(a) (b) (c)
Figura 5.2: (a) Representação do operador de quadratura ˆX(φol). (b) O estado é projetado
sobre o eixo ˆX(φol) dando origem a uma distribuição de probabilidades. (c) O parâmetro φol
é regulado por Bob, permitindo medições em "cortes tomográficos" da quadratura do campo.
termo, por outro lado, contém um operador semelhante a um operador de quadratura que chamaremos convenientemente de ˆX(φol). Utilizando a definição ˆa = ˆX+ i ˆY e após alguma
manipulação descobrimos o significado deste operador de quadratura:
ˆ X(φol) = 1 2 ˆa†
eiφol + ˆae−iφol
= 1
2
h
ˆ
Xeiφol + e−iφol− i ˆY eiφol− e−iφoli
= ˆXcos φol+ ˆY sin φol (5.1.4)
Como representado na Figura 5.2, notamos que o operador de quadratura ˆX(φol) corres-
ponde simplesmente a uma medição de quadratura sobre um eixo rotacionado de φolradianos
em torno da origem do plano das quadraturas do campo. Desta forma, fica evidente que o esquema de detecção homódina ordinária permite o uso de um simples fotodetector para a obtenção de informações de fase e compressão do campo recebido, sendo mesmo possí- vel a reconstrução completa do estado após uma grande série de medições ("tomografia" - Figura 5.2 (c)).
5.2
Detecção Homódina Balanceada
No esquema anterior, embora R 1 (o que implica também em pouca reflexão do ruído que acompanha o oscilador local), quando o sinal é demasiadamente fraco ou o ruído é forte, a medição é prejudicada. Por este motivo é vantajoso o uso de uma pequena modificação neste esquema. Na detecção homódina balanceada, o divisor de feixes tem taxas de reflexão e transmissão iguais (R = T ). A medição é feita por dois detectores, um em cada saída do
56 CAPÍTULO 5. A DETECÇÃO HOMÓDINA
Figura 5.3: Esquema de detecção homódina balanceada. Um divisor de feixes com R =
T combina os campos e a medição é feita em ambas as saídas. Os sinais medidos pelos
fotodetectores são subtraídos, resultando em uma medida mais limpa de ruídos.
divisor de feixes (veja Figura 5.3). Neste caso, a contribuição do oscilador local (e do ruído) para os sinais medidos pelos fotodetectores pode ser removida através de uma subtração entre os sinais.
O operador número de fótons no fotodetector 1 é dado pela [Eq. 5.1.2], já no fotodetector 2 o número de fótons é ˆnd= ˆd†dˆ. Lembrando que R = T = 1/
√ 2 temos: ˆnc = 1 2ˆa †ˆa +1 2ˆb †ˆb + 1 2 ˆa†ˆb + ˆb†ˆa (5.2.1) e ˆnd = R2ˆa†ˆa + T2ˆb†ˆb − RT ˆa†ˆb + ˆb†ˆa = 12ˆa†ˆa +1 2ˆb †ˆb − 1 2 ˆa†ˆb + ˆb†ˆa (5.2.2) Com uma combinação dos sinais de saída dos fotodetectores, subtraindo a [Eq. 5.2.2] da [Eq. 5.2.1], obtemos:
ˆnc−ˆnd= ˆa†ˆb + ˆb†ˆa (5.2.3)
E a medição dessa combinação resulta:
hˆnc−ˆndi= D ˆa†ˆb + ˆb†ˆaE = 2 |βol| 1 2 ˆa†
eiφol+ ˆae−iφol
= 2 |βol| D ˆ X(φol) E (5.2.4) Através da detecção homódina balanceada, o ruído do oscilador local é completamente eliminado, permitindo o uso de um oscilador local mais forte.
Capítulo 6
A Função de Wigner
Graças a Max Born (1882-1970), hoje interpretamos a mecânica quântica como uma teoria estatística. Suas previsões para uma partícula são probabilísticas e só podem ser relacionadas com a mecânica clássica através das probabilidades geradas por um ensemble de partículas clássicas. O estudo e descrição clássicos de um tal ensemble podem ser bem empreendidos através do uso de conceitos da mecânica estatística e, em particular, da equação de Liouville para distribuições no espaço de fases. Assim, objetivando relacionar a teoria quântica com a clássica, somos levados a procurar uma descrição da mecânica quântica dentro do espaço de fases, evidenciando as conexões existentes entre elas, bem como suas desavenças. Entretanto, devido à incerteza no conhecimento conjunto do momento e posição de uma partícula, não podemos associar diretamente a configuração de um dado sistema quântico com um ponto único no espaço de fases. Esta limitação, intrínseca à mecânica quântica, implica que não é possível a obtenção de uma distribuição única e verdadeira de probabilidades, sobre o espaço de fases, para as possíveis configurações deste sistema quântico, mas apenas funções com algumas das propriedades destas distribuições verdadeiras.
Várias destas distribuições foram formuladas com o passar do tempo, cada uma conve- niente para o estudo de um dado problema. Neste capítulo apresentaremos uma descrição do operador densidade em termos de uma função real de distribuição sobre as coordenadas do espaço de fases conhecida como Função de Distribuição de Quasi-Probabilidade de Wig-
ner, introduzida por Eugene Paul Wigner (1902-1995) em 1932 [15, 14, 43]. Mais adiante
usaremos a função de Wigner como base para o estudo de dois protocolos de variáveis contí- nuas, extraindo dela interpretações e distribuições de probabilidades de detecção dos estados transmitidos durante a QKD.
58 CAPÍTULO 6. A FUNÇÃO DE WIGNER
6.1
A Função Característica
Diversas fórmulas para a função de Wigner foram derivadas independentemente em diferentes contextos. Aqui obteremos a função de Wigner como uma transformada de Fourier complexa da função característica, que agora discutiremos.
A expansão de um operador qualquer ˆF em termos de produtos de operadores de criação
e aniquilação ˆa e ˆa† é de grande utilidade para o estudo de osciladores harmônicos e campos
quantizados, mas não é univocamente definida. A não comutatividade destes dois operadores dá origem ao problema do ordenamento destes operadores nos produtos, permitindo uma in- finidade de expansões ordenadas. Em pouco tempo, descobriu-se que esta indeterminação no ordenamento não se tratava de uma inconveniência, pois a cada tipo de medida corresponde um ordenamento mais apropriado para sua descrição. Neste texto abordaremos o ordena- mento simétrico, também conhecido como ordenamento de Weyl. Neste ordenamento, cada parcela da expansão será escrita como uma combinação simétrica dos operadores ˆa e ˆa† [12].
Introduzimos o conceito de combinação simétrica e sua notação através de dois exemplos:
n ˆa† ˆao s=0 = 1 2
ˆa†ˆa + ˆaˆa†
(6.1.1) n ˆa† ˆa2o s=0 = 1 3
ˆa†ˆa2+ ˆaˆa†ˆa + ˆa2ˆa†
(6.1.2) onde s = 0 indica ordenamento simétrico. Outros dois ordenamentos muito úteis são o
ordenamento normal nˆa†nˆamo
s=1 = ˆa
†nˆam e o antinormal nˆa†n
ˆamo
s=−1 = ˆa mˆa†n.
Como a união de todos os operadores deslocamento forma um conjunto completo de operadores, podemos expandir um operador qualquer ˆF como:
ˆ
F =
ˆ
f(ξ) ˆD−1(ξ) π−1d2ξ (6.1.3)
onde as funções peso são dadas por
f(ξ) = TrhF ˆˆD(ξ)i (6.1.4)
e ˆD(ξ) possui ordenamento simétrico:
ˆ D(ξ) = eξˆa†−ξ∗ˆa= ∞ X n=0 1 n! ξˆa†− ξ∗ˆan= ∞ X n,m=0 ξn(−ξ∗)m n!m! n ˆa†n ˆamo s=0 (6.1.5)
As funções peso aqui definidas são unívocas e quadrado-integráveis. Fazendo esta expan- são para o operador densidade obtemos: