Descri¸c˜ao do algoritmo

Nesta fase, crescemos o valor das vari´aveis duais αj para todas as demandas simul-

taneamente. Introduzimos a no¸c˜ao de tempo, t. No in´ıcio do algoritmo, t = 0. A cada intervalo, o tempo ´e acrescido de uma unidade. A medida que o tempo cresce, tamb´em cresce o valor das vari´aveis duais αj de forma uniforme. Algumas localidades podem estar

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w demanda

local da intersec¸c˜ao u

Figura 3.1: Supondo M = 3, quando trˆes raios se interceptam no meio de uma aresta, uma localidade pode ser aberta neste lugar, assim como foi dito na Suposi¸c˜ao 3.3 (m´etrica infinitesimal nas arestas).

M ou mais raios se interceptam nesta localidade, como veremos a seguir. Al´em disso, pos-

teriormente, um subconjunto das localidades possivelmente abertas ser´a escolhido para serem abertas na solu¸c˜ao final do algoritmo. Quando t = 0, r est´a possivelmente aberta e todas as outras localidades est˜ao fechadas.

A fun¸c˜ao objetivo do dual do programa linear quer aumentar o valor das vari´aveis duais

αj. No entanto, estas n˜ao podem crescer para sempre devido `as restri¸c˜oes do programa

linear (lembrando que queremos uma solu¸c˜ao dual vi´avel). Assim crescemos αj at´e esta

ficar justa em alguma localidade i. Ou seja, uma vari´avel αj est´a justa com rela¸c˜ao a

alguma localidade i se αj ≥ cij. Seja Sj o conjunto de v´ertices aos quais j est´a justo em

um dado instante de tempo. Ao crescer αj, tamb´em crescemos θSj,j na mesma raz˜ao. Isto ir´a garantir a viabilidade das restri¸c˜oes (3.3), como veremos no Lema 3.4.

As demandas podem estar em dois estados: congeladas e n˜ao-congeladas. Quando uma demanda j fica congelada, paramos de crescer sua vari´avel dual αj. Se a demanda j

est´a n˜ao-congelada no instante de tempo t, ent˜ao αj = t. Ap´os j ser congelada, ela n˜ao

mais fica justa com nenhuma outra nova localidade, i.e., uma localidade que n˜ao pertence a Sj, pois o raio de j parou de crescer. No in´ıcio do algoritmo, todas as demandas est˜ao

n˜ao-congeladas.

Come¸camos crescendo `a raz˜ao unit´aria a vari´avel αj de todas as demandas simulta-

neamente, at´e um desses eventos ocorrer (se v´arios eventos ocorrerem ao mesmo tempo, considere eles em qualquer ordem):

1. j se ajusta com uma localidade i possivelmente aberta: j se torna congelada. 2. Uma localidade fechada i fica justa com pelo menos M demandas: i fica possivelmente aberta. Todos os pontos de demandas que est˜ao justos com i tornam- se congelados.

3.1. Rent-or-Buy 27

A cada itera¸c˜ao, crescemos a vari´avel αj somente das demandas n˜ao-congeladas. Con-

tinuamos este processo at´e que todas as demandas fiquem congeladas.

demanda congelada demanda n˜ao congelada localidade fechada

localidade possivelmente aberta

t = 0 t = 1 l i 1 2 3 4 5 l i 1 2 3 4 5 t = 3 t = 2 l i 1 2 3 4 5 l i 1 2 3 4 5 r r r r

(d)

(c)

(b)

(a)

Figura 3.2: Um exemplo de execu¸c˜ao com M = 2. (a) O estado inicial, (b) t=1, (c) i fica justo com as demandas 1 e 2; i fica possivelmente aberto e 1 e 2 ficam congelados, (d) A solu¸c˜ao final. A demanda 3 alcan¸ca i e fica congelada; l fica justa com as demandas 4 e 5 e fica possivelmente aberta, fazendo com que 4 e 5 congelem.

Note que, ainda que haja um continuum de pontos ao longo de uma aresta, para implementar o processo descrito acima precisamos somente saber o instante em que o pr´oximo evento ir´a acontecer. Isto pode ser feito monitorando, para cada aresta e cada demanda j, a parte da aresta que est´a justa com j.

Agora vamos decidir quais localidades devem ser abertas. Seja L o conjunto das localidades possivelmente abertas. Dizemos que as localidades i, i0 _{∈ L s˜ao dependentes}

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conjunto de localidades ´e independente se n˜ao h´a duas localidades dependentes neste conjunto. Devemos ent˜ao encontrar um conjunto independente maximal L0 _{de localidades}

em L da seguinte forma: arranje as localidades em L em ordem do instante de tempo em que foram marcadas como possivelmente abertas. Considere as localidades nesta ordem e adicione uma localidade em L0 _{se esta n˜ao for dependente com alguma localidade j´a}

presente em L0_{. Finalmente, as localidades em L}0 _{s˜ao abertas. Observe que r ∈ L}0_.

Associamos uma demanda j a uma localidade aberta da seguinte forma. Se j est´a justa com alguma localidade i ∈ L0_{, atribua j `a i. Caso contr´ario, seja i a localidade}

em L \ L0 _{a qual fez com que j congelasse. Ent˜ao j est´a justo com i. Deve haver uma}

localidade i0 _{∈ L}0 _{aberta anteriormente tal que i e i}0 _{s˜ao dependentes. Assim, atribu´ımos}

j `a i0_{. Denotamos por σ(j) a localidade a qual j est´a atribu´ıda.}

Temos agora que construir a ´arvore de Steiner em L0_{. Antes disso, devemos aumentar}

o grafo G para incluir arestas incidentes `as localidades abertas que n˜ao s˜ao v´ertices (i.e., localidades que foram abertas em algum ponto ao longo de uma aresta). Seja {i1, . . . , ik}

as localidades abertas na aresta e = (u, w), ordenadas pela distˆancia com rela¸c˜ao `a u, com

i1 6= u e ik 6= w. Adicionamos ent˜ao as arestas (u, i1), (i1, i2), . . . , (ik−1, ik), (ik, w) em G.

Fase 2

Para uma localidade i ∈ L0_{, seja D}

i o conjunto de demandas justas com i. Seja

D0 ₌ S

i∈L0_−{r}Di. Inicialmente, fazemos αj = 0 (os αj da Fase 2 assumir˜ao um valor

totalmente diferente do valor da Fase 1), para todo j ∈ D. Crescemos somente o valor

αj das demandas em D0, e simulamos o algoritmo primal-dual para o problema da ´arvore

de Steiner (enraizada) que foi apresentado no Algoritmo 2.2 do Cap´ıtulo 2 e ser´a descrito rapidamente abaixo.

Os conjuntos minimais violados (CMV) s˜ao os conjuntos unit´arios {i} para i ∈ L0_−{r}.

Para um conjunto S, defina DS =

S

i∈S∩L0Di. A ´arvore T que iremos construir come¸ca

vazia. Para cada CMV S, j ∈ DS, a vari´avel αj cresce `a raz˜ao de 1/|DS|. A vari´avel θS,j

tamb´em cresce `a mesma raz˜ao. Assim, garantimos que P<sub>j</sub>θS,j cresce `a raz˜ao de 1 para

qualquer CMV S. Note que n˜ao estamos assegurando a viabilidade das restri¸c˜oes (3.3) e (3.4), pois αj pode ser maior que o lado direito destas restri¸c˜oes.

Dizemos que uma aresta se ajusta (ou fica justa) se a restri¸c˜ao (3.5) ´e satisfeita com igualdade para aquela aresta. N´os crescemos as vari´aveis duais at´e uma aresta e se ajustar. Adicionamos e em T e atualizamos os conjuntos minimais violados. Este processo continua at´e n˜ao haver mais conjuntos violados, i.e., continua at´e termos somente um componente (r est´a neste componente). Agora, consideramos as arestas de T na ordem inversa em que foram inseridas e removemos qualquer aresta redundante. Esta ´e nossa solu¸c˜ao final. A forma algor´ıtmica ´e apresentada a seguir. Em cada itera¸c˜ao, seja C o conjunto das demandas n˜ao-congeladas.

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Algoritmo 3.1: RorB-primal-dual

Entrada: grafo G = (V, E), demandas D ⊆ V , parˆametro M > 1 Sa´ıda: ´arvore de Steiner T , facilidades L0 _{e atribui¸c˜oes σ(j)}

in´ıcio

{Fase 1};

(Inicializa¸c˜ao) L ← {r}, C ← D; enquanto C 6= ∅ fa¸ca

aumente o tempo t at´e que alguma das condi¸c˜oes abaixo sejam satisfeitas; se j ∈ C e αj ≥ cij ent˜ao Di ← Di∪ {j}; se i ∈ L ent˜ao C ← C − {j}; se i 6∈ L e |Di| ≥ M ent˜ao C ← C − Di; L ← L ∪ {i}; se j ∈ C ent˜ao aumente αj e θSj,j

crie L0 _{removendo as localidades dependentes em L;}

para todo i ∈ L \ L0 _fa¸ca

para todo j ∈ Di fa¸ca

σ(j) ← {i0_};

{Fase 2};

(Inicializa¸c˜ao) T ← ∅; D0 _←S

i∈L0_−{r}Di; αj ← 0; θS,j ← 0;

Seja S a cole¸c˜ao dos conjuntos minimais violados; enquanto S 6= ∅ fa¸ca

se P_j∈DP_{S⊆V :e∈δ(S),r6∈S}θS,j = M · ce ent˜ao

T ← T ∪ {e};

atualiza S;

se j ∈ D0 _{aumente uma unidade em α}

j e 1/|DS| em θS,j;

remova todas arestas redundantes em T ; devolva T, L0 _{e as atribui¸c˜oes σ(j);}

fim