Diagonaliza¸c˜ ao de matrizes sim´ etricas

Recordamos que Q ∈ Mn×n(R) diz-se ortogonal se QTQ = I.

Observa¸cão 6.37 i) Se Q é uma matriz ortogonal, então Q é invert´ıvel, Q−1 = QT_,

det(Q) = ±1 e a transposta QT tamb´em ´e ortogonal.

ii) Seja {v1, v2, · · · , vn} uma base ortonormada de Rn. Seja ainda Q a matriz cuja coluna i

e o vector vi (com i = 1, 2, · · · , n). Ent˜ao Q ´e ortogonal.

Teorema 6.38 Seja A ∈ Mn×n(R).

i) Ent˜ao temos hAu, vi = hu, AT_{vi para quaisquer u, v ∈ R}n,

ii) Se A fôr simétrica, então vectores próprios associados a valores próprios diferentes são ortogonais (e portanto linearmente independentes).

iii) Os valores próprios de uma matriz simétrica são todos reais.

Observa¸cão 6.39 Seja A = [aij] ∈ Mn×n(C). A matriz A∗ cuja entrada (i, j) é aji é

habitualmente designada pela matriz transconjudada de A – e de facto A∗ = AT. Diz-se que A é normal (respectivamente, hermitiana, unitária) se AA∗ = A∗A (respectivamente, A = A∗, A−1 = A∗). Claro est´_{a que se A tiver entradas em R, então a matriz diz-se normal,} simétrica, ortogonal, respectivamente.

Seja K os números reais R ou os complexos C. Então podemos usar a defini¸cão da matriz A∗ e concluir que

hAu, vi = hu, A∗

vi para quaisquer u, v ∈ Kn_.

Valem as seguintes propriedades, fáceis de estabelecer, relativas à matriz A: 1. λ ∈ C valor próprio de A, então λ valor próprio de A∗.

2. A normal se e s´o se hAu, Avi = hA∗u, A∗vi para quaisquer u, v.

3. A hermitiana se e só se hAu, vi = hu, Avi para quaisquer u, v. 4. A unitária se e só se hAu, Avi = hu, vi para quaisquer u, v. 5. A hermitiana, então os valores próprios de A são todos reais.

6. A unitária então os valores próprios de A têm modulo 1, isto é |λ| = 1 para qualquer valor próprio de A.

Se A fôr hermitiana ou unitária então A é normal.

Mais geralmente, se E for um espa¸co euclidiano de dimens˜_{ao finita sobre R ou sobre C, e} dada uma transforma¸c˜ao linear T : E → E, ent˜ao podemos definir um operador T∗ : E → E tal que para quaisquer u, v ∈ E:

hT (u), vi = hu, T∗(v)i.

Fixada ma base ortonormada em E, seja ela v1, ..., vn, é fácil ver que essa transforma¸cão

T∗ ´e dada necessariamente por

T∗(u) =

i=1

Tudo o que foi dito para matrizes acima poder´a ser provado para transforma¸c˜oes usando T∗.

Al´_{em disso, note-se que se E = R}n _{ou E = C}n _ent˜_{ao dada uma matriz A, temos a}

transforma¸c˜ao linear T definida por T (u) = Au que est´a associada.

Teorema 6.40 Seja T : E → E uma transforma cão linear num espa¸co euclidiano E de dimens˜_{ao finita com coeficientes em K onde K = R ou K = C. Então as seguintes afirma¸cões} são equivalentes:

1. Existe uma base ortonormada de E constitu´ıda por vectores pr´oprios de A. 2. T ´e normal e os seus valores pr´_{oprios pertencem a K.}

Dem.: Prova de 1) ⇒ 2). Suponhamos que existe uma base de E formada por vectores pr´oprios de E, relativa a T —- seja v1, ..., vn essa base. Temos ent˜ao T (vi) = λi vi com

λi ∈ K. A matriz de T nessa base (ordenada) ´e portanto a matriz diagonal

D =    λ1 · · · 0 .. . . .. ... 0 · · · λn   

pelo que o polin´omio caracter´ıstico de T ´e

p(λ) = det(D − λI) = (−1)n(λ − λ1)(λ − λ2) · · · (λ − λn).

Sendo então {λ1, .., λn} os valores próprios de T , que estão em K. Admitindo agora que essa

base v1, ..., vn ´e ortonormada, temos que para u = ξ1v1 + ... + ξnvn e v = η1v1+ ... + ηnvn

(com os coeficientes em K): hT (u), T (v)i = hξ₁T (v1) + ... + ξnT (vn), η1T (v1) + ... + ηnT (vn)i = = hξ₁λ1v1+ ...ξnλnvn, η1λ1v1+ ...ηnλnvni = n X i,j=1 ξ_iλiλ¯j¯ηjhvi, vji = n X i=1 ξ_iλi¯λi¯ηi.

Por outro lado, usando a equa¸c˜ao (5) temos: hT∗(u), T∗(v)i = n X i=1 hu, T (vi)i vi, n X j=1 hv, T (vj)i vj = n X i,j=1

hu, T (vi)ihv, T (vj)ihvi, vji = n X i=1 hu, T (vi)ihv, T (vi)i = n X i=1 hu, λiviihv, λivii = n X i=1 λiλihu, viihv, vii = n X i=1 λiλihξ1v1+ ... + ξnvn, viihη1v1+ ... + ηnvn, vii = n X i=1 λiλiξiηi.

Ou seja hT (u), T (v)i = hu, vi e portanto T ´e normal.

Prova de 2) ⇒ 1). Suponhamos agora que a transforma¸cão linear T é normal e que todos os seus valores pr´_{oprios pertencem a K. Vamos mostrar, utilizando o método de indu¸cão,} que existe uma base própria de E, relativa a T que é ortonormada.

Se dim(E) = 1, não há nada a provar. Suponhamos que o enunciado é válido para dim(E) = n − 1 6= 0 e vamos provar que o resultado também é válido para dim(E) = n. Seja λ1 ∈ K um valor próprio de T e seja v1 6= 0 tal que T (v1) = λ1v1 e ponha-se w1 = _||vv1

1||; pelo que ||w1|| = 1. Seja F = L({v1})⊥ o complemento ortogonal do espa¸co gerado pelo vector

v1 em E; portanto dim(F ) = n − 1. Provamos que T (F ) ⊆ F (para tal basta verificar que

hT (v), v1i = 0 para todo v ∈ F ). Pelo que a restri¸cão T |F é uma transforma¸cão linear de F

para F . Ora essa restri¸c˜ao T |F continua a a ser uma transforma¸c˜ao linear normal, pelo que

pela hip´otese de indu¸c˜ao, existe uma base ortonormada w2, ..., wnde F formada por vectores

próprios de T |F. É claro que então w1, w2, ..., wn é uma base ortonormada de E de vectores

pr´oprios de T .

O seguinte resultado é uma fácil consequência do teorema 6.40.

Teorema 6.41 Seja A ∈ Mn×n(R) sim´etrica A = AT, ent˜ao existe uma matriz ortogonal

Q e uma matriz diagonal D tal que D = QAQT_.

Observa¸cão 6.42 (a) Se A ∈ Mn×n(R) é simétrica, então existe uma base ortonormal de

Rn constitu´ıda por vectores pr´oprios de A.

(b) Se uma matriz real A é ortogonalmente diagonalizável, então A é simétrica, dado que se D = QAQT com Q matriz ortogonal e D diagonal, então A = QTDQ. Daqui concluÌmos que A é simétrica!

Procedimento para diagonalizar uma matriz A ∈ Mn×n(R) sim´etrica

1. Encontre uma base para cada espa¸co pr´oprio de A.

2. Aplique o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Grame-Schmidt a cada uma das base (de espa¸cos pr´_{oprios) para produzir uma base ortogonal de R}n _constitu´_{da por vetores}

pr´oprios de A. Normalize esta base, construindo assim uma base {v1, ..., vn} ordenada

e ortonormal de Rn _{constitu´ıda por vetores pr´}_oprios.

3. Seja QT _{a matriz cujas colunas s˜}_{ao formadas pelos vectores {v}

1, ..., vn} colocados em

coluna e D a matriz diagonal cuja entrada (i, i) é o valor próprio de A associado ao vector próprio vi, com i ∈ {1, ..., n}.

4. A teoria garante que D = QAQT.

Exemplo 6.43 Seja A =   4 2 2 2 4 2 2 2 4 

. Com A ´e sim´etrica sabemos que existe uma matriz ortogonal Q e uma matriz diagonal D tais que D = QAQT_{. Vamos ent˜}_{ao construir Q}T_{, D}

e naturalmente Q = (QT)T.

1) o polin´omio caracter´ıstico de A ´e

p(λ) = det(A − λI) = det   4 − λ 2 2 2 4 − λ 2 2 2 4 − λ  = ... = (λ − 2)2(λ − 8),

pelo que os valores próprios de A são λ = 2 (raiz dupla) e λ = 8 (raiz simples). O espa¸co próprio associado a λ = 2 é E2 = N (A − 2I) cujos vectores u1 = (−1, 1, 0), u2 = (−1, 0, 1)

forma uma base de E2. O espa¸co pr´oprio associado a λ = 8 ´e E8 = N (A − 8I) e o vector

u3 = (1, 1, 1).

2) Aplicando o processo de Gram-Schmidt `as bases {u1, u2} e {u3} e depois normalizando,

obt`_{Em-se os seguinte abase de R}3_:

v1 = − 1 √ 2, 1 √ 2, 0, v2 = − 1 √ 6, − 1 √ 6, 2 √ 6, v3 = 1 √ 3, 1 √ 3, 1 √ 3. 3) Ent˜ao temos D =   2 0 0 0 2 0 0 0 8  , QT =    −_√1 2 − 1 √ 6 1 √ 3 1 √ 2 − 1 √ 6 1 √ 3 0 √2 6 1 √ 3  

 e podemos verificar que

D = QAQT_.

Observa¸c˜ao 6.44 No caso geral, se A ∈ Mn×n(C), ent˜ao podemos construir uma matriz

diagonal D e uma matriz unit´aria U tais que D = U AU∗.

Produto Externo e Misto

Sejam u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3) vectores de R3 e {e1, e2, e3} a base can´onica de R3. O

produto externo entre u e v ´_{e um vector de R}3_{, que designamos por u × v e ´}_{e definido}

como: u × v = det   e1 e2 e3 a1 a2 a3 b1 b2 b3  = det a2 a3 b2 b3 e1− det a1 a3 b1 b3 e2+ det a1 a2 b1 b2 e3 = (a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1).

Produto misto ´e hu, v × wi = det   u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3  . Teorema 6.45 a) u × v = −v × u e u × u = 0,

b) Se u, v são ortogonais e não nulos , então {u, v, u × v} ´_{e uma base ortogonal de R}3_,

c) u× ´e ortogonal a u e a v,

d) ||u × v|| = ||u|| ||v|| sin(θ) onde θ é o ângulo entre u e v, e) ||u × v|| é a área do paralelogramo definido por u e v,

f) O valor absoluto |hu, v × wi| de hu, v × wi ´e o volume do paralelip´ıpedo formado pelos vectores u, v e w.

g) hu, u × vi = hu, v × ui = 0, hu, v × wi = hu × v, wi.

h) V = |hu, v × wi| ´e o volume do paralelip´ıpedo formado pelos vectores u, v e w. Note que

V = ||u × v||

| {z } ´

area da face determinada por u e v

||w|| |cos(θ)|

| {z }

altura

6.4 Exerc´ıcios

E 6.1 Identifique as aplica¸c˜_{oes h, i : R}n_{× R}n_{→ R que definem um produto interno,} Em R2_: (a) h(x1, x2), (y1, y2)i = x1y1+ x2y2. (b) h(x1, x2), (y1, y2)i = x1y1+ x1y2+ x2y2. (c) h(x1, x2), (y1, y2)i = −2x1y1+ 3x2y2. (d) h(x1, x2), (y1, y2)i = x1x2y1+ x2y2. (e) h(x1, x2), (y1, y2)i = x2y1y2+ x1y2. Em R3: (f) h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x1y1+ x2y2+ x3y3. (g) h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x1y1+ 2x1y2 + x2y2+ 3x1y3+ x2y3+ x3y3. (h) h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x3x1y2+ x1y2.

E 6.2 Determine um produto interno de R2 _{tal que h(1, 0), (0, 1)i = 2. Ser´}_{a ´}_unico?

E 6.3 Usando o produto interno usual e os vectores u = (1, 1, 2, 2) e v = (−2, −2, −1, −1), calcule:

(a) ||u||, (b) ||v||, (c) ||u|| − ||v||, (d) ||u − v||, (e) ||_||u||u ||, (f) projvu, (g) projuv, (h)

](u, v).

Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt

E 6.4 Usando o produto interno usual, verifique quais dos seguintes conjuntos constituem uma base ortogonal de R3.

(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, (b) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0, −1, −1)}, (c) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1), (0, 1, −1)},

(d) {(1, 1, 1), (−2, 1, 1)} (f) {(0, 0, 0), (1, 1, 1), (−2, 1, 1)}.

E 6.5 Determine uma base ortogonal para cada espa¸co linear E que se segue.

(a) E = R2 _{(b) E = {(x, y) : x + y = 0}} _{(c) E = L({(1, −1, 1), (−2, 2, 2), (1, 1, 1)})}

(d) E = {(x, y, z) ∈ R3 _{: x+y = 0}} _{(e) E = L({(1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1)}.}

(f) E = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y + z + w = 0, z − 2w = 0}. E 6.6 Considere o produto interno em R2 _{definido como se segue:}

h(x1, x2), (y1, y2)i = x1 x2 2 0 0 3 y1 y2 .

(a) Verifique se os vectores u1 = (1, 1) e u2 = (1, −1) s˜ao ortogonais para este produto

interno.

(b) Use o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt para encontar uma base ortogonal de R2 usando os vectores u1 e u2 de (a).

Complementos e projeçcões ortogonais; equa¸cões cartesianas de

planos e rectas

E 6.7 Considere R3 _{munido com o produto interno usual e F = L({u}

1}) onde u1 = (1, 1, 1).

(b) Determine uma base para o complemento ortogonal F⊥ de F .

E 6.8 Seja F = {(x, y, z, w) ∈ R4 _{: x + y + z + w = 0, z − 2w = 0}.}

(a) Determine uma base para o complemento ortogonal de F .

(b) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de F .

E 6.9 Considere R4 _{munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z, w) ∈ R}4 _{: x−y = 0}.}

(a) Calcule uma base ortogonal para F⊥.

(b) Determine a projec¸c˜ao ortogonal de p = (1, 1, 1, 1) sobre F e sobre F⊥. (c) Calcule d(p, F ) e d(p, F⊥).

E 6.10 Seja F = {(x1, x2, ..., x100) ∈ R100 : x1+ x2+ ... + x100 = 0}.

(a) Calcule dim(F ) e dim(F⊥).

(b) Seja p = (1, 2, 3, ..., 99, 100) ∈ R100. Calcule a diatˆancia entre p e F⊥. E 6.11 Seja W o plano de R3 definido pela equa¸c˜ao x − 2y + z = 0.

(a) Determine a(s) equa¸c˜oes (cartesianas) da recta perpendicular a W que passa pelo ponto p = (1, 0, 0).

(b) Determine a equa¸c˜ao cartesiana do plano paralelo a W que passa no ponto p = (1, 0, 0). E 6.12 Considere a recta (1, 1, 1) + L({(1, 2, 3)}). Encontre equa¸c˜oes cartesianas desta recta. E 6.13 Seja P o plano tal que (−1, 0, 4), (1, −4, −2), (1, 0, 6) ∈ P.

(a) Determine a equa¸cão cartesiana de P. (b) Determine as equa¸cões paramétrica de P. (c) Determine as equa¸cão vectorial de P.

(d) Determine a equa¸c˜ao cartesiana do plano paralelo a P e que passa em (1, 1, 1).

E 6.14 Seja p + F um k-plano em Rn_{. Prove que p + F ´}_{e um subespa¸co linear de R}n _{se e s´}_o

se p ∈ F .

E 6.15 Considere em R4 _{o produto interno usual.}

(a) Determine uma base para o complemento ortogonal E⊥de E = L({(1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}). E uma base ortogonal para E⊥.

(b) Determine uma base para o complemento ortogonal de N ( 1 1 1 1 ). (c) Calcule o ˆangulo entre v = (1, 1, 1, 1) e w = (1, 0, 0, 0).

E 6.16 Determine uma base para o complemento ortogonal de N (   0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 2  ).

E 6.17 Considere a estrutura de espa¸co euclidiano em P2 induzida pelo produto interno

hp, qi = Z 1

−1

p(t)q(t) d(t).

(a) Determine uma base ortogonal de P3 usando o processo de Gram-Schmidt aplicado `a

base can´onica.

(b) Calcule uma base para U⊥, onde U = {p ∈ P2 : p(1) = 0}.

E 6.18 No espa¸co linear E = M2×2(R) considere o produto interno hA, Bi = tr(ABt_), e o subespa¸co linear F = { x y z w ∈ M2×2(R) : x + w = 0, y − z = 0}.

(a) Encontre uma base para F . (b) Encontre uma base para F⊥. (c) Calcule d(A, F ) onde A = 0 1

1 0

E 6.19 Considere o espa¸co linear R3 _{munido com o produto interno}

h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = 2x1y1+ x1y3+ 2x2y2+ x3y1+ 2x3y3

e V = L({(1, 1, 0), (1, 0, −2)}) o subespa¸co linear de R3gerado pelos vectores (1, 1, 0), (1, 0, −2). (a) Determine u ∈ V e v ∈ V⊥ tais que (1, 1, 1) = u + v.

(b) Calcule a distˆancia entre (1, 1, 1) e V .

E 6.20 Considere o espa¸co linear R3_{munido com o produto interno usual e V = L({(1, 1, 0), (1, 0, −2)}).}

(a) Determine u ∈ V e v ∈ V⊥ tais que (1, 1, 1) = u + v. (b) Calcule a distˆancia entre (1, 1, 1) e V .

E 6.21 Sejam u = (4, 3, 7), v = (2, 5, −3) ∈ R3. Determine os produtos externos u × v, v × u, u × u e v × v.

E 6.22 Calcule a área do triângulo de vértices u, v, w, com u = (0, 1, 1), v = (2, 0, −1) e w = (3, 4, 0).

E 6.23 Prove que ||u × v||2 _{= hu, uihv, vi − hu, vi}2_.

E 6.24 Dado v ∈ R3_{, seja T : R}3 _{→ R}3 _{definida por T (u) = u × v. Ser´}_{a T uma transforma¸c˜}_ao

linear? Nesse caso, determine a representa¸cão matricial de T na base canónica. Diagonaliza¸cão ortogonal

E 6.25 Para cada aplica¸c˜_{ao h, i : R}n _{× R}n _{→ R definido no Problema 6.1, determine uma}

matriz A tal que hu, vi = uAvT.

(a) Em que casos é esta matriz A é simétrica e tem todos os valores próprios estritamento positivos? Compare esta resposta com a solu¸cão do Problema 6.1.

E 6.26 Das seguintes matrizes indique as que s˜ao as matrizes hermiteanas: 1 2 2 3 , 1 2 −2 3 , 1 i −i 3 , i i −i 3 , onde i =√−1. E 6.27 Seja A ∈ Mn×n(R).

(a) Usando o produto interno usual, prove que hAu, vi = hu, AT_{vi para quaisquer u, v ∈ R}n_,

(u e v escritos como vectores verticais).

E 6.28 Seja T : Cn→ Cn_{transforma¸c˜}

ao linear do espa¸co euclidiano Cn e T∗ a transforma¸c˜ao definida usando a equa¸c˜ao hT (u), vi = hu, T∗(v)i, _{u, v ∈ C}n_.

(a) Calcule T∗(vi), onde vi = (0, ..., 0, 1, 0..., 0) ´e o vector i da base can´onica de Cn.

(b) Fixando uma base B de Rn, será que M (T∗; B; B) = A∗ onde A = M (T ; B; B)? (c) Se λ for valor próprio de T , então λ é valor próprio de T∗?

E 6.29 Seja A ∈ Mn×n(C) e A∗ a matriz transconjudada de A cuja entrada (i, j) ´e ¯aji o

complexo conjugado da entrada (j,i) de A.

(a) Usando o produto interno usual de Cn_{, prove que hAu, vi = hu, A}∗_{vi para quaisquer}

u, v ∈ Cn.

(b) Se A fˆor uma matriz unit´aria, ent˜_{ao prove que ||Au|| = ||u||, para qualquer u ∈ C}n_.

E 6.30 Considere as seguintes matrizes reais

A =   0 0 0 0 0 1 10 −4 4  , B =   1 0 1 2 0 2 3 0 3  , C =   1 1 1 1 1 1 1 1 1  .

a) Indique as matrizes normais (isto ´e verifique se AAT _{= A}T_{A, etc.) e as matrizes sim´}_etricas.

b) Identifique as matrizes X ∈ {A, B, C} diagonaliz´aveis, construindo para cada X uma matriz P−1 tal que D = P XP−1 (onde D ´e uma matriz diagonal).

c) Identifique as matrizes diagonalizáveis através de um sistema de coordenadas ortonormais, e para cada matriz X nessa situa¸cão, construa uma matriz ortogonal Q tal que D = QXQT.

E 6.31 Seja T : R2 _{→ R}2 _{uma transforma¸c˜}_{ao linear tal que qualquer vector (n˜}_{ao nulo) ´}_e

vector pr´oprio de T . Prove que existe um escalar λ tal que T = λI.

E 6.32 Seja P : Rn _{→ R}n _{a projec¸c˜}_{ao ortogonal sobre um subespa¸co V de R}n _{de dimens˜}_ao

k. Determine o polinómio caracter´ıstico de P e prove que P é diagonalizável.

E 6.33 Considere o espa¸co euclidiano Rn_{. Seja T : R}n _{→ R uma transforma¸c˜ao linear.}

Mostre que existe um e um s´o u0 tal que T (u) = hu, u0i, para todo o u ∈ Rn.

E 6.34 (Desafio) Ser´a que existe uma matriz A = [aij] sim´etrica 10 × 10 tal que

σA= {3d + 1, 10 − 3d, 1, 1, −1, −1, −1, −1, −1, −1}, com d = 3+ √

2 e aij ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}???

7 Algumas Aplica¸c˜oes

7.1 Formas quadr´aticas

Formas quadr´aticas ´e uma fun¸c˜_{ao Q : R}n_{→ R que pode ser escrita na forma}

Q(u) =

i,j=1

aijxixj, com u = (x1, ..., xn), aij ∈ R. (6)

Classifica¸cão das formas quadráticas Seja Q forma quadrática; Q é • definida positiva se Q(u) > 0, ∀u ∈ Rn_{, u6= 0,}

• definida negativa se Q(u) < 0, ∀u ∈ Rn_{, u6= 0,}

• semidefinida positiva se Q(u) ≥ 0, ∀u ∈ Rn_,

• semidefinida negativa se Q(u) ≤ 0, ∀u ∈ Rn_,

• indefinida se existem u e v tais que Q(u) > 0 e Q(v) < 0.

A equa¸c˜ao (6) pode ser escrita na forma Q(u) = uAuT_{, com A = [a}

ij]; mas podemos

tamb´em escrever Q(u) = u A+A₂ T uT com a vantagem de A+A₂ T ser uma matriz sim´etrica.

Exemplo: Q : R2 _{→ R tal que Q(x}

1, x2) = a11x21 + a12x1x2+ a21x2x1+ a22x22. Temos Q(x1, x2) = x1 x2 a11 a12 a21 a22 x1 x2 = x1 x2 a11 a12+a₂ 21 a12+a21 2 a22 x1 x2 . Teorema 7.1 Seja Q(u) = uAuT _{forma quadr´}_{atica com A sim´}_{etrica. Ent˜}_ao:

• Q definida positiva se e só se todos os valores próprios de A forem positivos. • Q definida negativa se e só se todos os valores próprios de A forem negativos.

• Q semidefinida positiva se e só se todos os valores pr´prios de A forem não negativos. • Q semidefinida negativa se e só se todos os valores pr´prios de A forem não positivos. • Q indefinida se e só se A tiver pelo menos um valor próprio positivo e outro negativo. Supondo que A é uma matriz real e simétrica, então Q(u) = uAuT _´_{e uma forma quadr´}_atica

definida positiva se e s´o hu, vi = uAvT _{define um produto interno em R}n_.

Exemplo: Seja Q(x1, x2) = 2x21+ 4x1x2+ 2x22. Ent˜ao A =

2 2 2 2

, cujos valores próprios são λ1 = 0 e λ2 = 4. Assim, Q é uma forma quadrática semidefinida positiva.

No documento Álgebra Linear (páginas 88-96)