Os descritores de formas são métodos matemáticos que descrevem um objeto ou uma região de uma figura. Os descritores são divididos em dois grupos [Gonzalez et al. 2003]: Descritores baseados no contorno (bordas) e Descritores baseados na região. Os primei- ros, descrevem a forma do objeto baseado em seu contorno. Os descritores de região se concentram na parte interior do objeto. O descritor adequado deve apresentar invariância nas transformações que o problema exige. As principais características que um descritor exige são:
• Translação; • Rotação; • Escala; • Ponto inicial.
No processo de diagnóstico de modos de operação em um sistema de Bombeio Me- cânico através de cartas dinamométricas, a transformação por rotação não é necessária porque alguns modos de operação apresentam o mesmo contorno, apenas com a imagem rotacionada.
4.2. DESCRITORES DE FORMAS 31
4.2.1
Descritores de Centróide
O descritor de contorno por centróide tem como principal característica calcular a dis- tância entre o centro geométrico para os diversos pontos que compõe a borda da imagem. O conjunto de distâncias forma um vetor D, onde D = {D0,D1, ...,Dn}). As Equações 4.1
e 4.2 apresentam o cálculo do centróide, onde n representa a quantidade de pontos que compõe a carta e o par ordenado, xc e yc, representa o centróide da carta.
xc= 1 N N
∑
i=1 xi (4.1) yc= 1 N N∑
i=1 yi (4.2)A Equação 4.3 mostra o cálculo da distância entre o centróide e os diversos pontos.
Di=
q
(xi− xc)2+ (yi− yc)2 (4.3)
Desta forma, o conjunto de distâncias D calculado pode ser usado como descritor do contorno da carta dinamométrica.
Descritores de Centróide para a Carta Dinamométrica
Conforme a Figura 4.2 apresenta, o descritor de Centróide para uma carta dinamomé- trica com N pontos é um vetor de N valores referentes a distância entre os pontos que formam a carta e o seu centróide.
4.2.2
Descritores de Curvatura
O descritor de curvatura é um algoritmo simples e de fácil desenvolvimento que tem como propósito principal calcular a distância entre um ponto qualquer em relação ao pró- ximo ponto (no sentido horário ou anti-horário). As Equações 4.4, 4.5 e 4.6 apresentam como é o cálculo da distância.
Dxi= (xi− xi+1)2 (4.4)
Dyi= (yi− yi+1)2 (4.5)
Dci=
q
Dxi− Dyi) (4.6)
Descritores de Curvatura para a Carta Dinamométrica
Conforme a Figura 4.3 apresenta, o descritor de Curvatura para uma carta dinamo- métrica com N pontos é um vetor de N valores referentes a distância entre os pontos que formam a carta.
Figura 4.3: Exemplo de Descritor de Curvatura para uma Carta com Pancada de Fluido
4.2.3
Descritores K-Curvatura
O extrator de K-curvatura apresenta o contorno do objeto através da relação do ângulo criado entre dois vetores [Gonzalez et al. 2003]. A partir do ponto inicial, pi, dois pontos,
pi+k e pi+2k, são selecionados com um espaço entre eles de k valores com o propósito de
eliminar ruídos. Assim, os dois vetores (v e w) são definidos. O vetor v é formado pelos pontos pie pi+k, enquanto que o vetor w é formado pelos pontos pi+k e pi+2k. A Equação
4.2. DESCRITORES DE FORMAS 33
θ = cos−1 v· w
|v| · |w| (4.7)
O produto escalar entre os vetores é representado por v · w (Equação 4.8) e |v| e |w| são os vetores normais (Equação 4.9 e 4.10).
v· w = v1w1+ v2w2+ ... + vnwn (4.8)
|v| =√v· v (4.9)
|w| =√w· w (4.10) O algoritmo de K-curvatura pode se tornar invariante a rotação e a translação. Para isso, após os cálculos de todos os ângulos de contorno, pode ser construído um histograma em que cada posição i desse, corresponde à uma frequência de uma faixa de ângulos encontrado no contorno.
Para que o extrator k-curvatura seja invariante à escala é necessário que o método seja atualizado de acordo com a escala aplicada ou, como utilizado neste trabalho, normali- zando a carta dinamométrica entre 0 e 100%.
Descritores K-Curvatura para a Carta Dinamométrica
O descritor de K-Curvatura é um vetor formado por N ângulos θ calculados a partir dos N pontos que compõe a carta dinamométrica. A Figura 4.4 apresenta geometrica- mente a forma de cálculo.
4.2.4
Descritores de Fourier
O descritor de Fourier é um algoritmo compacto e de baixa complexidade [Kunttu & Visa 2005]. Para implementar este algoritmo, considere os seguintes pontos: (xk,yk), que
representa as coordenadas do contorno do objeto, onde k = 0,1,2,...,N −1 e N é a quan- tidade de pontos da borda. A Equação 4.11 indica a função complexa das coordenadas do contorno do objeto.
z(k) = (xk) + j(yk) (4.11)
Apesar da sequência não ser importante para este descritor, nesta tese, x é a posição da haste polida e y é a carga do sistema para cada posição da haste polida. Os descritores de Fourier (Equação 4.12) são construídos aplicando a Transformada Discreta de Fourier (DFT) na Equação 4.11. Fn= 1 N N−1
∑
k=0 z(k)e−j2πnkN (4.12)N= 0, 1, 2, ..., N − 1 e Fnsão os coeficientes da transformação de z(k). Os descritores
podem ser invariantes a rotação quando as magnitudes da transformação são usadas, |Fn|.
A escala, também, pode ser normalizada quando se divide pela magnitude do coeficiente |F1| da transformação.
Descritores de Fourier para a Carta Dinamométrica
O descritor de Fourier é um vetor formado pela função complexa 4.11, que o par ordenado (x,y) que representa o ponto é reescrito, transformando a matriz de pontos bi- dimensional de comprimento N, em um vetor de tamanho N.
4.2.5
Descritores de Fourier Modificados
Na literatura é comum encontrar uma variante dos descritores de Fourier, utilizando a distância das coordenadas ao centróide da imagem como será detalhado na Seção 4.2.5. Porém, como uma contribuição desta tese, será analisado em capítulos a frente o impacto de mais três variações dos descritores de Fourier. O interesse de utilizar estas variações é que se pode agregar as características de outros descritores às dos descritores de Fou- rier padrão. Pode-se citar que estes descritores, seguindo a mesma metodologia adotada para os descritores de Fourier, podem se tornar invariantes as transformações geométricas (escala, rotação e translação), bem como invariantes ao ponto inicial. Fato este que os des- critores, que utilizam as técnicas como Centróide, descritores de Curvatura, K-Curvatura, são variantes. Vale destacar que todas as modificações são realizadas na função complexa dos descritores de Fourier.