Diante do exposto anteriormente, onde foram apresentadas fases de nossa his- tória do ensino de Matemática em que o Cálculo fez parte, sendo abordado, na maioria das vezes, num rigor acima do necessário, e diante das motivações para que o ensino do Cálculo retorne à grade curricular da Matemática do Ensino Médio, apresentamos, aqui, uma proposta em que a definição de derivada seja introduzida já na primeira série, juntamente com algumas aplicações, devendo, para tanto, termos um apoio da disciplina Física, haja vista seus conceitos iniciais em Cinemática Escalar acolherem de forma precisa e prática a definição de derivada. Assim, a escalada dos tópicos de Cálculo começará com o professor de Física.
Essa escolha dará condições de calcularmos as derivadas das funções polino- miais de 1º e 2º graus, com as devidas aplicações à Física, no estudo do movimento uniforme e do movimento uniformemente variado, dando sentido pleno ao conteúdo que está sendo apresentado. Além disso, na disciplina Matemática, o estudo da fun- ção polinomial do 2º grau dará a oportunidade de resolver um problema importante, que é a determinação da equação da reta tangente a uma parábola.
Na primeira série, o estudo da taxa de variação instantânea deve fazer parte do programa de conteúdos de Física já sendo introduzida a definição de derivada. Nessa mesma série, na disciplina Matemática, trataremos o problema da reta tangente ao gráfico de uma função, apresentando-se o significado geométrico da derivada de uma função como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa fun- ção em um de seus pontos. No estudo do crescimento da função polinomial do 2º grau, já com o conhecimento do significado de sua derivada, há a oportunidade de
esboçarmos o gráfico dessa função e verificarmos se haverá ponto de máximo ou de mínimo.
Nessa fase, ainda na disciplina Física, a derivada da função polinomial de grau 𝑛 > 2 poderá ser apresentada sem demonstrações formais, verificando-se sua vali- dade, pela definição de derivada, apenas, para funções polinomiais de primeiro e se- gundo graus, e estendendo essa validade para funções de grau maior do que dois.
Na segunda série do Ensino Médio, alguns tópicos da Matemática serão apro- veitados para introduzirmos algumas regras de derivação. O binômio de Newton, por exemplo, será utilizado para nos auxiliar na regra da cadeia. Normalmente, a trigono- metria é tratada nessa segunda série, ou final da primeira, em Matemática, e, na Fí- sica, o estudo de oscilações dependem de conhecimentos básicos de funções trigo- nométricas, e nessas duas oportunidades, na Matemática e na Física, pode-se tratar das regras de derivação das funções seno e cosseno.
Para a Física, desde a primeira série, entendeu-se que a derivada da função espaço, que depende da variável tempo, representa a velocidade a cada instante. Se a função espaço for polinomial ou trigonométrica, não mudará a ideia de que a veloci- dade será a derivada da função espaço em questão. Ou seja, caso a função seja trigonométrica, o(a) professor(a) de Física não terá a preocupação em demonstrar o resultado, como o fez na série anterior, com a função polinomial, no estudo de Cine- mática Escalar.
A partir dessas apresentações, já iniciadas bem no começo da primeira série, em Física, ficará cômodo, também, para professores de outras disciplinas, como Quí- mica e Biologia, tratarem alguns conceitos ligados à taxa de variação instantânea já com o conhecimento de derivada, fazendo o uso das regras de derivação. Vale res- saltar que essas duas disciplinas, Química e Biologia, fazem estudo de populações diversas cujo crescimento (ou decrescimento) ocorre na natureza, normalmente, a partir de uma função exponencial, não sendo necessária, porém, naquela fase do curso, a busca pela obtenção da derivada da função exponencial a partir da definição. É suficiente o aluno saber (relembrar) o que é taxa de variação instantânea, de modo que a função sobre a qual será calculada a derivada é apenas um detalhe.
Conforme a BNCC, o estudante do Ensino Médio deve passar por uma forma- ção comum, implementada para todos os estudantes, e por uma formação específica, escolhida pelo estudante, conforme seus desejos e aptidões. A Matemática estará presente na formação comum, e essa forma de apresentarmos o Cálculo, já na pri- meira série, garantirá a todos os estudantes as noções desse conteúdo tão presente, seja na formação que esses estudantes terão após o Ensino Médio, como também no dia a dia, haja vista a interpretação de gráficos, as taxas de crescimento e decresci- mento, além de problemas de otimização estarão sempre presentes.
Na terceira série, formalmente, logo após o estudo de geometria analítica, nú- meros complexos e polinômios, podemos abrir um capítulo: Estudo da derivada de uma função e suas aplicações. Nesse momento, as definições de taxa de variação média e taxa de variação instantânea (ou seja, num ponto) não serão mais uma sur- presa, diante do trabalho realizado nos anos anteriores. A derivada de uma função será vista, no início, como uma revisão, no caso de funções polinomiais, e as regras operatórias de derivação, além das derivadas das principais funções transcendentes, poderão ser exploradas, inclusive, com as demonstrações cabíveis, em virtude do amadurecimento em conteúdos de Matemática apresentados até então.
Agora, com uma justificativa algébrica, ainda explorando a visualização geomé- trica, um sentido para as derivadas de primeira e segunda ordem poderá ser dado no estudo de gráficos, principalmente, de funções polinomiais, verificando-se um cami- nho para obtermos os valores máximos e mínimos locais que possam existir, esten- dendo-se a abordagem para funções algébricas e transcendentes.
Esta última etapa, em que se busca apresentar as derivadas de funções algé- bricas e transcendentes, com foco nas demonstrações, poderá ficar destinada aos estudantes que, em sua formação específica, por opção de itinerário, conforme a BNCC, desejam se aprofundar em conteúdos de Matemática.
CAPÍTULO 3
PROPOSTA PARA O ESTUDO DE DERIVADA E SUAS APLICAÇÕES PARA OS DOIS PRIMEIROS ANOS DO ENSINO MÉDIO.