Determinação da probabilidade de excedência

Após ter sido determinada a distribuição teórica que melhor se ajusta à distribuição de valores da variável em estudo (AREA 3D), foi possível efetuar o cálculo da probabilidade de excedência de um determinado valor dessa variável.

Tal como demonstrado por Marques (2013), tendo em conta que o integral da função de densidade de probabilidade (FDP, ܨ(ݔ)) de uma distribuição teórica é igual a 1 e sabendo que a função de distribuição cumulativa (FDC,ܨ(ݔ)) se obtém pelo cálculo do

Figura 4.21 - Representação gráfica da FDP da DLN-3P, parametrizada pelo método da máxima verosimilhança para o inventário de movimentos de vertente (IMV).



ϭϮϲ

integral de ݂(ݔ), torna-se possível determinar a probabilidade de, aleatoriamente, a

variável ܺ assumir um valor menor ou igual do que ݔ, de acordo com a seguinte expressão:

Equação4.15:ܨ(ݔ) = ܲ{ܺ ൑ ݔ} = න ݂(ݔ)݀ݔ

௫

଴

Assim sendo, é também possível determinar a probabilidade de ܺ > ݔ, ou seja, a probabilidade de excedência que especificamente se pretende obter, dada a sua relevância em estudos desta natureza, através da equação seguinte:

Equação4.16:ܲ{ܺ> ݔ} = 1െ ܨ= 1െ න ݂(ݔ)݀ݔ

௫

଴

Tendo em conta a expressão utilizada para determinar a densidade de probabilidade, de forma discreta e com classes de amplitude previamente definidas (expressão 4.11), a distribuição cumulativa de probabilidade para a área dos movimentos de vertente de forma discreta é calculada pela seguinte expressão, considerando i classes de amplitude pré-definidas:

Equação4.17:ܨ(ܣ_ெ௏) = ܲ{ܺ ൑ ݔ} = ෍ ݂(ܣ_ெ௏೔)ߜܣ_ெ௏

௑ஸ௫

De igual forma, com base na expressão 4.14, a função de distribuição acumulada para a DLN-3P (ܨ(ܣ_ெ௏;ߪ,ߤ,ߛ)) é determinada pelo integral da função de densidade de probabilidade da distribuição, através da seguinte expressão:



ϭϮϳ Figura 4.22 - Representação gráfica da FDC da DLN-3P, parametrizada pelo método da máxima verosimilhança para o inventário de movimentos de vertente (IMV).

Equação4.18:ܨ(ܣ_ெ௏;ߪ,ߤ,ߛ) = ࣦ ቆln(ܣெ௏ െ ߛ) െ ߤ

ߪ ቇ

onde ࣦ corresponde ao integral de Laplace.

Na figura 4.22, é apresentada a função de densidade acumulada (FDC) da DLN-3P, calculada com base na equação 4.17 e tendo por base os parâmetros determinados, através do software EasyFit 5.6 Professional, para o cálculo da FDP da DLN-3P (ߤ= 3,5895;ߪ= 1,9249;ߛ = 1,0415).

O caracter cumulativo da FDC pode induzir erros graves na determinação da probabilidade acumulada e na probabilidade de excedência para os valores de maior dimensão da distribuição, já que as diferenças de ajuste vão também, concomitantemente, sendo acumuladas, o que vem reforçar a importância de selecionar a distribuição teórica contínua que melhor se ajuste à variável em análise, reduzindo o



ϭϮϴ Tabela 4.7 - Probabilidade de excedência para diferentes cenários de magnitude de área de um dado movimento de vertente na área de estudo, tendo em conta a DLN-3P.

Tabela 4.8 - Probabilidade de ocorrência de movimentos de vertente em diversos intervalos de magnitude de área, tendo em conta a DLN-3P.

risco de se obterem erros graves no cálculo da probabilidade de excedência (Marques, 2013).

Na tabela 4.7, são apresentados as probabilidades de excedência correspondentes a diversos cenários de magnitude do valor da área do movimento de vertente (AMV),

derivados da FDP da DLN-3P.

Como seria expetável, pela análise da figura 4.22, a probabilidade de excedência varia na razão inversa do valor da área do movimento de vertente correspondente, registando um declínio drástico à medida que se vai aumentando a ordem de grandeza.

Não sendo exequível apresentar as probabilidades de excedência para todos os valores de AREA 3D do IMV, importa, no entanto, referir que a probabilidade de excedência para área do maior de movimento de vertente registado no IMV (~19.494 m2) é de 0,00054381. Assim sendo, este valor representa a probabilidade de que, ocorrendo um movimento de vertente na zona de estudo, o mesmo ostente uma área de cicatriz superior a qualquer outra presente no IMV.

Na tabela 4.8, apresentam-se ainda as probabilidades de ocorrência de movimentos de vertente com área compreendida em diversos intervalos.

AREA 3D Probabilidade de Excedência (1-F(AMV))

Área (m2_{) 10 100 1.000 10.000 100.000}

Probabilidade de excedência 0,76599 0,30076 0,04242 0,00175 0,00001925

AREA 3D Probabilidade de X1 < X <X2

Área (m2_{) < 10 [10 - 100[ [100 - 1.000[ [1.000 - 10.000[ [10.000 - 100.000[}



ϭϮϵ

A título de exemplo, ocorrendo um movimento de vertente na área de estudo, a probabilidade de a sua magnitude (AREA 3D) estar compreendida entre os valores da área dos dois maiores movimentos de vertente de IMV, 13.925,38 m2 e 19.493,55 m2 respetivamente, é de 4,5x10-4.

De acordo com Guzzetti et al. (2009), seria ainda possível reproduzir todos estes resultados utilizando o volume de material instabilizado (VMV) para traduzir a magnitude

dos movimentos de vertente, relacionando-o de forma empírica com a área dos movimentos de vertente (AMV), independentemente dos fatores condicionantes e

desencadeantes e das ordens de magnitude das duas variáveis, através da seguinte função potencial:

Equação4.19:ܸ_ெ௏ = ܾ.ܣ_ெ௏ୟ

Tendo em conta a metodologia adotada por Guzzetti et al. (2009) para determinar a função empírica de correlação entre ܸெ௏ e ܣெ௏, na figura 4.23 ilustra-se a relação entre

as duas variáveis. Como se pode observar, confirma-se uma forte relação entre a AREA 3D e VOL 3D, tendo em conta o elevado coeficiente de determinação (R2_~0.95),

demonstrando que a relação é essencialmente geométrica e independente das características fisiográfica locais, tal como aludido por Guzzetti et al. (2009).



ϭϯϬ Figura 4.23- Relação entre a área da cicatriz (AREA 3D) e o volume instabilizado (VOL 3D) dos movimentos de vertentes de IMV.

A relação empírica entre os dois parâmetros morfométricos do IMV é dada pela expressão:

Equação4.20:ܸெ௏ = 0,3593.ܣெ௏ଵ,ଵ଺଴଻

Assim sendo, apesar de esse não ser um objetivo deste trabalho, estando determinada a relação empírica entre ܸ_ெ௏ e ܣ_ெ௏, seria possível determinar a probabilidade de excedência de ܸ_ெ௏. Para tal, bastaria reproduzir a metodologia utilizada para ܣ_ெ௏, mantendo a parametrização da DLN-3P e substituindo na equação 4.18 a variável ܣ_ெ௏ pela relação empírica definida, tal como se apresenta na expressão seguinte:

Equação4.21:ܨ(ܸ_ெ௏;ߪ,ߤ,ߛ) = ࣦ ۉ ۈ ۇቆlnቆቀ ܸெ௏ 0,3593ቁ ଵ_{ൗଵ,ଵ଺଴଻} ቇ െ ߛቇ െ ߤ ߪ ی ۋ ۊ



ϭϯϭ

A este respeito, Marques (2013) refere que os condicionalismos territoriais existentes para a geração de movimentos de vertente de maiores dimensões em termos de volume de material instabilizado, são superiores em relação ao que acontece com o aumento da área da cicatriz dos movimentos de vertente.

ϭϯϯ