6.2.1 An´alise e s´ıntese das t´ecnicas de estabilidade aplicadas ao sincronismo As primeiras t´ecnicas de an´alise de estabilidade do sincronismo foram baseadas no acoplamento dito mestre-escravo, ou seja, considerando-se apenas dois osciladores, sendo que um n˜ao sofre a influˆencia do outro. Motivadas principalmente pela potencial aplica¸c˜ao dos sistemas ca´oticos na transmiss˜ao de informa¸c˜ao.
Diversas outras t´ecnicas foram propostas ao longo dessas quase duas d´ecadas de pes- quisas em sincronismo, ainda abordando esse tipo de acoplamento, com dois osciladores. Essas t´ecnicas podem ser divididas em An´alise Estrutural, e em An´alise Num´erica (Fur- tado et al., 2006). Na an´alise estrutural avalia-se se a estrutura da fun¸c˜ao de acoplamento ´e sincronizante. Na an´alise num´erica, a estabilidade local do sistema acoplado, evoluindo suficientemente pr´oximo `a variedade de sincronismo, ´e investigada.
Diferentemente do caso mestre-escravo, ao se considerar o acoplamento bidirecional entre dois osciladores, as t´ecnicas de an´alise, tanto estrutural quanto num´erica, n˜ao pode- riam ser diretamente aplicadas, pois o erro de sincronismo afeta ambos os sistemas, e n˜ao apenas o sistema escravo. Por exemplo, n˜ao ´e poss´ıvel se obter uma equa¸c˜ao variacional do sistema de erro, de forma a possibilitar aplica¸c˜ao da an´alise num´erica. Al´em disso, a maioria das t´ecnicas desenvolvidas se baseia na seguinte formula¸c˜ao,
˙x1 = f (x1) + g(x1, x2),
˙x2 = f (x2) + g(x1, x2).
6.2 Discuss˜ao sobre as contribui¸c˜oes 143 em que g(x1, x2) = K(x1 − x2) e g(x2, x1) = K(x2− x1), sendo K ∈ Rn×n uma matriz
de ganhos que, pode ser apenas diagonal. Nesse trabalho, abordou-se o caso em que g ´e uma fun¸c˜ao est´atica n˜ao-linear.
Esse cen´ario se torna mais complexo, quando se considera o caso do acoplamento bidirecional entre mais de dois osciladores. Principalmente, pelo fato da dificuldade de se definir e tratar com um conjunto de vari´aveis que fosse transversal `a variedade de sincronismo de interesse.
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E nesse cen´ario que se insere o sincronismo entre m´ultiplos osciladores senoidais aco- plados por meio de uma rede passiva, objeto de estudo do presente trabalho.
Uma forma de se contornar esses problemas, e tornar poss´ıvel a an´alise de estabilidade num´erica, ´e assumir que o estado s´ıncrono ´e conhecido a priori. Nesse caso, o erro de sincronismo, transversal `a S, poderia ser definido como a diferencia entre os estados de cada oscilador em rela¸c˜ao ao estado s´ıncrono. O primeiro trabalho a utilizar essa abordagem em sincroniza¸c˜ao foi Xiong et al. (2007), em conjunto com a an´alise de Floquet. 6.2.2 Nova formula¸c˜ao para as curvas de decaimento
A estrat´egia de paralelismo por curvas de decaimento foi tratada dentro de uma nova formula¸c˜ao, cuja implementa¸c˜ao se tornou mais simplificada e o tempo de resposta em regime transiente passou a depender apenas do tempo de resposta de um filtro passa- baixas (Furtado et al., 2008).
Nesse trabalho utilizou-se um filtro passa-baixas de primeira ordem. Motivado, prin- cipalmente pela redu¸c˜ao da ordem do modelo. Entretanto, outros filtros de maior ordem podem ser utilizados de forma a reduzir ainda mais o tempo transiente.
N˜ao foi considerada a divis˜ao da potˆencia de distor¸c˜ao. O que possibilitaria uma divis˜ao apropriada da potˆencia para cargas n˜ao-lineares. Entretanto, acredita-se que dependendo da rela¸c˜ao entre potˆencia ativa e a potˆencia de distor¸c˜ao, essa nova estrat´egia apresente desempenho satisfat´orio, pois existem trabalhos em que a potˆencia de distor¸c˜ao n˜ao foi considerada e, mesmo assim, obteve-se estabilidade no acoplamento em paralelo (Tuladhar et al., 2000).
Essa nova formula¸c˜ao ´e fact´ıvel de ser implementada em controladores digitais. Toda- via, a an´alise de estabilidade do sincronismo ficou mais complexa, uma vez que a estrutura da fun¸c˜ao de acoplamento se tornou n˜ao-linear. Principalmente, pelo fato de se utilizar uma suaviza¸c˜ao na fun¸c˜ao secante, o que possibilitou a an´alise num´erica.
6.2.3 An´alise de estabilidade de sistemas multi-UPS
A evolu¸c˜ao em estado s´ıncrono de osciladores n˜ao-ca´oticos gera um ciclo limite no espa¸co de estados do sistema acoplado. Ou seja, o estado s´ıncrono ´e caracterizado por uma trajet´oria peri´odica.
Esse ´e um dos principais elementos que possibilitam a aplica¸c˜ao da an´alise de Floquet, para se investigar a estabilidade local. Nesse contexto, essa an´alise ´e equivalente `a an´alise de estabilidade do mapa de Poincar´e, o qual ´e obtido a partir da intersec¸c˜ao das trajet´orias com a se¸c˜ao de Poincar´e.
Em compara¸c˜ao com a t´ecnica cl´assica dos expoentes de Lyapunov Transversais, percebeu-se a similaridade nas conclus˜oes. Entretanto, o ganho computacional e, tam- b´em, de fundamenta¸c˜ao te´orica, justifica completamente a an´alise de estabilidade ser realiza apenas pela estima¸c˜ao e inspe¸c˜ao num´erica dos multiplicadores de Floquet, em detrimento aos ELT.
Neste trabalho investigou-se o acoplamento de at´e dez osciladores, com foco em dois parˆametros importantes: o indutor de acoplamento, e a inclina¸c˜ao das curvas de decai- mento. Observou-se que quanto maior o n´umero de osciladores maior dever´a ser o indutor de acoplamento. Ao passo que, a inclina¸c˜ao das curvas de decaimento pode ser aumentada. A an´alise pode ser estendida a quanto osciladores acoplados se desejar. Entretanto, a matriz de monodromia aumenta de dimens˜ao na ordem de 4 vezes a cada oscilador acrescentado. Ou seja, deve-se ter preocupa¸c˜ao com a limita¸c˜ao num´erica.
Outra importante observa¸c˜ao foi a influˆencia da constante de suaviza¸c˜ao, bem como do passo de integra¸c˜ao na an´alise de Floquet. Esse problema foi relatado por Wang e Hale (2001), no qual os autores investigam, por meio de uma transforma¸c˜ao de Lyapunov- Schmidt, o tamanho do passo cr´ıtico a se utilizar em an´alises num´ericas da matriz de monodromia.
Nesse trabalho considerou-se tanto um passo de integra¸c˜ao quanto uma constante de suaviza¸c˜ao que disponibilizasse o maior n´umero de informa¸c˜oes ao m´etodo de estabilidade. Essas informa¸c˜oes podem ser traduzidas em se considerar mais freq¨uˆencias nos sinais. Visto que quanto menor a constante de suaviza¸c˜ao maior a atenua¸c˜ao da fun¸c˜ao secante. Da mesma forma, quanto maior o passo de integra¸c˜ao menor o n´umero de freq¨uˆencias consideradas.
Os limites obtidos foram validados utilizando simula¸c˜ao de Monte-Carlo do sistema multi-UPS.