Direções para Trabalhos Futuros

Listamos a seguir algumas questões que permanecem ainda em aberto. Esperamos que algu- mas dessas questões possam ser bem exploradas e que resultem em bons trabalhos.

• Estudar a existência de novos conceitos de solução para jogos com consciência em forma

normal;

• Investigar a existência de técnicas computacionais eficientes para computar equilíbrio de

• Verificar se o resultado apresentado por Bade (Bade 2005), para o caso restrito onde as

relações de preferência para os jogadores são relações de preferência representáveis1_{, con-}

tinua válido para o nosso modelo para Falta de Conhecimento Comum sobre Preferências em Jogos na Forma Normal.

1_{A relação º é dita ser representável se existe uma função u : C → R}n _{tal que a º b ⇔ u(a) ≥ u(b), onde a}

Demonstrações

Teorema 3.2.1. ~δ é um equilíbrio de Nash de Ψθ, se e somente se, ~δ0 for um equilíbrio de Nash generalizado de Ψ∗, onde δ0_i,Ψ0 = δ_(i,Ψ0₎ para i ∈ N e Ψ0 ∈ G_i.

Demonstração: Seja ~δ um equilíbrio de Nash de Ψθ. Por definição temos então que

u_(i,Ψ+₎(~δ) ≥ u_(i,Ψ+₎(~δ_−(i,Ψ+₎, s),

∀ (i, Ψ+_{) ∈ N}θ_{, s ∈ ∆(C}θ

(i,Ψ+₎).

Agora, utilizando os seguintes fatos: 1. δ_(i,Ψ+₎= δ0

i,Ψ+ para todo (i, Ψ+) ∈ Nθ; 2. u_(i,Ψ+₎(~δ) = u_i,Ψ+(~δ0);

3. Cθ

(i,Ψ+₎ = C_i+; temos

u_i,Ψ+(~δ0) = u_(i,Ψ+₎(~δ) ≥ u_(i,Ψ+₎(~δ_−(i,Ψ+₎, s) = u_i,Ψ+(~δ0_−(i,Ψ+₎, s). Assim, temos que u_i,Ψ+(~δ0) ≥ u_i,Ψ+(~δ0

−(i,Ψ+₎, s), ∀ i ∈ N, Ψ+ ∈ G e estratégia local s para i em Ψ+_{. Portanto, ~δ}0 _{é um equilíbrio de Nash generalizado de Ψ}∗_{. A demonstração da volta é}

Demonstração: Para esta demonstração utilizaremos o seguinte resultado apresentado em Salonen (2005): Um jogo em forma normal possui um equilíbrio de Nash em estratégias mistas

se, para cada jogador i ∈ N , o conjunto de estratégias puras Si é um espaço métrico compacto e

as funções utilidade u_i : S → R são contínuas para todo i ∈ N .

Podemos observar que no jogo Ψθ _{todos os jogadores tem um número finito de estratégias}

puras; isso nos permite afirmar que S_i é um espaço métrico compacto. Além disso, temos que a utilidade de cada jogador em Ψθ _{depende somente das estratégias de um número finito de}

jogadores, assim é fácil ver que u_i : S → R é contínua para cada jogador i ∈ N . Logo, aplicando o resultado apresentado acima, temos que o jogo Ψθ _{tem um equilíbrio de Nash em estratégias}

mistas. Então, o Teorema 3.2.1 implica que todo jogo com consciência em forma normal, com 2 jogadores, localmente finito tem um equilíbrio de Nash generalizado.

Obervação: Note que em nenhum momento nas demonstrações do Teorema 3.2.1 ou do Corolário 3.2.1, utilizamos o fato que ||N || = 2, portanto, como mencionamos no Capítulo 3, a prova do resultado para o caso de n jogadores é idêntica.

Teorema 4.5.1. cν _{é um equilíbrio de Nash do jogo (Ψ}∆₎ν_{, se e somente se, c}∆ _{é um equilíbrio}

de Nash generalizado de Ψ∆_{, onde c}ν

(i,Ψ0₎= c∆_i,Ψ0, para todo i ∈ N e Ψ0∈ Gi.

Demonstração: Seja cν _{um equilíbrio de Nash do jogo (Ψ}∆₎ν_{. Então, por definição, temos que}

∀(i, Ψ0_{) ∈ N}ν_{, @c}

(i,Ψ0₎∈ C_(i,Ψν ₀₎ tal que

((cν)_−(i,Ψ0₎, c_(i,Ψ0₎) Âν_(i,Ψ0₎cν.

Agora, utilizando as propriedades

C_(i,Ψν 0₎= C_i0 e a º_(i,Ψν 0₎b ⇔ a0 º0_ib0

e também o fato que o perfil de estratégias puras cν corresponde ao perfil de estratégia genera- lizado c∆, temos que ∀ i ∈ N∆, Ψ0 ∈ Gi, @ c0i∈ Ci0 tal que

((c∆0)−i, c0i) Â0i (c∆

0

tração da volta é análoga.

Lema 4.5.1 Existe uma correspondência entre os completamentos de Ψ∆ _{e (Ψ}∆₎ν_{, tal que}

(Ψ∆c₎ν _{= (Ψ}∆₎νc_.

Demonstração: Primeiro mostraremos que um completamento em Ψ∆ _{corresponde a um com-}

pletamento em (Ψ∆₎ν_.

Seja Ψ∆c _{um completamento de Ψ}∆_{, então ∀Ψ}0 _{∈ G existe um Ψ}0_c

∈ Gc_{, tal que Ψ}0_c

é um completamento de Ψ0_{. Assim temos que ∀i ∈ N e Ψ}0 _{∈ G, a relação º}0_c

i é um completamento de

º0 i.

Defina agora um jogo (Ψ∆₎νx _{tal que N}νx _{= N}ν_{, C}νx_{= C}ν _{e a º}νx

(i,Ψ0₎ b ⇔ a0 º 0_c

i b0. Como

∀i ∈ N e Ψ0c _{∈ G}c _{a relação º}0_c

i é completa então podemos afirmar que ºνx(i,Ψ0₎ é também uma

relação completa ∀(i, Ψ0_{) ∈ N}ν_{. Precisamos mostrar agora que º}νx

(i,Ψ0₎ é um completamento de ºν

(i,Ψ0₎, ∀(i, Ψ0) ∈ Nν; para isso vamos mostrar que: i) a ºν

(i,Ψ0₎b ⇒ a ºνx_(i,Ψ0₎b ii) a Âν

(i,Ψ0₎ b ⇒ a Âνx_(i,Ψ0₎b.

Parte i) Seja a ºν

(i,Ψ0₎ b logo, pela definição de (Ψ∆)

ν

, temos que a ºν

(i,Ψ0₎ b ⇒ a0 º0_i b0 e como º0c

i é um completamento de º0i então, pela definição de completamento a0 º0i b0 ⇒ a0 º

0_c

i b0, logo

a ºν

(i,Ψ0₎ b ⇒ a0 º 0_c

i b. Assim, usando a definição de (Ψ∆) νx , onde a ºνx (i,Ψ0₎ b ⇔ a0 º 0_c i b0, temos que a ºν

(i,Ψ0₎b ⇒ a ºνx_(i,Ψ0₎b. A prova da parte ii) é análoga.

Com isso mostramos que ºνx

(i,Ψ0₎é um completamento de ºν_(i,Ψ0₎, ∀(i, Ψ0) ∈ Nν, logo podemos

concluir que um completamento em Ψ∆ _{corresponde a um completamento em (Ψ}∆₎ν_.

Agora mostraremos a recíproca que um completamento em (Ψ∆₎ν _{corresponde a um comple-}

tamento em Ψ∆_.

Seja (Ψ∆₎νc _{um completamento de (Ψ}∆₎ν_{. Então temos que º}νc

(i,Ψ0₎ é um completamento

de ºν

(i,Ψ0₎, ∀(i, Ψ0) ∈ Nν. Defina agora um jogo Ψ∆x = (Gx, Ψmx, Fx), onde Gx = {Ψ 0_x = (N0_{, C}0 i, º 0_x i ) : Ψ0 = (N0, Ci0, º0i) ∈ G e a0 º 0_x

ii) a0 _Â0

i b0⇒ a0 Â

0_x

i b0.

Parte i) Seja a0 _º0

i b0 logo, pela definição de Ψν, temos que a0 º0ib0 ⇒ a ºν(i,Ψ0₎b e como ºνc_(i,Ψ0₎

é um completamento de ºν

(i,Ψ0₎ então, pela definição de completamento a ºν_(i,Ψ0₎b ⇒ a ºνc_(i,Ψ0₎b,

logo temos que a0 _º0

i b0 ⇒ a ºνc(i,Ψ0₎ b. Assim, usando a definição de Ψ∆x temos que a0 º0_i b0 ⇒ a0_º0_x

i b0. A prova da parte ii) é análoga.

Com isso podemos afirmar que º0x

i é um completamento de º0i, ∀i ∈ N e Ψ0 ∈ G. Logo

podemos concluir que um completamento em (Ψ∆₎ν _{corresponde a um completamento em Ψ}∆_.

Teorema 4.5.2 Para todo jogo com falta de conhecimento comum sobre preferências Ψ∆ _temos

que o conjunto de equilíbrios de Nash generalizado desse jogo é igual a união dos conjuntos de equilíbrios de Nash generalizado de cada completamento de Ψ∆_{, ou seja, N (Ψ}∆_{) =}S_{{N (Ψ}∆c_{) :}

Ψ∆c _{é um completamento de Ψ}∆_}

Demonstração: Temos que mostrar que

(1) N (Ψ∆_{) ⊂}S_{{N (Ψ}∆c_{) : Ψ}∆c _{são completamentos de Ψ}∆_}

(2) N (Ψ∆_{) ⊃}S_{{N (Ψ}∆c_{) : Ψ}∆c _{são completamentos de Ψ}∆_}

Parte (1): Seja a∆ um equilíbrio de Nash generalizado de Ψ∆. Assim pelo Teorema 4.5.1 temos que aν, tal que aν_(i,Ψ0₎ = a∆_i,Ψ0 para todo (i, Ψ0) ∈ Nν, é um equilíbrio de Nash de

(Ψ∆)ν. Aplicando o Teorema 4.4.1 para o jogo (Ψ∆)ν temos o seguinte resultado: N ((Ψ∆)ν) ⊂ S

{N ((Ψ∆₎νc_{) : (Ψ}∆₎νc _{são completamentos de (Ψ}∆₎ν_{}. Assim temos que a}ν _∈S_{{N ((Ψ}∆₎νc_{) :}

(Ψ∆₎νc _{são completamentos de (Ψ}∆₎ν_{}; logo temos que a}ν _{∈ N ((Ψ}∆₎νc_{) para ao menos um}

completamento de (Ψ∆₎ν_{. Pelo Lema 4.5.1, sabemos que existe um completamento Ψ}∆c _{de Ψ}∆

tal que (Ψ∆c₎ν _{= (Ψ}∆₎νc_{, logo a}ν _{∈ N ((Ψ}∆c₎ν_{). Aplicando mais uma vez o Teorema 4.5.1, temos}

que a∆_{∈ N (Ψ}∆c_{), logo a}∆_∈S_{{N (Ψ}∆c_{) : Ψ}∆c _{são completamentos de Ψ}∆_{}. Assim mostramos}

(1).

Parte (2): Seja b∆_∈S_{{N (Ψ}∆c_{) : Ψ}∆c_{são completamentos de Ψ}∆_{}; então b}∆_{∈ N (Ψ}∆c_{) para}

ao menos um completamento de Ψ∆_{. Pelo Teorema 4.5.1, temos que b}ν_{, tal que b}ν

um completamento (Ψ ) de (Ψ ) tal que (Ψ ) = (Ψ ) , logo b ∈ N ((Ψ ) ). Portanto, pelo Teorema 4.4.1 obtemos bν _{∈ N ((Ψ}∆₎ν_{). Assim aplicando novamente o Teorema 4.5.1, temos}

que b∆_{∈ N (Ψ}∆_{). Com isso, mostramos que N (Ψ}∆_{) ⊃}S_{{N (Ψ}∆c_{) : Ψ}∆c _{são completamentos de}

Plataforma Computacional

O sistema de tipografia utilizado na digitação desta dissertação foi o LA_{TEX. O sistema}

LA_{TEX, desenvolvido por Leslie Lamport em 1985, consiste em uma série de macros ou rotinas}

do sistema TEX (criado por Donald Knuth na Universidade de Stanford em 1983) que facili- tam o desenvolvimento da edição do texto. O LA_{TEX possui comandos muito cômodos e ele-}

gantes para a criação de tabelas, índices, bibliografia, referências cruzadas, etc., permitindo ao usuário concentrar-se no conteúdo do documento em vez de detalhes puramente técnicos. Para maiores detalhes sobre o sistema de tipografia LA_{TEX ver De Castro (2003) ou através do site}

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No documento Falta de conhecimento comum sobre preferências e falta de consciência em jogos na forma normal (páginas 86-96)