Na Se¸c˜ao anterior, foi mostrada a aplica¸c˜ao do modelo de Markowitz em trˆes con- juntos de carteiras diferentes:
• Inicialmente selecionamos os ativos FI AC¸ ˜OES ISE e FI AC¸ ˜OES VALE DO RIO DOCE, que intitulamos de ativos A e B respectivamente, e geramos a carteira p de variˆancia m´ınima global;
• Depois, aproveitamos os dois ativos da primeira carteira e acrescentamos a ela os ativos FI AC¸ ˜OES PETROBR ´AS e FI OURO MULTIMERCADO LP, que intitulamos de C e D respectivamente, onde geramos as carteiras q1 (de variˆancia
m´ınima global para o conjunto de carteiras) e a carteira q2 (de variˆancia m´ınima
para o retorno de 1,85% a. m.);
• Ainda, com a escolha dos ativos FI AC¸ ˜OES DIVIDENDOS, FI AC¸ ˜OES IBO- VESPA ATIVO, FI AC¸ ˜OES PETROBR ´AS e FIC AC¸ ˜OES E-FUNDOS IBO- VESPA, fortemente correlacionados, intitulados respectivamente de ativos E, F , G e H, foi gerada a carteira t, de variˆancia m´ınima global para o conjunto de carteiras.
Tabela 3.1: Quadro resumo dos resultados das carteiras
Fonte: autor
Um quadro resumo das carteiras e dos resultados dos c´alculos ´e apresentado na Tabela 3.1.
As carteiras p e q1 foram geradas com ativos fracamente correlacionados e servir˜ao
`
a t´ıtulo de compara¸c˜ao para avaliarmos o impacto do aumento do n´umero de ativos na redu¸c˜ao do risco. J´a as carteiras q2 e t foram geradas com os ativos fracamente e
fortemente correlacionados respectivamente, para avaliarmos o impacto da correla¸c˜ao na redu¸c˜ao do risco.
Na Figura 3.13 ´e apresentado o gr´afico do conjunto de carteiras gerados pelos ativos A e B, e o conjunto de carteiras formados pelos ativos A, B, C e D. Podemos observar que ao aumentarmos o n´umero de ativos obtivemos um conjunto maior de op¸c˜oes de carteiras, com variˆancias menores que das carteiras formadas somente pelos dois ativos. Isso aumentou as oportunidades de investimento. Este resultado est´a de acordo com Bodie, Kane e Marcus (2014) e ilustrado na Figura 1.6, mostrados na Se¸c˜ao 1.3.4. Al´em disso, vemos graficamente que a variˆancia m´ınima para o conjunto de carteiras formado por A, B, C e D (6,46 - desvio padr˜ao de 2,54%, da carteira q1) foi menor que
a do conjunto formado apenas pelas carteiras A e B (12,64 - desvio padr˜ao de 3,56%, da carteira p).
Ao calcularmos o CV para estas carteiras, para avaliarmos o risco considerando tamb´em o valor esperado, vemos tamb´em que a carteira q1 (CV = 2,00) oferece menor
risco que a carteira p (CV = 2,12).
Conforme vimos nas se¸c˜oes anteriores, a f´ormula da variˆancia de uma carteira ´e composta pela soma das variˆancias e das covariˆancias entre os ativos. Vimos na Se¸c˜ao anterior que para desenvolver a f´ormula, aplicamos uma matriz que re´une as variˆancias e covariˆancias entre os ativos (Figuras 3.6 e 3.9). Supondo que haja N ativos, escrevemos
Figura 3.13: Gr´aficos dos conjuntos de carteiras formados pelos ativos A e B e pelos ativos A, B, C e D
Fonte: autor
ativos de 1 a N no eixo horizontal e 1 a N no eixo vertical. Isso cria uma matriz N × N = N2 caixas. A variˆancia da carteira ´e a soma dos termos de todas as caixas, multiplicados pelos respectivos valores das propor¸c˜oes entre os ativos. Os termos da diagonal principal da matriz contˆem as variˆancias dos diferentes ativos. Os termos fora da diagonal contˆem as covariˆancias. O n´umero de termos da diagonal (n´umero de termos de variˆancia) ´e sempre igual ao n´umero de ativos da carteira. Assim, numa matriz N x N , teremos N variˆancias e N2− N covariˆancias.
Dessa forma, vemos que n´umero de termos fora da diagonal (n´umero de termos de covariˆancias) sobe muito mais r´apido que o n´umero de termos da diagonal. Na nossa aplica¸c˜ao, com 2 ativos temos 2 variˆancias e 2 covariˆancias, j´a com 4 ativos temos 4 variˆancias e 12 covariˆancias. Com 100 ativos, ter´ıamos 100 variˆancias e 9900 termos de covariˆancias. No caso das carteiras p e q1 observamos que, ao dobrarmos o n´umero de
ativos, acabamos por triplicar a quantidade de covariˆancias. Com isso, obtivemos uma carteira q1 de variˆancia m´ınima menor com 4 ativos (6,46 - desvio padr˜ao de 2,54%) em
compara¸c˜ao com a de 2 ativos (12,64 - desvio padr˜ao de 3,56%). Assim, este resultado est´a de acordo com Ross et al. (2015), que afirma que a variˆancia dos retornos de uma carteira com v´arios t´ıtulos depende mais das covariˆancias entre os ativos individuais do que das variˆancias dos t´ıtulos individuais.
O fato da correla¸c˜ao entre os ativos ser baixa tamb´em influenciou na redu¸c˜ao do risco da carteira q1 em compara¸c˜ao `a p. O efeito da correla¸c˜ao na redu¸c˜ao do risco
ficou ainda mais evidente quando comparamos as carteiras q2 e t. No caso da carteira
t, formada por ativos fortemente correlacionados (E, F , G e H), encontramos uma carteira de variˆancia m´ınima global do conjunto de 21,19 (desvio padr˜ao de 4,6%), bem superior `a carteira q1, que foi de 6,46 (desvio padr˜ao de 2,54%), tamb´em de
variˆancia m´ınima para o conjunto de ativos fracamente correlacionados (A, B, C e D). Quando, para o mesmo conjunto de ativos E, F , G e H, calculamos a carteira de m´ınima variˆancia q2 para um retorno de 1,85%, vemos tamb´em que a variˆancia ´e
menor (14,41 - desvio padr˜ao de 3,8%).
Dessa forma, para o investidor, a escolha da carteira q2 em rela¸c˜ao `a carteira t se
justifica (Se¸c˜ao 1.3.1), conforme a premissa de Markowitz (S ´A, 1999 e MACEDO JR., 2003) de que os investidores postos a escolher entre dois portf´olios (carteiras) de mesmo retorno, sempre escolher˜ao o de menor risco. Dessa forma, se o investidor tiver que escolher entre as carteiras q2 e t, escolher´a a q2.
Na Figura 3.14 podemos ver graficamente o conjunto de carteiras poss´ıveis de serem formadas pelos ativos das carteiras q1 e q2 (A, B, C e D) e da carteira t (E, F , G e H).
Observamos que o conjunto de oportunidades de investimento ´e maior com os ativos A, B, C e D, onde observamos um conjunto de carteiras mais espalhado. Neste conjunto, inclusive, vemos graficamente que conseguimos uma variedade maior de carteiras com retorno esperado maior que 2% a.m. do que no conjunto de carteiras dos ativos E, F , G e H, para um mesmo valor de risco.
Para melhor analisarmos o impacto da correla¸c˜ao em ativos fortemente correlaci- onados no risco das carteiras por eles formadas, tomemos como base a f´ormula da variˆancia para os quatro ativos, em fun¸c˜ao das correla¸c˜oes, variˆancias e desvios padr˜ao, dada por:
σt2 = α2EV ar(RE) + α2FV ar(RF) + α2GV ar(RG) + αH2 V ar(RH)
+ 2αEαFσEσFCorr(RE, RF) + 2αEαGσEσGCorr(RE, RG)
+ 2αEαHσEσHCorr(RE, RH) + 2αFαGσFσGCorr(RF, RG)
+ 2αFαHσFσHCorr(RF, RH) + 2αGαHσGσHCorr(RG, RH) .
Figura 3.14: Gr´aficos dos conjuntos de carteiras formados pelos ativos A, B, C e D e pelos ativos E, F , G e H
Fonte: autor
a +1. Neste caso temos que a variˆancia da carteira ´e dada por:
σt2 = α2EV ar(RE) + α2FV ar(RF) + α2GV ar(RG) + αH2V ar(RH)
+ 2αEαFσEσF + 2αEαGσEσG+ 2αEαHσEσH
+ 2αFαGσFσG+ 2αFαHσFσH + 2αGαHσGσH.
Sabemos ainda que a f´ormula do quadrado da soma de 4 termos ´e dada por:
(a + b + c + d)2 = a2+ b2+ c2+ d2+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd . Comparando as duas f´ormulas anteriores e fazendo: a = αEpV ar(RE);
b = αFpV ar(RF); c = αGpV ar(RG) e d = αHpV ar(RH); e sabendo que o desvio
padr˜ao σ ´e dado por σi =pV ar(Ri), para cada ativo i, temos que o risco da carteira
σt= αEσE + αFσF + αGσG+ αHσH,
onde, αi e σi s˜ao a propor¸c˜ao e o desvio padr˜ao de cada ativo i respectivamente.
Observamos com este resultado que, quando o coeficiente de correla¸c˜ao ´e m´aximo (igual a +1), o risco (desvio padr˜ao) e o retorno da carteira s˜ao simplesmente com- bina¸c˜oes lineares do risco (desvio padr˜ao) e do retorno de cada ativo. Neste caso, n˜ao h´a redu¸c˜ao de risco com a compra dos ativos, conforme Elton, Gruber e Brown (2012). Isso mostra que, para obtermos uma maior redu¸c˜ao no risco da carteira, devemos pro- curar ativos cuja correla¸c˜ao seja a mais baixa e distante poss´ıvel de +1. No entanto, mesmo em ativos fortemente correlacionados, jamais o risco da carteira ser´a maior que o ativo de maior risco.
Percebemos assim que, quanto menor (mais pr´oximo de −1) for o coeficiente de correla¸c˜ao entre os ativos, mantidos os outros atributos constantes, maior ser´a o be- nef´ıcio proporcionado pela diversifica¸c˜ao. Isso mostra porque o conjunto de carteiras formados pelos ativos fracamente correlacionados (A, B, C e D) apresentou uma va- riedade maior de carteiras com riscos menores, se comparado ao conjunto de carteiras formados pelos ativos fortemente correlacionados (E, F , G e H), estando o primeiro conjunto mais `a noroeste que este ´ultimo. Este resultado est´a conforme apresentado por Bodie, Kane e Marcus (2014) e ilustrado na Figura 1.9 (Se¸c˜ao 1.3.4). Al´em do mais, conforme citado anteriormente, a variˆancia dos retornos de uma carteira com v´arios t´ıtulos depende mais das covariˆancias entre os ativos individuais do que das variˆancias dos t´ıtulos individuais. Como a covariˆancia e a correla¸c˜ao s˜ao diretamente proporcionais, quanto menor a correla¸c˜ao, menor a covariˆancia e, por consequˆencia, menor o risco da carteira.
Assim, conforme visto nos casos estudados neste trabalho, o aumento do n´umero de ativos e o coeficiente de correla¸c˜ao impactaram na redu¸c˜ao do valor do risco da carteira e deve ser levado em considera¸c˜ao pelo investidor para a sele¸c˜ao dos ativos. Para finalizar, complementamos com algumas an´alises adicionais:
• Pode ser percebida uma rela¸c˜ao pr´oxima entre os retornos dos investimentos e as variˆancias (desvios padr˜ao). Variˆancias dos ativos maiores est˜ao associados a riscos mais altos e a retornos maiores. No mercado, os participantes exigem retornos mais altos para compensar riscos maiores, conforme Gitman (2004); • O risco das carteiras de m´ınima variˆancia global p, q1 e t obtiveram um menor
valor de risco que dos seus ativos individuais, mostrando que mesmo em ativos fortemente correlacionados, como na carteira t, houve redu¸c˜ao do risco;
• O coeficiente de varia¸c˜ao (CV) serviu como uma an´alise adicional da carteira, no sentido em que possibilitou comparar o risco-retorno da carteira frente aos ativos
indivualmente, que tinham diferentes retornos e riscos;
• O c´alculo da probabilidade para o risco de se obter um valor negativo aplicando na carteira, serviu tamb´em como uma an´alise adicional, que deve ser feita em conjunto com a an´alise do risco e do retorno da carteira. No caso das carteiras q1 e q2, por exemplo, vemos que a probabilidade ´e a mesma (0,31), no entanto a
variˆancia de q2 ´e bem maior (14,41) se comparada com a q1 (6,46). Logo, caso o
investidor opte pela carteira q2, se ele obter um valor negativo de retorno, este
Cap´ıtulo 4
CONSIDERAC¸ ˜OES ACERCA DO
ENSINO DE ESTAT´ISTICA E
SUGEST ˜OES DE ATIVIDADES
Neste cap´ıtulo, discorreremos acerca do ensino de Estat´ıstica, na Educa¸c˜ao B´asica, e das habilidades esperadas conforme a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), dada a sua importˆancia e utiliza¸c˜ao no mercado de trabalho. Ao final ser˜ao apresentadas algumas sugest˜oes de atividades, no formato de dois planos de aula, que podem ser desenvolvidas em sala de aula levando em considera¸c˜ao as habilidades inerentes ao ensino da estat´ıstica que aqui ser˜ao discutidas.
4.1
O Ensino de Estat´ıstica
Conforme j´a citado no primeiro cap´ıtulo deste trabalho, a estat´ıstica tem grande aplica¸c˜ao em todos os ramos do conhecimento humano, como Economia, Biologia, Ciˆencias Sociais, entre outras. No entanto, muitas vezes, os alunos estudam a estat´ıstica de forma separada da realidade, sem entender a sua aplicabilidade.
Segundo Lopes (1998), o ensino, tanto da Matem´atica como da Estat´ıstica, n˜ao deve ser baseado em aulas que tratem apenas dos conceitos sem atrel´a-los `a quest˜oes do cotidiano, pois a simples repeti¸c˜ao de um conceito n˜ao ´e suficiente para levar a aprendizagem de forma efetiva.
Segundo Virgillito (2017), mesmo em cursos acadˆemicos, a Estat´ıstica ´e apresentada de forma excessivamente te´orica, contendo ainda uma dose elevada de demonstra¸c˜oes dessa natureza em detrimento de exemplos de aplica¸c˜ao pr´atica. Segundo ele, nas literaturas existentes alguns t´opicos s˜ao apresentados com aprofundamento excessivo, enquanto em outros n˜ao; e mais, n˜ao h´a clareza quanto `as ferramentas estat´ısticas a serem aplicadas nas mais diversas situa¸c˜oes e em que sequˆencia, o que impossibilita
uma vis˜ao global do processo estat´ıstico. ´E comum encontrar em sala de aula alunos que ficam ansiosos por saber a aplicabilidade das t´ecnicas estat´ısticas, seja porque ainda n˜ao adquiriram a experiˆencia necess´aria para sua aplica¸c˜ao no dia a dia, porque n˜ao perceberam ainda tal necessidade nas fun¸c˜oes que exercem nas empresas em que trabalham, ou ainda por pensarem que a Estat´ıstica deva ser aplicada sempre por empresas especializadas para tal.
Segundo Crespo (2009), a dire¸c˜ao de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decis˜oes, e o conhecimento e o uso da Estat´ıstica facilitar˜ao seu tr´ıplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. Seu uso vem a melhorar o conhecimento em v´arias ´areas de forma a alcan¸car os objetivos e metas de curto, m´edios e longos prazos, selecionando, organizando, verificando e avaliando estrat´egias que possibilitem saber a qualidade e quantidade do produto, bem como, os poss´ıveis lucros ou perdas.
Uma empresa, por sua vez, tamb´em necessita acompanhar v´arias rotinas do dia a dia. Para tal finalidade existem sistemas de grande porte, que ajudam a gerenciar desde estoques, lan¸camentos cont´abeis, emiss˜ao de notas, fluxo de caixa e compras at´e centrais de atendimento e relacionamento com o cliente etc. Nesses sistemas existe, de forma quase impercept´ıvel, a Estat´ıstica. As ferramentas estat´ısticas indicam tendˆencias e propiciam bases para a tomada de decis˜ao em v´arios momentos da vida empresarial.
Apesar de grande aplicabilidade da Estat´ıstica em v´arios ramos do conhecimento, no entanto ela ´e utilizada em sala de aula, na maioria das vezes, somente como uma forma de organiza¸c˜ao de dados, atrav´es de gr´aficos e tabelas e muitas das atividades propostas s˜ao repeti¸c˜oes previamente estabelecidas.
De forma a nortear a formula¸c˜ao dos curr´ıculos dos sistemas e das redes escolares de todo o Brasil, indicando as competˆencias e habilidades que se espera que todos os estudantes desenvolvam ao longo da escolaridade, em 2017 foi publicada a Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BNCC, 2020). Ele ´e um documento de car´ater normativo, que define o conjunto de aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da Educa¸c˜ao B´asica.
Neste documento est˜ao descritas as Habilidades relativas a diversos objetos de co- nhecimento (conte´udos, conceitos e processos) que os alunos devem desenvolver em cada etapa da Educa¸c˜ao B´asica, da Educa¸c˜ao Infantil ao Ensino M´edio.
Na BNCC de Matem´atica do Ensino Fundamental, as habilidades est˜ao organizadas segundo unidades de conhecimento da pr´opria ´area (N´umeros, ´Algebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estat´ıstica).
Para o desenvolvimento de habilidades relativas `a Estat´ıstica, os estudantes tˆem oportunidades n˜ao apenas de interpretar Estat´ısticas divulgadas pela m´ıdia, mas, sobre- tudo, de planejar e executar pesquisa amostral, interpretando as medidas de tendˆencia central, e de comunicar os resultados obtidos por meio de relat´orios, incluindo repre-
senta¸c˜oes gr´aficas adequadas. Al´em disso, a BNCC prop˜oe que os estudantes utilizem tecnologias, como calculadoras e planilhas eletrˆonicas, desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Tal valoriza¸c˜ao possibilita que, ao chegarem aos anos finais, eles possam ser estimulados a desenvolver o pensamento computacional, por meio da interpreta¸c˜ao e da elabora¸c˜ao de algoritmos, incluindo aqueles que podem ser representados por fluxogramas.
Em continuidade a essas aprendizagens, no Ensino M´edio o foco ´e a constru¸c˜ao de uma vis˜ao integrada da Matem´atica, aplicada `a realidade, em diferentes contex- tos. Consequentemente, quando a realidade ´e a referˆencia, ´e preciso levar em conta as vivˆencias cotidianas dos estudantes do Ensino M´edio, impactados de diferentes manei- ras pelos avan¸cos tecnol´ogicos, pelas exigˆencias do mercado de trabalho, pelos projetos de bem viver dos seus povos, pela potencialidade das m´ıdias sociais, entre outros. Nesse contexto, destaca-se ainda a importˆancia do recurso a tecnologias digitais e aplicativos tanto para a investiga¸c˜ao matem´atica como para dar continuidade ao desenvolvimento do pensamento computacional, iniciado na etapa anterior.
Abaixo selecionamos as habilidades voltadas `a Estat´ıstica, na BNCC, para o ensino m´edio, que s˜ao:
• (EM13MAT102) Analisar tabelas, gr´aficos e amostras de pesquisas Estat´ısticas apresentadas em relat´orios divulgados por diferentes meios de comunica¸c˜ao, iden- tificando, quando for o caso, inadequa¸c˜oes que possam induzir a erros de inter- preta¸c˜ao, como escalas e amostras n˜ao apropriadas;
• (EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral sobre quest˜oes relevan- tes, usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e comunicar os resultados por meio de relat´orio contendo gr´aficos e interpreta¸c˜ao das medidas de tendˆencia central e das medidas de dispers˜ao (amplitude e desvio padr˜ao), utilizando ou n˜ao recursos tecnol´ogicos;
• (EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem c´alculo e interpreta¸c˜ao das medidas de tendˆencia central (m´edia, moda, mediana) e das medidas de dispers˜ao (amplitude, variˆancia e desvio padr˜ao); • (EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e gr´aficos de frequˆencias com
base em dados obtidos em pesquisas por amostras Estat´ısticas, incluindo ou n˜ao o uso de softwares que inter-relacionem Estat´ıstica, geometria e ´algebra;
• (EM13MAT407) Interpretar e comparar conjuntos de dados estat´ısticos por meio de diferentes diagramas e gr´aficos (histograma, de caixa (box-plot), de ramos e folhas, entre outros), reconhecendo os mais eficientes para sua an´alise.
´
E importante que a BNCC norteie o professor da Educa¸c˜ao B´asica na melhor forma poss´ıvel para que ele desenvolva nos alunos as habilidades necess´arias que os tornem preparados para o mercado de trabalho, tendo uma compreens˜ao da matem´atica e da Estat´ıstica e que possam aplic´a-las tamb´em no seu dia a dia.