Detecção de Elipses

Esta é a terceira e última etapa da Análise de imagem. O objectivo será determinar os parâmetros da elipse que melhor se adapta ao contorno da íris determinado na etapa anterior. A Fig. 95 mostra as imagens de entrada e de saída desta fase.

Procura da

melhor elipse

Fig. 95 - Diagrama Funcional da Detecção de Elipses

Obtidos os contornos da íris de cada olho é assim possível estimar a elipse que melhor se adapta a cada um deles. Contudo, a escolha do método de detecção não é simples, pois pretende-se um processo eficaz mas também eficiente relativamente ao tempo de processamento.

Contudo, antes de se fazer a estimação das elipses compensa-se a distorção provocada pela lente no contorno detectado na fase anterior. Assim as elipses serão estimadas utilizando não os contornos detectados mas sim uma imagem idêntica sem distorção.

Os pixels dos contornos são projectados no plano normalizado compensando a distorção, sendo utilizado para isso um método numérico (visto não existir uma expressão algébrica para a transformação inversa) que usa os parâmetros intrínsecos estimados para a câmara (este processo designa-se normalização).

A imagens seguintes (Fig. 98/Fig. 99) mostram a projecção dos olhos com distorção juntamente com os contornos sem distorção. Apenas foi compensada a distorção dos pontos do contorno da íris, pois compensar a distorção de todos os pixels da imagem seria um processo bastante demorado e sem grande utilidade. Obviamente a distorção será tanto maior quando mais afastados estiverem os pixels do ponto principal da imagem.

Fig. 98 - Contorno sem distorção Fig. 99 - Contorno sem distorção

Contudo, as imagens visualizadas na etapa da estimação das elipses não terão a distorção compensada. O objectivo será poder visualizar melhor a adaptação das elipses aos olhos, o que não seria tão óbvio com imagens como as das Fig. 98/Fig. 99.

A equação cartesiana da elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados é

1 ) ( ) ( 2 2 0 2 2 0 ₊ − ₌ − b y y a x x ( 13 )

onde (x0;y0) são as coordenadas do centro da elipse, e a,bsão os comprimentos dos

semi-eixos da elipse. Contudo as elipses procuradas não têm necessariamente os eixos nestas condições, pelo que é necessário a estimação de um quinto parâmetro θ, a inclinação do eixo maior da elipse.

Fazer a correlação da imagem com padrões conhecidos seria extremamente exigente a nível de tempo de processamento. Pela mesma razão não se utilizou uma transformada de Hough bruta, pois o tempo de computação aumenta exponencialmente com o crescimento do número de parâmetros a estimar, e não são conhecidos a priori nenhum dos parâmetros da elipse.

Assim optou-se por utilizar métodos mais rápidos, ainda que menos eficazes, para uma primeira estimativa da elipse. Utilizou-se assim um método bastante rápido de estimação de cónicas específico para elipses [10]. Este consiste em determinar a elipse que minimize o quadrado da distância do seu contorno a cada ponto que a gerou. É um método não iterativo que calcula os parâmetros da elipse apenas através de modelos algébricos.

As imagens seguintes (Fig. 100/Fig. 101) demonstram o resultado obtido pela aplicação deste método às imagens dos contornos.

Fig. 100 - Elipse estimada e o contorno que a gerou

Fig. 101 - Elipse estimada e o contorno que a gerou

Os resultados são satisfatórios, graças à boa estimação dos contornos nesta imagem. Contudo, como os contornos não estão totalmente visíveis (a parte de cima do olho é sempre ocultada pela pálpebra) este método estima a elipse apenas com pontos da sua parte inferior, e tal mostrou ser insuficiente. De facto, este método provou ser tremendamente eficaz na estimação de elipses com pontos espalhados em redor do centro, mas nos casos utilizados tende a detectar elipses com excentricidade menor (mais “achatadas”) que o que realmente deveria.

Seria portanto aconselhável utilizar um outro método para ajustar a escolha efectuada por este. Foi assim implementada uma Transformada de Hough para elipses para melhorar a decisão obtida. Embora este método seja bastante pesado do ponto de vista computacional, pelo facto de já se saber uma aproximação dos parâmetros da elipse pode-se restringir bastante a procura, poupando tempo que seria perdido desnecessariamente.

A Transformada de Hough para elipses consiste em desenhar uma elipse com determinados a, be θem cada ponto do contorno (Fig. 102/Fig. 103), e para cada ponto (x,y) onde a elipse passe incrementar uma unidade ao acumulador na célula de coordenadas (x,y,a,b,θ). O acumulador é uma matriz de 5 dimensões, uma para cada parâmetro da elipse. Esta operação é repetida para os valores de a, b e θque se deseja testar. No final a célula do acumulador com o valor máximo terá as coordenadas da elipse estimada.

Fig. 102 - Pontos do Contorno Fig. 103 - Transformada de Hough completa

Só faz sentido utilizar este método se se conseguir restringir bastante a gama dos parâmetros a estimar, e também se o número de pontos do contorno não for demasiadamente grande (por esta razão na detecção dos contornos da íris não foram utilizadas transformadas de Hough).

As restrições foram as seguintes:

• foi definida uma medida de ângulo proporcional ao perímetro da elipse a estimar, de modo a não ser demasiado pequeno, o que exigia tempos de cálculo longos, nem suficientemente grande, com insuficiente informação;

erro que mostrou ser adequada (22.5º = 1/16 de 360º), como mostra a Fig. 103;

• a dimensão do eixo maior é praticamente a mesma que foi obtida com a detecção de elipses inicial (caso o sistema já esteja calibrado para uma determinada distância pode-se usar a estimativa do diâmetro do olho em

pixels);

• as dimensões para o eixo menor a testar serão iguais ou superiores à dimensão obtida na primeira de tecção (a primeira detecção nunca origina elipses com excentricidade maior que a óptima) e inferiores à do eixo maior;

• as orientações a adicionar à elipse são múltiplas do ângulo acima calculado, e só abrangem 22.5º para cada lado.

As imagens seguintes (Fig. 104/Fig. 107) mostram “fatias” do acumulador, isto é, mostram os centros candidatos (x,y) para valores fixos de a, b e θ. Para cada variação de cada um destes três parâmetros existe uma imagem semelhante.

Fig. 104 - Apenas analisa uma gama reduzida

Fig. 105 - Resultado de 3 análises

Fig. 106 - “Fatia” do Acumulador

Fig. 107 - “Fatia” do Acumulador (3D)

As “fatias” acima visualizadas correspondem àquelas que apresentaram o maior valor do acumulador. Os novos parâmetros da elipse acabados de estimar serão os definitivos (Fig. 108/Fig. 109). Como se esperava, é nítida a melhoria da qualidade da nova estimação comparativamente à antiga.

Fig. 108 - Elipse definitiva Fig. 109 - Elipse definitiva

A título de exemplo mostra-se um outro caso para se comparar o resultado dos dois métodos (Fig. 110/Fig. 111).

Fig. 110 - Estimação apenas com o 1º método Fig. 111 - Estimação usando os 2 métodos

Apenas uma pequena dificuldade surgiu ao usar este novo método. Por vezes existe mais que um valor máximo no acumulador de Hough. Isto sucedia-se principalmente ao variar o parâmetro θ . Nas três imagem de baixo (Fig. 112/Fig. 114) o máximo acumulador foi o mesmo, bem como para aquelas cuja orientação é intermédia a elas. Nestes casos a opção tomada foi aceitar a solução mediana. Neste caso aceitar- se-ia a orientação da imagem do meio, que visivelmente parece ser a mais correcta.

Fig. 112 - Parâmetros Óptimos (1) Fig. 113 - Parâmetros Óptimos (2) Fig. 114 - Parâmetros Óptimos (3)

A Transformada de Hough mostrou ser bastante precisa e demonstrou resultados superiores aos obtidos pelo primeiro método. Contudo, a excelente qualidade dos resultados obtidos nesta fase, tanto em eficácia como em eficiê ncia, deveu-se à utilização conjunta dos dois métodos. O primeiro serviu para obter uma estimativa razoável e o segundo para refinar a escolha. Graças aos óptimos resultados esta fase do processo obteve uma eficácia superior a todas as outras.