Gerador 1 gera um programa sintacticamente correcto em C, com um determinado número
7. Dinâmica do processo segundo o modelo da complexidade
7.2. A dinâmica de um sistema complexo
Tal como apresentado no capítulo quatro, de uma maneira geral, o estudo dos sistemas complexos segue duas vias complementares, cada uma delas com objectivos distintos. A primeira está direccionada para a melhoria da capacidade de prever o comportamento dos sistemas complexos, enquanto a segunda está associada ao estudo da criação de estruturas. Foi esta segunda via, ou seja, a caracterização de estruturas, aquela que exploramos ao longo desta dissertação.
As abordagens dinâmica e estrutural da complexidade encontram-se relacionadas, na medida em que, as estruturas criadas pela interacção entre as partes dos sistemas complexos são tanto mais ricas quanto mais o sistema estiver próximo de uma transição para um estado de imprevisibilidade (ou de caoticidade) absoluta. [Vilela Mendes,R.99]. Assim sendo, quanto o estudo da complexidade recai sobre a componente dinâmica dos sistemas, é comum que tenhamos que nos debruçar sobre a noção de caos.
Felizmente este é um campo de estudo onde existem instrumentos matemáticos bem definidos, os quais permitem caracterizar a situação de caoticidade de forma clara e solidamente estabelecida. Tal como já apresentado no capítulo quatro, as grandezas matemáticas correspondentes são os expoentes de Lyapunov e a Entropia de Kolmogorov- Sinai. A propriedade fundamental exibida pelos sistemas caóticos é, como já se viu, a chamada dependência sensível das condições iniciais.
A equação logística
Para modelar matematicamente a dinâmica do processo de desenvolvimento de software, escolhemos a equação logística. A opção por esta equação deve-se a suas características de não-linearidade e à sua capacidade de representação de comportamentos bastante diversificados. A diversidade de comportamentos possíveis de representar com a equação logística depende apenas de modificações no valor de um único parâmetro (k);
A equação logística tem sido adoptada como modelo das variações de populações de espécies vivendo num ambiente de recursos limitados.
Na sua forma discreta a equação logística é dada por:
onde:
xt representa o valor da população num determinado período (normalizado pelo valor máximo
que a população pode atingir). O parêntesis (1 - x t) faz com que, para valores (da população) próximos de zero, quando existem recursos disponíveis, a população cresça proporcionalmente à população anterior e que, pelo contrário, diminua quando x t atinge o
valor (da população) máximo para a região. A representação gráfica da equação logística é a de uma parábola invertida.
Para os valores de x t menores que 0 e maiores que 1, x t+1 é negativo. Uma população
) 1 ( 1 t t t kx x x
inexistente não se reproduz e uma população além do seu valor máximo morre por falta de recursos. Interessa, pois, analisar o comportamento da equação dentro do intervalo [0,1]. A constante k, o parâmetro da equação, indica o achatamento da parábola, visto o máximo acontecer no ponto (0.5,k/4), onde a derivada em ordem a xt é nula. O parâmetro k tem um papel na definição do comportamento da população. O intervalo de variação de k é entre 0 e 4, visto que, acima de 4, o valor máximo da população seria maior do que 1, o que traduziria um valor impossível.
Figura. 7.2.3.1 Séries temporais e equação logística para 5 valores diferentes do parâmetro k. Com k entre 0 e 4, se tivermos em conta i) as séries temporais formadas pelos valores consecutivos da variável x e ii) a representação de xt+1 em equação de x t (o chamado “espaço
de fase” da equação) identificamos cinco situações diferentes. Estas situações encontram-se apresentadas na Figura 7.3.2.1., sendo aí designadas pelas primeiras cinco letras do alfabeto.
1. Na situação (a), k é igual a 0,95 e o valor inicial da população corresponde a 40% da população máxima (0,40). A série temporal rapidamente se aproxima de zero. Repetindo os cálculos com outros valores iniciais de x t concluímos que se verifica a mesma aproximação ao valor nulo. O valor inicial (de partida) é irrelevante. Com k 1 a série temporal é sempre atraída para o valor nulo. Este valor (zero) é designado, nesse caso, por atractor.
2. Na situação (b) k é igual a 1,4 e o valor inicial corresponde a 0,06 (6% da população máxima). Também neste caso, repetindo os cálculos para outros valores iniciais, a série temporal converge sempre para um único valor aproximado de 0,286.
3. Na situação (c), k é igual a 2,8 e para qualquer valor inicial da população a série temporal converge sempre para um único valor aproximado de 0,643. Quando k se encontra entre 1 e 3, quaisquer que sejam os valores iniciais da população x t , ela é atraída para um estado estável cujo valor é 1-1/k, o ponto de intersecção da parábola com a linha x t+1 = x t [Ott,E.93].
4. Na situação (d), k é igual a 3,4 e para qualquer valor inicial da população a série temporal converge sempre para dois valores próximos de 0,452 e 0,842.
5. Quando k >3,57 os valores da equação tornam-se erráticos no gráfico, como na situação (e), e impossíveis de prever. Com k 3 aparece inicialmente um atractor periódico constituído por dois pontos que, à medida que k aumenta, se torna sucessivamente em atractor periódico de taxa dupla (4, 8, 16, ... pontos).
Desta descrição concluímos que, naquele modelo, o parâmetro k funciona como parâmetro de controlo da equação logística. Se esta equação for um modelo aceitável para uma qualquer dinâmica no mundo real, o conhecimento do valor tomado por k em cada iteração do sistema pode indicar se o mesmo se encontra num estado estável ou se aproxima de um estado caótico. Uma actuação no sentido de o modificar (quando possível ou quando desejável) permite provocar a manutenção de estados estáveis ou controlar a duração de estados caóticos controlados quando pretendermos introduzir mudanças.
formaliza e o processo de desenvolvimento. Na secção 7.4 damos conta da utilização dos valores da correlação de gama longa na modelação de alguns comportamentos expressos pela equação logística.