Desenvolvimento da Otimização Sequencial Aproximada

A solução de problemas de estruturas de material compósito laminado requer o uso de otimização devido ao grande número de variáveis de projeto envolvidas. Neste trabalho os números mínimo e máximo de variáveis de projeto foram 2 e 12. Por sua vez, a otimização precisa de um programa de análise estrutural para avaliar os projetos e fornecer informações para calcular a função objetivo e as restrições. Essa tarefa apresenta duas dificuldades: o processo de interface de um programa de análise estrutural com o programa de otimização e o alto custo computacional requerido (HAFTKA; GÜRDAL, 1991).

A Otimização Sequencial Aproximada sugerida por Schmit e Farshi (1974), para problemas de otimização estrutural com uso de métodos de programação matemática

baseados em informações do gradiente, é uma abordagem que faz a interface de um programa de otimização com um programa de análise estrutural e resolve os dois problemas citados. No trabalho de Schmit e Farshi (1974) o problema do alto custo computacional foi tratado através do emprego de conceitos de aproximação (Approximations Concepts).

No trabalho de Schmit e Farshi (1974) houve uma redução do número de variáveis de projeto e do número de restrições, ficando apenas aquelas que eram críticas para o problema. O número de análises estrutural foi reduzido utilizando-se o método dos centros ou das hiperesferas inscritas, que é uma técnica de programação sequencial linear (Sequential Linear Programming – SLP). Ela substituiu a função objetivo e as restrições por aproximações lineares obtidas de séries de Taylor.

Outra consideração importante na programação sequencial linear é que ela utiliza o conceito de limites móveis (move limits) ou região de confiança (trust region) (Rodriguez et al., 1998). Uma série de subproblemas de otimização aproximada são construídos iterativamente e resolvidos em cada nova região de confiança, traçando um caminho até o ótimo procurado.

A programação sequencial linear pode ser generalizada utilizando-se aproximações não lineares para algumas das restrições e funções objetivo (HAFTKA; GÜRDAL, 1991). O resultado é a programação sequencial quadrática, um método poderoso para programação não linear em larga escala que também usa região de confiança.

Etman, Groenwold e Rooda (2006) utilizaram o método de programação não linear para substituir a função penalidade como um critério de aceitação ou rejeição da solução de um subproblema na região de confiança. Essa abordagem foi utilizada em programação sequencial quadrática aplicada em três problemas de engenharia: uma treliça com duas barras, uma viga em balanço e uma treliça de dez barras.

Um novo método de otimização sequencial aproximada envolvendo problemas com restrições utilizando um modelo aproximado para encontrar o ponto ótimo dentro da região de confiança foi desenvolvido por Brekelmans et al. (2005). Esse método foi diferente das abordagens anteriores porque não necessitou o uso de informações do gradiente. Trata-se de um algoritmo de otimização iterativo implementado dentro do algoritmo sequencial SEQUEM, que é uma variante do método da região de confiança.

Outro tipo de otimização sequencial aproximada, que vem ganhando grande atenção atualmente devido ao uso crescente de métodos numéricos tais como o Método dos Elementos Finitos e a Análise Isogeométrica, é a baseada no método da superfície de resposta.

Neste tipo de otimização utilizam-se modelos substitutos para representar a função objetivo e as restrições durante a otimização. A análise estrutural é usada no início, através de métodos numéricos, para avaliar os projetos da amostra de treinamento que serão usadas na construção dos modelos substitutos e também durante a inserção de novos pontos na amostra de treinamento utilizando critérios de preenchimento (infill criteria). Muitos estudos têm despertado atenção a essa técnica nas últimas décadas.

Um estudo realizado por Lee, Oh e Choi (2008) afirma que o SVR é o melhor modelo substituto para ser utilizado na Otimização Sequencial Aproximada (Sequential Approximate Optimization – SAO) quando comparado com RBF, Kriging e PR. Em três problemas matemáticos e dois problemas de projeto de engenharia, o SVR apresentou precisão e eficiência superior, além do menor número de chamadas da função de avaliação.

Diversos estudos realizados mostraram que a Otimização Sequencial Aproximada utilizando o modelo RBF é uma solução que atende aos requisitos de projeto para problemas de otimização que necessitam de simulação numérica e possuem alto custo computacional (KITAYAMA e NATSUME, 2014; KITAYAMA; ARAKAWA; YAMAZAKI, 2011; KITAYAMA; ARAKAWA; YAMAZAKI, 2012; KITAYAMA; HUANG; YAMAZAKI, 2013; KITAYAMA; ONUKI; YAMAZAKI, 2014; KITAYAMA et al., 2015).

Dong et al. (2018) apresentaram um algoritmo de otimização global baseado em modelos substitutos (Kriging e Superfície de Resposta Quadrática) para resolver problemas de otimização multimodal com restrições e alto custo computacional. Eles utilizaram os algoritmos de otimização Grey Wolf Optimization (GWO) e o mult-start optimization algorithm. A ideia utilizada por eles é fazer com que o algoritmo salte de um ótimo local e encontre regiões não exploradas na busca pelo ótimo global.

Chung, Park e Choi (2018) desenvolveram um algoritmo para Otimização Sequencial Aproximada com duas fases, exploração local e global. A técnica de preenchimento de inserção de inserção de pontos próximo e longe do ótimo utilizada por eles impactou na eficiência e robustez do algoritmo. Eles testaram 9 funções matemáticas sem restrição e 5 problemas com restrição. Fizeram ainda uma aplicação de engenharia de projeto de uma peça de máquina de lavar roupa para demonstrar a validade do algoritmo para problemas voltados para indústria. Os resultados mostraram uma redução do número de avaliações da função para encontrar o ótimo.

A literatura mostra um crescimento significativo de estudos na área de Otimização Sequencial Aproximada. Tanto devido a capacidade de modelos substitutos representarem satisfatoriamente os problemas de caixa preta (black-box), onde a relação entre as amostras de

dados e os valores observados não são conhecidos analiticamente, como pela redução do tempo de otimização dos problemas e precisão obtida nos projetos ótimos.

Neste trabalho, a Otimização Sequencial Aproximada foi realizada utilizando-se o programa de otimização Biologically Inspired Optimization System (BIOS) e o programa de simulação numérica Finite element AnalysiS Tool (FAST). Ambos os programas são desenvolvidos em linguagem de programação C++ adotando o paradigma de Programação Orientada a Objetos. A interface entre eles foi realizada através de leitura de arquivos de texto utilizando-se a função system para executar o FAST de dentro do BIOS.

As análises estruturais aproximadas são realizadas através de modelos substitutos. Inicialmente utilizou-se o modelo RBF na solução dos problemas de otimização desta dissertação. Depois o modelo SVR do LIBSVM desenvolvido por Chang e Lin (2011) em C++ foi utilizado nos mesmos problemas, mas em uma forma de otimização estática, sem inserção de novos pontos na amostra e atualização do modelo substituto. Uma comparação dos resultados obtidos quanto à precisão e robustez dos modelos foi realizada, bem como a redução de tempo em relação as otimizações rodadas com os modelos de alta fidelidade através da redução do número de avaliações das funções.