Difusão em corpos esferoidais

No estudo de processos de secagem de sólidos com forma arbitrária, algumas discrepâncias são encontradas em virtude dos modelos matemáticos não representarem fielmente a geometria do corpo. Desta forma, é de fundamental importância considerar o fator forma do sólido no desenvolvimento dos modelos. Neste caso, espera-se que os desvios entre os resultados teóricos e experimentais sejam minimizados. As simplificações geométricas também facilitam a solução numérica da equação de difusão. Entretanto, este procedimento,

73 embora normalmente apresente bons resultados, às vezes não descreve de forma satisfatória os processos envolvidos, caso a forma geométrica do objeto em estudo seja significativamente diferente da considerada (CARMO, 2004; CIHAN et al., 2008; SANTOS et al., 2010; FARIAS, 2011).

Um elipsoide prolato (Figura 2.7a) é um sólido de revolução obtido a partir da rotação de uma elipse em torno do seu eixo maior, já o elipsoide oblato (Figura 2.7b) é obtido a partir da rotação da elipse em torno do seu eixo menor. Por exemplo, a banana, casulo do bicho-de-seda, grão de arroz e trigo são corpos com forma geométrica semelhante ao elipsoide prolato. Já a lentilha e acerola são exemplos de produtos que apresentam formas semelhantes a um elipsoide oblato.

Figura 2.7. Elipsoide: (a) prolato; (b) oblato

Haji-Sheikh e Sparrow (1966) descreveram uma solução analítica para o problema de difusão de calor em esferoide prolato considerando-se temperatura constante na superfície. Resultados das temperaturas no centro e no ponto focal são apresentados para vários esferoides. Haji-Sheikh (1986), utilizando o método integral baseado em Galerkin, apresenta uma solução para a equação de difusão. A região de interesse pode constituir-se de sub-regiões com propriedades termofísicas variável espacialmente em uma fronteira externa irregular. Em particular, o método foi aplicado para obter solução da equação de difusão para uma geometria do tipo esferoidal e assumindo que a temperatura na superfície depende do tempo, mas independe das coordenadas espaciais.

Lima (1999) e Carmo (2004) consideraram na modelagem matemática o efeito do encolhimento durante o processo de difusão em sólidos esferoidais prolato e oblato, respectivamente. Ambos assumiram que o material se contrai linearmente com o teor de

74 umidade e utilizaram a seguinte equação para determinar o volume do corpo em qualquer instante t:

V(t) = V0(B1+ B2M̅ ) (2.29)

onde M̅ é o teor de umidade médio e B1, B2 são parâmetros a serem determinados.

Lima e Nebra (2000) consideraram o efeito do encolhimento na difusão de umidade durante o processo de secagem e aplicaram o método dos volumes finitos para resolver o problema de encolhimento e transporte de umidade simultâneos em corpos esferoidais prolatos. Equações adimensionais para difusão e encolhimento volumar e superficial foram dadas, e soluções numéricas, para o caso bidimensional, com vários coeficientes de encolhimento foram apresentadas. A análise dos resultados evidencia que a taxa de secagem é maior quando ocorre encolhimento, em comparação à obtida quando não se considera este efeito, e que esta mesma taxa cresce proporcionalmente ao aumento do coeficiente de encolhimento.

Oliveira e Lima (2002) apresentaram uma solução analítica para a equação de difusão em coordenadas esferoidais prolatas considerando propriedades de transporte contantes e condição de contorno convectiva. A solução é obtida pelo método de separação de variáveis e envolve equações transcendentais, funções de Bessel esférica e polinômios de Legendre de ordem alta. A solução foi utilizada para prever a distribuição de umidade num elipsoide prolato durante o processo de secagem. Os resultados analíticos são comparados com resultados numéricos da literatura e uma boa concordância foi obtida.

Lima, D. et al. (2004b) apresentaram uma solução analítica para prever o transporte de calor e massa em sólidos esferoidais, sem considerar o encolhimento do produto. A equação de difusão, escrita em coordenadas cilíndricas, foi resolvida via método integral baseado em Galerkin para uma condição de contorno de equilíbrio, considerando o coeficiente de difusão constante durante todo o processo. As distribuições de umidade e temperatura foram obtidas e analisadas. Verificou-se que os sólidos com maior razão de área/volume secam mais rápido e que o modelo matemático desenvolvido pode ser empregado para resolver problemas que envolvam processos de difusão, tais como secagem, umidificação, aquecimento e resfriamento, desde que a forma geométrica do corpo seja a de um disco circular, um cilindro infinito, uma esfera ou elipsoides.

Carmo e Lima (2005) estudaram de forma teórica a secagem de lentilha. O modelo considerado envolve a equação de difusão bidimensional escrita no sistema de coordenadas

75 esferoidal oblato considerando o efeito da variação de volume, condição de contorno convectiva na superfície e propriedades termofísicas variáveis. A equação foi discretizada utilizando o método dos volumes finitos e o sistema de equações lineares foi resolvido pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Para validar o modelo, os resultados numéricos do teor de umidade médio foram comparados com os dados de oito experimentos e uma boa concordância foi obtida. Os coeficientes de difusão para todos os experimentos foram determinados utilizando a técnica dos mínimos quadrados e verificou-se que eles aumentam fortemente com o aumento da temperatura. O modelo considerado é preciso e eficiente para simular muitos problemas de difusão, tais como: aquecimento, resfriamento, umidificação e secagem em sólidos esferoidais oblato incluindo esfera e disco circular como casos limites.

Hacihafizoğlu et al. (2008) simularam a secagem de arroz em casca baseando-se no modelo da difusão líquida aplicada à sólidos elipsoidais prolatos. A solução da equação de difusão foi ajustada aos dados experimentais e, ao compararem os resultados experimentais com os obtidos analiticamente para as formas esferoidais, esféricas e cilíndricas, concluíram que a geometria esferoidal prolata teve uma melhor concordância.

Carmo e Lima (2008) apresentaram solução numérica da equação de difusão para descrever transferência de massa no interior de esferoides oblatos, considerando-se coeficiente de difusão constante e condição de contorno convectiva. A equação de difusão, escrita no sistema de coordenadas esferoidais oblatas, foi considerada para o caso bidimensional. O método dos volumes finitos foi empregado para discretizar a equação básica. O conjunto de equações lineares foi resolvido de forma iterativa, utilizando-se o método de Gauss-Seidel. Conforme as aplicações, os efeitos do número de Fourier, do número de Biot e a razão de aspecto do corpo sobre a taxa de secagem e o teor de umidade durante o processo foram apresentados. Para validar a metodologia, os resultados foram comparados com resultados analíticos de teor de umidade encontrados na literatura e uma boa concordância foi obtida. O modelo pode ser usado em muitos problemas físicos de transferência de massa, tais como: difusão em disco circular, esferas e esferóides oblatos e também em casos que incluem coeficiente de difusão variável e outras condições de fronteira, com pequenas modificações do procedimento numérico.

Santos et al. (2010) apresentaram solução analítica da equação de difusão para o estudo teórico da secagem de sólidos com geometria arbitrária, onde utilizou-se o método integral baseado em Galerkin e considerou-se propriedades termofísicas constantes e condições de contorno convectiva (terceira espécie). Resultados da distribuição do teor de umidade no

76 interior de sólidos com geometria arbitrária e sua respectiva cinética de secagem são apresentados e analisados. Observou-se que, à medida que o número de Fourier aumenta, há uma queda nos níveis do teor de umidade e que, com o aumento do número de Biot, o processo de secagem é mais rápido.

Santos, J. (2013) apresentou uma solução analítica da equação de difusão transiente para descrever o transporte de calor e massa em sólidos com forma complexa, tendo como base a teoria de difusão líquida, usando o metódo integral baseado em Galerkin, e considerando condições de contorno convectiva e propriedades termofísicas constantes. Resultados do teor de umidade e da temperatura dos grãos de trigo durante a secagem foram apresentados e comparados com os dados da literatura e uma boa aproximação foi verificada. O autor concluiu que os resultados obtidos são consistentes e o modelo apresentado pode ser usado para estudar problemas de transferência de calor e massa simultâneos em produtos agrícolas com geometria semelhante ao esferoide prolato. Observou-se também que, no processo de secagem, a perda de massa é mais lenta que o aquecimento do sólido, uma vez que a difusividade térmica do material é bem superior a difusiviadade de massa.