Após a eliminação dos erros nos modelos, foram construídos os modelos funcionais, que ainda necessitavam ser calibrados. Nesta etapa, foi desenvolvido um software responsável por determinar as redes de monitoramento de carga de pressão otimizadas a serem implantadas na ocasião das campanhas de campo, levando-se em consideração a sensibilidade dos pontos às rugosidades. O software Epanet (ROSSMAN, 1999) foi utilizado para a simulação hidráulica das redes. A determinação dos pontos foi realizada utilizando o método da entropia de Shannon, proposto por De Schaetzen et al. (2000) pelas razões já expostas, em linguagem C++. O método consiste em identificar um conjunto ótimo de monitoramento maximizando a função de sensibilidade e a entropia de Shannon. A função usada fornece a medida da sensibilidade da carga de pressão em n nós à variação nos coeficientes de rugosidade de m trechos a serem determinados através do processo. Os valores para cada uma das duas funções são calculados e ordenados usando uma matriz. A matriz, chamada matriz de sensibilidade, de dimensões n×m, sendo n o número de nós e m o número de trechos no modelo. Kapelan (2000) lista diferentes métodos para o cálculo dos coeficientes da matriz de sensibilidade. Neste trabalho foi utilizado o método da aproximação
por diferenças finitas por ser de fácil implementação computacional e produzir resultados muito próximos aos dos métodos analíticos. Segundo este método, cada coeficiente é aproximado por diferenças finitas a partir de valores iniciais de rugosidade de Hazen-Willians
C teóricos. Cada elemento é definido como:
| �| ≅ |� ( ) − � (− ∗ ∗)| ∀ ∈ [ , ], ∀ ∈ [ , ]. (12)
Hi(Cj) é a carga de pressão simulada no nó i para o coeficiente de rugosidade
assumida Cj do trecho j e Hi(Cj*)é a carga de pressão simulada no nó i, após alterar o
coeficiente de rugosidade assumida Cj do trecho j para Cj*.No estudo, inicialmente
considerou-se Cj* = Cj + 1 para todos os trechos (adotando o coeficiente de perda de carga de
Hazen-Willians).
Fisicamente, as derivadas parciais na Equação (12) representam a variação da carga de pressão no nó i para uma dada variação do coeficiente de rugosidade em um trecho j, i.e. a sensibilidade de Hi a uma pequena variação em Cj. O número de simulações hidráulicas
necessárias para produzir a matriz de sensibilidade é m + 1, sendo m o número total de trechos. Segundo este método, define-se um plano de amostragem X como sendo um conjunto discreto de k pontos de monitoramento definido como: X = (n1, ..., nk).
O mérito de um plano de amostragem candidato X é avaliado usando uma função objetivo F(X). O conjunto de k pontos de monitoramento escolhidos do total de n nós é definido como Xk. A função F(X) é composta por duas outras funções F1(X) (Equação 13) e
F2(X) (Equação 14). As funções são combinadas através da programação por compromisso. A
primeira função a ser maximizada é:
� = ∑ = , = max∈� � | � | ∀ [ , ] (13)
F1(X) tende a selecionar o conjunto X mais sensível às mudanças nos valores dos
coeficientes de rugosidades. aj é o maior coeficiente de sensibilidade do trecho j do conjunto
Xk. Um limite superior de F1, definido como F1max, é deduzido da matriz por relaxação i.e.
definindo k = n. Um limite inferior, definido como F1min, assumido igual a 0.
A segunda função é a entropia (Equação 14), que define o espalhamento dos pontos de monitoramento do plano de amostragem X, dada por:
� = − ∑ ln , sendo = ∑
= ∀ ∈ [ , ]. =
(14)
A segunda função tende a selecionar um plano de amostragem X que proporciona o melhor espalhamento dos coeficientes de rugosidades dos trechos. Um limite superior de F2,
definido como F2max, é igual a ln(m) e não é garantido que exista para a matriz dada. Um limite inferior, definido como F2min, é assumido igual a 0. A função de Shannon pode assim ser usada como uma medida de igualdade ou espalhamento uniforme dos números (p1, ..., pj ,
..., pm), pois quanto mais próximo da igualdade esses números estão ou mais espalhados,
maior é o valor da entropia.
As duas funções a serem maximizadas são então combinadas usando programação por compromisso. Uma solução de compromisso é definida como uma solução próxima, por alguma medida de distância, de uma solução ideal (F1max, F2max) que simultaneamente otimize ambos os objetivos, sendo a solução ideal geralmente infactível.
A função objetivo utilizada para a programação por compromisso foi:
� � = √∑ (� min − � max)� � − � ax
=
, (15)
sendo wi um coeficiente de peso da i-ésima função, Fi(X)é o valor da i-ésima função e
Fimin e Fimax são os limites inferior e superior da i-ésima função.
A Figura 22 ilustra uma rede hipotética usada para exemplificar os cálculos necessários à avaliação de F(X) para um dado plano de amostragem X.
Figura 22 – Rede exemplo (DE SCHAETZEN, 2000). A matriz de sensibilidade da rede exemplo é apresentada na Tabela 1.
Tabela 9 – Matriz de sensibilidade exemplo (DE SCHAETZEN, 2000). Matriz de sensibilidade Nó i Trecho j 1 2 3 4 5 ∑ | �| = 1 0 0 0,92 0,1 0,1 0,1 1,12 2 0,2 0,21 0,54 0,25 0,24 0,25 1,44 3 0,01 0,41 0,89 0,91 0,01 0,91 2,23 4 0,01 0,62 0,04 0,02 0,02 0,62 0,71 5 0,04 0,04 0,02 0 0,84 0,04 0,94 6 0,07 0,09 0,65 0,02 0,67 0,09 1,5 0,33 1,7 3,06 1,3 1,88 ∑ = , =
Por exemplo, a variação da carga de pressão no nó 2 para uma dada variação do coeficiente de rugosidade no trecho 3, destacada em negrito na Tabela 1, foi obtida da seguinte maneira (DE SCHAETZEN, 2000):
|� − �− ∗ ∗ | = | , − ,9− | = , (16)
Se for assumido que a rede de monitoramento é composta de dois pontos, os nós 2 e 4, ou seja, X = (2, 4) então F1(X) = 2,01. Cada pj é calculado de aj usando (14) e para j = 3, p3 é
calculado como:
= ,9, ≅ , (17)
F2(X) é calculada usando a Equação (14) e é igual a 1,34. Finalmente, admitindo w1 =
w2 =0,5 e (F1max = 4,5 e (F2max = ln(6), F(x)é igual a 0,63. O trecho é considerado sensível
se
∑ | �|
=
A identificação de um conjunto de k pontos de monitoramento em uma rede de n nós classifica-se como um problema combinatório. A busca completa por uma solução ótima só pode ser calculada para pequenos valores de k e n. Por exemplo, a localização de 5 pontos de monitoramento em uma rede de 100 nós exige o cálculo de 5 possíveis planos de amostragem, i.e. aproximadamente 108 soluções. Para resolver o problema de forma eficiente é necessário o uso de técnicas de busca estocásticas. Neste trabalho, a técnica de busca usada foi a dos algoritmos genéticos. Algoritmos genéticos são técnicas de otimização inspiradas na evolução natural, que possuem desempenho satisfatório em termos de localização e velocidade de processamento computacional (GOLDBERG, 1989). A Figura 23 mostra a tela de execução do software construído para esse fim.
Figura 23 – Tela do software de amostragem
Para efetuar a busca, foi utilizada a biblioteca de programação GAlib (WALL, 1996). As soluções foram representadas por vetores de números inteiros, nos quais cada elemento representa um candidato a ponto de monitoramento. A dimensão da solução, ou número de pontos constituintes da rede de monitoramento, foi definida como k. A função objetivo consistiu na minimização da Equação 15. Foi necessário ainda modificar o algoritmo genético para penalizar soluções com elementos repetidos. A penalização consistiu em somar a quantidade de elementos repetidos no conjunto de soluções atual à função a ser minimizada. Foram utilizados o esquema de AG Steady-state (populações sobrepostas), algoritmo de seleção RouletteWheel (seleção da roleta), operador de crossover SinglePointCrossover
(recombinação de ponto único) e operador de mutação SwapMutator. Os parâmetros de execução do AG foram população inicial de 100 soluções; 500 gerações; probabilidade de crossover de 80%; probabilidade de mutação: 1% e taxa de substituição populacional de 60%. As Figuras 24-27 ilustram os setores com os pontos determinados em verde. Observa- se que em todos os casos que os pontos determinados encontram-se bem distribuídos ao longo das redes, com exceção do setor Iguatemi Zona Alta. Nota-se que os pontos ficaram concentrados na parte mais densa do setor, enquanto um pequeno apêndice ao norte do setor não foi selecionado. Analisando a matriz jacobiana, verificou-se que a preferência dada aos nós mais próximos se deveu à grande sensibilidade que prevaleceu sobre a entropia. Os pontos em vermelho presentes no setor Iguatemi Zona Alta e Iguatemi Zona Baixa indicam locais onde houve falha na aquisição dos dados.
Figura 27 - Pontos de amostragem do setor Martinez