gravita¸c˜ao dilatˆonica
Apesar de a DFE ser implementada no quadro de Einstein, nada impede que se passe ao quadro de cordas e se analise os efeitos da transforma¸c˜ao. Obt´em-se, assim, uma rela¸c˜ao entre solu¸c˜oes duais da gravita¸c˜ao dilatˆonica que, ´e claro, ´e muito distinta da dualidade do §6.2. Pode-se esquematizar o processo como
Sol. no quadro de Einstein Sol. dual no quadro de Einstein
Sol. no quadro de cordas Sol. dual no quadro de cordas Transf.(6.14)
DFE (8.15)
?
Transf.(6.14)
Suponha que n˜ao haja fontes externas no quadro de cordas, e que portanto o campo escalar σ no quadro de Einstein seja (proporcional a) o dilaton φ. As solu¸c˜oes em cada quina do diagrama acima s˜ao dadas por
a(η), σ, V (σ) ˜a(˜η), ˜σ, ˜V (˜σ) aC(η), φ, VC(φ) ˜aC(˜η), ˜φ, ˜VC( ˜φ) Transf.(6.14) DFE (8.15) ? Transf.(6.14)
De acordo com a transforma¸c˜ao (6.14), φ e σ s˜ao idˆenticos a menos de uma constante multiplicativa que torna φ adimensional,
σ = (2κ2)−1/2φ = φ/√2, (8.56)
onde na ´ultima igualdade usamos unidades com κ2 = 1. As mudan¸cas relevantes
se d˜ao na forma do fator de escala e do potencial,
e analogamente para os duais.
N˜ao h´a uma f´ormula geral para aC 7→ ˜aC, correspondente `a transforma¸c˜ao
‘?’. Isso porque, ao contr´ario da dualidade (6.24), que ´e uma simetria da a¸c˜ao gravidilatˆonica, a DFE (8.15) ´e uma transforma¸c˜ao on-shell. Como se pode ver da Eq.(8.42), a rela¸c˜ao entre a e σ depende intrinsecamente da forma de ρ(a), que se obt´em atrav´es da integra¸c˜ao de uma das equa¸c˜oes de movimento. Com isso, as f´ormulas expl´ıcitas para a transofrma¸c˜ao ˜aC = f (aC) dependem de cada caso, e a
representa¸c˜ao de nossa dualidade no quadro de cordas n˜ao ´e uma invers˜ao do fator de escala aC. Por exemplo, para a classe de fluidos autoduais parametrizadas por
um n´umero real δ > 0, e introduzida no Cap´ıtulo 9, a transforma¸c˜ao no quadro de cordas ´e derivada no §9.5, Eq.(9.58):
1 + (˜aC/c)2δ =
(aC/c)2δ+ 1
h
[(aC/c)2δ+ 1]2 − 1
i1/2.
Apesar de muito mais elaborada do que a simples invers˜ao do fator de escala, a f´ormula acima preserva a propriedade de que pequenas e grandes escalas s˜ao trocadas, i.e. aC 1 ´e mapeado em ˜aC 1, etc.
Um ponto muito importante aqui ´e que a trasnforma¸c˜ao acima ´e v´alida na presen¸ca de um potencial dilatˆonico nada trivial, dado na Eqs.(9.56). Lembre que uma das caracter´ısticas fundamentais da dualidade O(d, d) da gravita¸c˜ao di- latˆonica ´e o fato de que o potencial dilatˆonico VC(φ) deve ser necessariamente
constante (ou uma fun¸c˜ao muito espec´ıfica, do dilaton deslocado; ver fim do §6.2.2). Assim, a capacidade de implementar a transforma¸c˜ao de escalas na pre- sen¸ca de VC(φ) ´e um m´erito da DFE. Para deixar claro esse ponto, apresentamos
agora o seguinte exemplo: partindo de um sistema gravidilatˆonico com o dilaton livre, i.e. VC = 0, aplicamos a DFE e encontramos o potencial dual ˜VC( ˜φ). Como
veremos, ˜VC 6= 0, ou seja, a DFE cria um potencial dilatˆonico.
*
Cria¸c˜ao de potencial dilatˆonico
Considere a solu¸c˜ao do sistema gravidilatˆonico com VC = 0. De acordo com
a transforma¸c˜ao (8.57) isso signfica que o potencial V no quadro de Einstein tamb´em se anula. Para analisar a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes no quadro de Einstein, usamos um superpotencial dado pela restri¸c˜ao (8.46),
0 = V = (3/2)W2+ (a/4) d(W2)/da, cuja integra¸c˜ao ´e imediata: W2 = W2
∗ a−6. H´a duas solu¸c˜oes para o sistema de
primeira ordem (8.45) com esse superpotencial: uma em contra¸c˜ao, outra em expans˜ao. Ambas podem ser escritas como
a(η) = a∗ (|η|/η∗)1/2, σ(η) =
√
com η > 0 correspondendo `a expans˜ao, e η < 0 `a contra¸c˜ao. Da´ı se tem a(σ) = a∗ exp h 1 √ 12σ i e aC(φ) = a∗exp h 1 √ 24− 1 φ i . (8.59)
onde usamos (8.56) e (8.57). A f´ormula para a(σ) tamb´em pode ser obtida da Eq.(8.49).
O superpotencial dual se encontra da Eq.(8.47), ˜W2 = ˜W∗2˜a2. As solu¸c˜oes para o sistema de primeira ordem s˜ao
˜
a(˜η) = ˜a∗ (|˜η|/˜η∗)−1/2, ˜σ(˜η) =
√
3 log(|˜η|/˜η∗), (8.60)
mas agora ˜η < 0 corresponde a uma expans˜ao, e ˜η > 0 a uma contra¸c˜ao. Temos
˜
a(˜σ) = ˜a∗exp−12σ ,˜ e a˜C( ˜φ) = ˜a∗exp
h
−1 + √1 8
˜φi
. (8.61)
Note que para V = 0 a equa¸c˜ao de estado correspondente ´e w = 1, e o campo dual corresponde a ˜w = −5/3, ou seja, ˜σ ´e um campo fantasma. A transforma¸c˜ao entre os campos pode ser obtida de a(σ) = c/˜a(˜σ) ou da Eq.(8.55) com V = 0, e temos
σ =√3 ˜σ, logo φ =√3 ˜φ, (8.62)
o que leva `a tranforma¸c˜ao entre aC e ˜aC por compara¸c˜ao entre (8.61) e (8.59),
˜ aC/˜a∗ = (a∗/aC) √ 24+1 √ 24−1. (8.63)
Como esperado, n˜ao se trata de uma invers˜ao simples, mas como o expoente ´e maior que zero temos aC 1 mapeado em ˜aC 1, e vice-versa.
Por fim, podemos calcular o potencial ˜VC, “dual” ao potencial VC = 0. Usando
diretamente a Eq.(8.46) para o superpotencial ˜W2 = ˜W2
∗˜a2, ou usando a Eq.(8.48)
com V = 0, chegamos ao potencial exponencial ˜ VC( ˜φ) = 2(λs/κ)4η˜−2∗ exp h −( √ 8−1) √ 8 φ˜ i . (8.64)
8.5
Discuss˜ao
A dualidade apresentada neste cap´ıtulo ´e a base de todo o trabalho desenvol- vido nesta tese; por isso achamos por bem fazer aqui uma recapitula¸c˜ao de suas principais caracter´ısticas.
Historicamente, a express˜ao ‘dualidade do fator de escala’ se refere `a simetria presente na gravita¸c˜ao dilatˆonica descrita no §6.2. Apesar disso, por quest˜ao de praticidade, neste trabalho utilizamos a express˜ao e seu acrˆonimo ‘DFE’ para
denotar a nossa ‘dualidade do fator de escala no tempo conforme (na gravita¸c˜ao de Einstein)’.
A DFE ´e uma simetria on-shell da gravita¸c˜ao de Einstein em um universo de FLRW no tempo conforme. Preserva, portanto, a forma das equa¸c˜oes de Fri- edmann, e serve como um mapa no espa¸co das suas solu¸c˜oes. O mapa sempre relaciona universos acelerados e universos desacelerados; em particular, um uni- verso preenchido por radia¸c˜ao ´e dual ao universo preenchido por uma constante cosmol´ogica (positiva). Pode-se ligar: a) um universo em expans˜ao a outro em contra¸c˜ao, ou b) dois universos em expans˜ao (ou contra¸c˜ao). Para fluidos com parˆametro da equa¸c˜ao de estado w ∈ [−1, 1/3], a DFE preserva a condi¸c˜ao fraca de energia.
A dualidade atua como uma simetria de Weyl discreta, invertendo o fator conforme Ω ∼ a. Mapeia, assim, pequenas escalas f´ısicas em grandes escalas, e vice-versa. Em particular, mapeia um big-bang (uma singularidade tipo-espa¸co) sobre um infinito futuro I+ tipo-sepa¸co.
Para qualquer potencial V (σ) na gravita¸c˜ao de Einstein, pode-se passar ao quadro de cordas e encontrar o potencial dilatˆonico VC(φ) correspondente. As-
sim, a rela¸c˜ao de dualidade entre dois potenciais V (σ) e ˜V (˜σ) leva a uma rela¸c˜ao entre os respectivos potenciais dilatˆonicos; reciprocamente, dado um VC ´e sempre
poss´ıvel passar ao quadro de Einstein. Assim, a DFE fornece uma transforma¸c˜ao da gravita¸c˜ao dilatˆonica que inclui potenciais VC n˜ao-triviais. A forma da trans-
forma¸c˜ao do fator de escala aC no quadro de cordas s´o pode ser identificada a
cada caso, e n˜ao ´e uma invers˜ao simples mas, em geral, fornece uma rela¸c˜ao do tipo {aC 1} 7→ {˜aC 1}, etc.
Cap´ıtulo 9
Fluidos Autoduais
O objetivo deste cap´ıtulo ´e implementar a dualidade do fator de escala equanto simetria de um ´unico universo. Isto ´e: o mapa (M , g) 7→ ( ˜M , ˜g) definido pelas Eqs.(8.15) deve ligar n˜ao dois universos distintos cujos fluidos apresentam cada um sua pr´opria equa¸c˜ao de estado, relacionadas pela Eq.(8.16); mas sim ´unico universo que deve apresentar, portanto, uma equa¸c˜ao de estado invariante sob a transforma¸c˜ao (8.16). As condi¸c˜oes para que se tenha
(M , g) 7→ ( ˜M , ˜g) = (M , g) em um universo de FLRW,
˜
a(η) = a(˜η), ρ(˜˜a) = ρ(˜a), P (˜˜ a) = P (˜a), (9.0) quando aplicadas `as Eqs.(8.15) da DFE, levam a
a(η) = c2/a(2ηc− η); (9.1a)
ρ(Ωa) = Ω−2ρ(a), w(ρ) + w(Ω−2ρ) = −23, (9.1b)
onde Ω ≡ c2/a2. (9.1c)
Um modelo cosmol´ogico sim´etrico sob as transforma¸c˜oes (9.1) ser´a dito autodual. Algumas observa¸c˜oes gerais sobre a implementa¸c˜ao da autodualidade:
1. A autodualidade ´e uma simetria discreta sob o grupo c´ıclico de ordem 2, Z2.
A opera¸c˜ao (9), repetida uma vez, leva ao elemento (modelo cosmol´ogico) original, uma vez que ˜a = a, etc. Sobre isso, ver o §˜ 9.6 abaixo.
2. Por se tratar de um ´unico universo, as derivadas da/dη e d˜a/d˜η devem ter o mesmo sinal (ou seja, ou o universo se expande ou se contrai); logo a transforma¸c˜ao do tempo conforme ´e necessariamente uma reflex˜ao (8.28), ˜
η = −η + 2ηc, com ηc uma constante que corresponde ao valor cr´ıtico em
que ˜a(ηc) = a(ηc), i.e. ao ponto fixo da transforma¸c˜ao de invers˜ao do fator
3. Uma vez que a DFE mapeia acelera¸c˜oes com sinais opostos, um universo autodual deve possuir uma fase acelerada e outra desacelerada; as fases ser˜ao mapeadas uma na outra e portanto o ponto fixo da transforma¸c˜ao deve corresponder ao ponto de transi¸c˜ao em que a acelera¸c˜ao se anula: d2a(ηc)/dt2 = 0. (Note que a derivada ´e com respeito ao tempo c´osmico,
que ´e o que mede a acelera¸c˜ao da expans˜ao; cf. Eq.(2.34) e discuss˜ao cor- respondente.) Como (9.1) apresenta apenas um ponto fixo, correspondente a η = ηc, n˜ao se pode ter, por exemplo, quatro (ou mais) fases de acelera¸c˜ao
em um universo autodual.
4. Se um universo em expans˜ao come¸ca com a fase desacelerada e termina com a fase acelerada, ent˜ao ele possui um horizonte de part´ıculas e um horizonte de eventos, cf. §8.2.2. Usando a simeria de transla¸c˜ao de η podemos colocar a singularidade na origem, a(η = 0) = 0, e a´ı teremos a(ηf) = ∞ para
um ηf = rP + rF, dado pela Eq.(8.30), que mede a dura¸c˜ao conforme do
universo. Por constru¸c˜ao, o diagrama conforme de um universo autodual deve ser sim´etrico sob as transforma¸c˜oes descritas no §8.2.2 e, assim, segue que
ηc= 12ηf.
Isso tamb´em pode ser verificado diretamente da Eq.(9.1a): se a(0) = 0 ent˜ao a(2ηc) = c2/0 = ∞.
5. A DFE sempre mapeia altas escalas em pequenas escalas, e vice-versa. No caso da autodualidade, como se trata de um ´unico espa¸co-tempo, isso equi- vale a uma simetria entre o in´ıcio e o final do universo. Isto ´e, o universo pr´oximo ao big-bang, com a c ´e equivalente, sob a DFE, ao universo “velho”, com a c.
*
O restante deste cap´ıtulo ser´a destinado a construir e analisar composi¸c˜oes de fluidos que satisfa¸cam as condi¸c˜oes (9.1b) e d˜ao origem a universos autoduais. No entanto, ´e poss´ıvel construir um universo autodual simplesmente “colando” dois universos duais no ponto fixo da transforma¸c˜ao. Considere, por exemplo, o par Poeira/Paredes de Dom´ınio (8.21). A solu¸c˜ao (B.10) d´a
a(η) = A η2 para w = 0, e ˜a(˜η) = ˜A (−˜η)−2 para w = −2/3,˜ (9.2) com A e ˜A constantes arbitr´arias. Para construir um universo autodual, impomos que a(ηc) = ˜a(ηc), logo as constantes devem ser escolhidas tais que η4cA = ˜A. O
fator de escala autodual fica dado por
a(η) = ( A η2 se 0 ≤ η ≤ η c Aη4 c/(2ηc− η)2 se ηc≤ η ≤ 2ηc, (9.3)
representada na Fig.9.1. ´E imediato verificar que (9.3) satisfaz as condi¸c˜oes (9.1). Trata-se de uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Friedmann com uma descontinuidade da mat´eria em η = ηc. Neste ponto, em que a(ηc) = ˜a(ηc) = c, n˜ao s´o a fun¸c˜ao
´
e cont´ınua, mas sua primeira derivada tamb´em o ´e, como se vˆe da Eq.(8.4) (com o sinal invertido por causa da composi¸c˜ao com a reflex˜ao temporal).1 A segunda derivada, todavia, ´e descont´ınua por causa da mudan¸ca no sinal da acelera¸c˜ao.
Ηc
Η
c a
Figura 9.1: Solu¸c˜ao autodual por colagem. A linha tracejada representa a solu¸c˜ao com w = 0, a ∼ η2; a linha pontilhada a solu¸c˜ao dual com ˜w = −2/3, ˜a ∼
1/(2ηc− η)2. A linha ponto-tracejada ´e a solu¸c˜ao autodual cont´ınua (9.3).
9.1
Composi¸c˜oes de fluidos duais com w cons-
tante
O m´etodo mais simples de se obter um universo autodual sem recorrer `a colagem de duas solu¸c˜oes exemplificado na Fig.9.1´e a composi¸c˜ao de pares de fluidos duais n˜ao interagentes, com os parˆametros ajustados de maneira apropriada.
*
Um par de fluidos
Os fluidos autoduais mais simples s˜ao obtidos pela composi¸c˜ao (2.45) para um par de fluidos duais, i.e.
ρ = ρw a3(1+w) + ρw˜ a3(1+ ˜w) com w = −w −˜ 2 3. (9.4)
1Repare que a Eq.(8.4) vale para qualquer dualidade do fator de escala na gravita¸c˜ao de Einstein, e portanto este m´etodo de construir modelos autoduais por colagem de duas solu¸c˜oes duais no ponto fixo sempre gera uma fun¸c˜ao cont´ınua e com primeira derivada cont´ınua, mesmo na a dualidade no tempo c´osmico descrita no §8.1.
A condi¸c˜ao (9.1b), que se lˆe ρw a3(1+w) + ρw˜ a3(1+ ˜w) = c4 a4 ρw ˜ a3(1+w) + ρw˜ ˜ a3(1+ ˜w) = c 4 a4 ρwc−3(1+w) a−3(1+w) + ρw˜c−3(1+ ˜w) a−3(1+ ˜w) ,
imp˜oe restri¸c˜oes sobre os parˆametros, e ao final a densidade autodual ´e dada por
ρ = ρwa−3(1+w)+ ρw˜a3w−1 (9.5a)
com ρw/ρw˜ = c2(1+3w). (9.5b)
A autodualidade ´e evidente: sob a DFE o primeiro termo se mapeia no segundo, e com a restri¸c˜ao sobre as densidades relativas a express˜ao fica invariante.
*
Dois pares de fluidos e modelo ΛCDM
O m´etodo acima ´e facilmente generalizado: pode-se simplesmente combinar dois ou mais pares de fluidos duais, por exemplo
ρ = ρΛ+ ρR a4 + ρM a3 + ρP D a + ρC a2, (9.6)
que fornece o modelo ΛCDM acrescido de radia¸c˜ao, curvatura e um g´as de paredes de dom´ınio. O termo de curvatura pode ser ignorado fazendo-se ρC = 0, uma vez
que ele ´e seu pr´oprio dual. Mas o termo ex´otico ρP D/a correspondente `as paredes
de dom´ınio ´e o dual do termo de poeira ρM/a3e, se for suprimido, a rela¸c˜ao (9.5b)
cancela automaticamente toda a poeira. Mais precisamente, a Eq.(9.5b) fixa as densidades relativas dos pares duais como
ρR/ρΛ= (ρM/ρP D)2 = c4. (9.7)
(Logo ρP D = 0 implica ρM = c2ρP D = 0.)
Vale notar que n˜ao s´o n˜ao h´a evidˆencias de existˆencia de um g´as de paredes de dom´ınio no universo atual, como tamb´em a raz˜ao entre as densidades relativas de radia¸c˜ao e da constante cosmol´ogica deve ser muito pequena, da ordem de ρR/ρΛ∼ 10−4/(0.7) ∼ 10−4.