentado inicialmente. Por exemplo, poderia ser formulado uma questão do tipo “E se
em vez de ter acrescentado açúcar tivesse acrescentado 75g de pepitas de chocolate, que quantidade de pepitas de chocolate ficaram no final nas bolachas?”, devendo em seguida
90 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 3 = 15 ou 3 x 3 + 3 x 2 = 15 5 + 5 + 5 = 15 ou 3 x 5 = 15 Dados: - 100 g de pepitas de chocolate
- 75 g de pepitas de chocolates acrescentadas 100 + 75 = 175
R: No final, as bolachas ficaram com 175 g de pepitas de chocolate.
À semelhança do desafio anterior, na segunda parte é apresentada a forma como a mãe da Estrela dispôs as bolachas em diversos pratos. Pretende-se assim que os alunos encontrem várias formas de visualizar e contar as bolachas, desenvolvendo simultaneamente o sentido de número assim como a visualização. Como aconteceu com o desafio das folhas de outono, os alunos devem rodear a forma como veem e contam as bolachas e traduzir essa mesma forma através de uma expressão numérica. Como já tinha sido iniciada a multiplicação, poderiam aplicar os conhecimentos a esta tarefa devido ao facto de existir possibilidade de criar vários grupos com a mesma quantidade de bolachas.
De forma a ser mais claro, passo a apresentar duas possíveis resoluções.
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Tarefa 4 – O Hugo e as estrelas do pinheiro
Esta foi uma tarefa mais curta do que as anteriores, que trabalha a visualização e contagens assim como o desenvolvimento do sentido de número.
Desafio de Matemática
O Hugo estava a fazer o seu pinheiro de Natal. Como gosta muito de colocar estrelas no seu pinheirinho decidiu que este ano ia carrega-lo delas.
Ao lado vês como o Hugo pôs as estrelas numa parte do seu pinheiro.
Encontra várias maneiras de contar as estrelas e escreve a expressão de cada uma no retângulo abaixo da figura correspondente.
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Deste modo, foi apresentada uma parte do pinheiro do Hugo. Este gosta muito de estrelas e então decide enfeitar o seu pinheiro com muitas delas.
O objetivo é encontrar diferentes formas de visualizar e contar as estrelas que o Hugo colocou na parte do seu pinheiro. Assim, deverá começar por rodear as estrelas da forma como está a ver e em seguida contá-los usando os grupos formados.
A cada exemplo dado deve ser encontrada uma forma diferente de visualizar. Para cada uma delas deve traduzi-la através de uma expressão.
A disposição das estrelas permite encontrar formas de visualização diferentes daquelas que exploraram nas tarefas anteriores. De facto, é possível contar por linha, coluna, diversos triângulos, diagonal, encontrando o quadrado central, etc.
De forma a ficar mais claro, passo a apresentar algumas resoluções possíveis:
1 + 1 + 1 + 1 + 9 = 13 Ou 4 x 1 + 3 x 3 = 13 4 + 5 + 4 = 13 Ou 2 x 4 + 5 = 13 1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13
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Tarefa 5 – Bolas para enfeitar o pinheiro
Esta é uma tarefa semelhante a algumas apresentadas anteriormente, encontrando-se dividida em duas partes.
Desafio de Matemática
1. Está a chegar o Natal e o Filipe já está a preparar os enfeites para o pinheiro de Natal. Ao abrir a caixa onde estavam as bolas para enfeitar, pôs-se a observá-las. Tinha azuis, vermelhas, douradas e verdes. Contou 6 vermelhas mais 8 verdes.
1.1. Quantas bolas tinha das quatro cores?
1.2. Formula uma questão que possa ser respondida com o problema apresentado.
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94 2. Observa a sequência de bolas de natal.
2.1. Desenha as duas figuras seguintes.
2.2. Preenche a tabela Figuras Bolas 1 2 3 4 5
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Na primeira parte é apresentado um problema com informação insuficiente. De facto, é apresentado o Filipe que ia enfeitar o seu pinheiro, e que encontrou uma caixa com bolas de diferentes cores (azuis, vermelhas, douradas e verdes) mas só é dada a quantidade de bolas de cor vermelha e cor verde, sendo questionado de seguida a quantidade de bolas das quatro cores. Assim, pretende-se que os alunos identifiquem que à questão colocada não pode ser dada resposta por falta de informação, respondendo algo do género “Não
posso responder ao problema porque só me é dado a quantidade de bolas vermelhas e verdes, não tendo informação sobre as bolas azuis e douradas.”
Na tarefa seguinte pretende-se que seja formulado um problema, podendo só formular questões que deem continuidade ao problema inicial e usando assim os dados fornecidos, ou reformular o mesmo e inventar outros dados assim como uma questão ao problema.
Assim, por exemplo, poder-se-á colocar a questão que parece mais óbvia “Quantas
bolas vermelhas e verdes havia na caixa?” ou reformulando o problema, por exemplo, “O Hugo olhou melhor para as bolas e conseguiu contar 3 bolas azuis e 9 verdes. Quantas bolas tinha das quatro cores?”.
Dependendo da questão ou problema que formularam, deve ser apresentada a respetiva resolução e resposta ao problema.
Na segunda parte do desafio é apresentada uma sequência de imagens. Traduzida em sequência numérica, verificamos que da primeira figura para a segunda são acrescentadas duas bolas, da segunda para a terceira são acrescentadas três bolas e assim sucessivamente, ou seja, é como se se fosse acrescentando uma camada, a base, cujo número de bolas que contém corresponde ao número da figura. Verificamos ainda que, tomando a terceira figura como exemplo, esta tem três andares, cuja base contém três bolas, o segundo andar tem duas bolas e o primeiro andar (topo) tem 1 bola.
Deste modo é fácil verificar que, para se chegar ao número total de bolas que qualquer figura tem, deve-se adicionar todos os números naturais sucessivos por ordem decrescente, desde o número da figura (número de bolas da base), até se chegar ao número um, ou seja, o número do topo da pirâmide. Por exemplo, tomando a quinta figura
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como exemplo, devemos fazer a seguinte operação: 5 + 4 + 3 + 2 + 1, perfazendo um total de 15 bolas.
Pretende-se inicialmente que sejam representados os dois termos seguintes de modo a perceber-se se a sequência é bem interpretada e compreendida.
Na tarefa seguinte, pretende-se que a sequência seja traduzida numericamente, traduzindo igualmente a lógica, o olhar com o qual observaram a sequência.
Por fim, e de modo a que alarguem o seu olhar e apliquem a regra a figuras mais complexas, é pedido que encontrem o número de bolas que teria o décimo termo desta mesma sequência.
Esta última tarefa poderá ser resolvida através de um desenho ou por uma expressão aritmética, devendo ser apresentado o resultado final assim como a resposta.
De modo ficar mais claro, passo a apresentar dois exemplos de resolução:
Através de um desenho:
Seguindo a lógica da sequência, o décimo termo terá na sua base (primeiro andar) dez bolas, sendo que o segundo andar nove bolas, terceiro andar oito bolas, e assim sucessivamente até ao décimo e último andar com só uma bola. Assim, o décimo termo corresponderá ao desenho apresentado ao lado, com 55 (cinquenta e cinco) bolas.
Através de uma expressão aritmética:
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55
| | | | | | | | | |
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O cálculo poderá ser feito sequencialmente, ou de forma mais rápida encontrando os conjuntos de 10:
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55
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Tarefa 6 – O Pai Natal esquecido
A seguinte tarefa, apresentada aos alunos como desafio matemático, encontra-se dividida em duas partes.
Desafio de Matemática
O Pai Natal estava a preparar-se para a grande noite de distribuição das prendas e a fazer uns cálculos mentalmente. Mas ele é tão distraído que até se esqueceu do que estava a contar!
Só sabe que o cálculo era 50 + 45.
Inventa uma questão cuja operação a efetuar é a do Pai Natal: 50 + 45. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
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1. O Pai Natal está a preparar-se para a grande noite de natal! Guardou todos os presentes num cofre, mas como é muito distraído esqueceu-se do número do seu cofre.
Só se lembrava de três “coisas” sobre esse número.
Queres ajudá-lo a lembrar-se, seguindo as pistas?
1º Pista:
Escreve-se com dois algarismos iguais.
Então, o número do cofre do Pai Natal só pode ser:
2ª Pista:
O número é par.
Então, o número do cofre do Pai Natal só pode ser:
3ª Pista:
O número é menor que 40.
Então, o número do cofre do Pai Natal é:
1. Pensa agora noutro número que pudesses dar ao cofre do Pai Natal e inventa as tuas próprias pistas.
100
Este desafio começa apresentando uma situação em que o Pai Natal se esqueceu do que estava a calcular, lembrando-se unicamente que era a soma de 50 com 45.
Assim, a primeira tarefa a resolver é formular um problema partindo da informação apresentada, recorrendo à estratégia “Aceitando os dados”. Este deverá ser coerente com a introdução apresentada.
Um exemplo de problema poderá ser “O Pai Natal estava a contar quantas prendas
já tinha. Contou 50 prendas para meninos e 45 prendas para meninas. Quantas prendas já tinha no total?”
Depois de formulado o problema devem resolvê-lo e responder à questão que colocaram. Neste caso, a resolução seria:
Dados:
- 50 prendas para meninos - 45 prendas para meninas
50 + 45 = 95
R: No total, o Pai Natal já tinha 95 prendas.
Na segunda parte do desafio é trabalhado mais especificamente o sentido de número. São trabalhados conceitos como números com algarismos iguais, números pares, intervalos em que se encontra um número.
Assim, o objetivo é, seguindo as pistas, encontrar o código do cofre onde o Pai Natal guardou todos os presentes.
A primeira pista refere que o número se escreve com dois algarismos iguais, podendo ser unicamente:
11 22 33 44 55 66 77 88 99
A segunda pista refere que o número do cofre é par. Restam apenas as seguintes possibilidades:
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Por fim, a terceira pista refere que é um número menor que 40, podendo unicamente ser o 22 (vinte e dois).
Os alunos devem relembrar-se destes conceitos de modo a reconhecer e selecionar os números corretos chegando ao número do cofre.
Na última tarefa deste desafio devem ser criadas pistas sobre um número escolhido. As pistas deverão levar a um único número. O número fica à escolha do aluno e deve apresentar as pistas de forma clara, assim como a sua resolução.
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Tarefa 7 – Luzes que piscam
Nesta tarefa é trabalhado mais especificamente o sentido de número, explorando várias sequências numéricas.
Desafio de Matemática
1. A Sofia estava a colocar as suas luzes no pinheiro e reparou que nem todas acendiam da mesma forma nem ao mesmo tempo.
Continua as sequências que mostram como se acendem as luzes de natal no pinheiro da Sofia. 1.1. 1, 2, 3, __, __, __, __, __, __, 1.2. 1, 3, 5, __, __, __, __, __, __, 1.3. 2, 5, 8, __, __, __, __, __, __, 1.4. 8, 13, 18, 23, __, __, __, __, __, __, 1.5. 2, 4, 7, 11, __, __, __, __, __, __, 1.6. 43, 41, 39, __, __, __, __, __, __, 1.7. 80, 71, 62, __, __, __, __, __, __,
103
É apresentada uma situação de luzes do pinheiro de natal que piscam de forma alternada. Esta forma de piscar é traduzida através de sequências numéricas.
Pretende-se que cada sequência seja continuada, seguindo a lógica inicial. Assim, é perguntado aos alunos “Conseguem descobrir o que acontece em cada uma das formas
como as luzes têm de piscar? Conseguem ver o que acontece de um número para o seguinte?”.
Embora as sequências sejam pensadas com uma determinada lógica, é de salientar que se for encontrada pelos alunos qualquer outra regra lógica esta será aceite desde que seja devidamente explicada.
Como se poderá ver na resolução apresentada de seguida, são desenvolvidas sequências no sentido aditivo, mas também subtrativo.
No sentido aditivo vemos que a lógica da primeira é adicionar sempre uma unidade para se obter um novo termo.
A segunda sequência inicia-se com os números ímpares e devem ser adicionados sempre duas unidades para obter um novo termo.
A terceira sequência inicia-se com duas luzes do pinheiro que se acendem e quando volta a piscar são acesas mais três luzes e assim sucessivamente, adicionando-se sempre três luzes (unidades).
A quarta sequência inicia-se com oito luzes acesas e à medida que continua a sequência verificamos que, cada vez que pisca, acendem-se mais cinco luzes do que na anterior e assim sucessivamente.
Na quinta sequência verificamos que da primeira vez que piscam para a segunda se acendem mais duas luzes, da segunda para a terceira se acendem mais três luzes, da terceira para a quarta se acendem mais quatro luzes e assim sucessivamente. Assim, o número de luzes que são acrescentadas é sempre mais uma do que as acrescentadas na vez anterior, somando-se os números naturais consecutivos, começando pelo dois, ou seja, primeiro são acrescentadas duas unidades, na vez seguinte são acrescentadas três unidades, na vez seguinte são acrescentadas quatro unidades, e assim sucessivamente.
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No sentido subtrativo, admitimos que o pinheiro começa por estar iluminado com quarenta e três luzes e, cada vez que piscam, são apagadas duas luzes. Para continuar a sequência corretamente, devem ser subtraídas duas unidades sucessivamente.
Na sétima e última sequência o pinheiro está inicialmente iluminado por oitenta luzes e, cada vez que piscam, são apagadas nove luzes, subtraindo sempre nove unidades. Importa que a sequência seja continuada de forma correta, explicando o seu raciocínio e a lógica encontrada.
Passo a apresentar a resolução das diferentes sequências.
Sequência Relação entre um
termo e o seguinte 1.1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (+1) 1.2. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 (+2) 1.3. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, (+3) 1.4. 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53 (+5) 1.5. 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56 (o acréscimo aumenta sempre uma unidade a partir do acréscimo inicial, ex: +2, +3, +4, +5,
etc)
1.6. 43, 41, 39, 37, 35, 33, 31, 29, 27, (-2)
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Tarefa 8 – As coroas dos reis
Seguindo a temática dos reis, é apresentada uma tarefa possível de dividir em duas partes.
Desafio de Matemática
Chegou o dia de Reis! A professora Mariana estava a preparar o bolo-rei que ia comer com os seus meninos e
queria dar uma coroa a cada um.
Para as meninas tinha preparado 5 coroas amarelas e 5 cor-de-rosa e para os meninos tinha 6 coroas azuis e 6 coroas verdes.
Quantas coroas fez para as meninas?
Formula uma questão dentro desta temática cujo resultado é 12.
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
106 1. Observa a sequência de coroas.
1.1. Desenha as duas figuras seguintes.
1.2. Preenche a tabela Figura Coroas 1 2 3 4 5
1.3. Se continuássemos a sequência, quantas coroas teria a 10ª figura?
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Esta tarefa inicia-se com a apresentação de um problema com informação extra. Esta tem como temática o dia de reis, onde uma professora está a construir coroas para os seus alunos, tendo duas cores distintas tanto para os meninos como para as meninas.
Para responder à questão colocada os alunos terão de selecionar a informação relativa às coroas feitas para as meninas.
De seguida é pedido que formulem um problema usando a estratégia “Aceitando os dados”. Para tal terão de formular um problema seguindo a mesma temática e cujo resultado seja doze.
Tendo em conta o problema apresentado poderá ser formulada a questão “Quantas
coroas foram feitas para os rapazes?”, associando diretamente as seis coroas azuis e seis
coroas verdes como um total de doze coroas. Poderá ainda formular uma continuidade ao problema original, introduzindo uma nova situação, de modo a que consiga formular uma questão cujo resultado seja doze.
Depois de formulada a questão devem apresentar a sua resolução e finalmente a resposta à mesma.
Na segunda parte da tarefa é apresentada uma sequência de imagens representando os quadrados perfeitos. Visto este não ser um conteúdo que alunos deste nível de escolaridade entendam, esta poderá ser analisada como um quadrado cujo número de figura seja igual ao número de coroas por linha multiplicado pelo número de linhas que o constituem. Outra análise possível será a de que de uma figura para a seguinte é adicionado consecutivamente um número ímpar. Assim, é pedido que desenhem o quarto e quinto termo desta sequência. De seguida devem apresentar o número de coroas que cada figura tem. Esta tarefa permite que os alunos olhem mais atentamente para cada uma delas, de modo a chegar à lógica da mesma, e conseguir mais facilmente resolver a tarefa seguinte.
Na última tarefa deste desafio pretende-se que seja descoberto o número de coroas que teria o décimo termo da sequência. Esta poderá ser resolvida apresentando um desenho ou através de uma expressão. Tanto optando por uma estratégia como por outra, esta terá de refletir a forma como entendeu a sequência. Passo assim a apresentar uma resolução para cada estratégia:
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Através do desenho:
Pelo desenho deverá demonstrar que entendeu que o décimo termo deve ter dez andares (linhas) e que cada um deles deve ser constituído por dez coroas, respondendo assim que esta tem no total 100 coroas.
Através da expressão:
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100
| | | | | | | | | |
Andar 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
Pela expressão deverá demonstrar que entende que corresponde a adicionar dez vezes dez coroas, podendo recorrer à multiplicação e fazendo um total de cem coroas.
109
Tarefa 9 – Carteiro distraído
Esta tarefa começa apresentando informação de modo diferente daquele a que os alunos estão habituados, pois fá-lo através de uma tabela.
Desafio de Matemática
Observa os dados organizados em tabela.
Prendas Boneca Pulseiras Colares Material de
desenho
Meninas 2 4 3 5
Prendas Motas Material de
desenho
Jogos de
computador Carros
Meninos 6 2 1 3
Formula duas questões partindo dos dados apresentados.
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________
110
Um carteiro distraído esqueceu-se das indicações que lhe tinham dado para entregar sete cartões de boas festas.
Apenas se lembrava que os números das casas estavam entre 100 e 300 e que a soma dos algarismos de cada uma das portas é igual a 4.
Descobre os números das casas que receberão os postais. Não te esqueças de que os números pares estão de um lado da rua e os ímpares do outro e de que estão por ordem crescente ou decrescente.