Discutindo termos utilizados neste trabalho

Neste capítulo foram tratados alguns conceitos, os quais necessitam estar claros para que se possa compreender a argumentação aqui construída. Considera- se importante colocar a compreensão que se tem neste trabalho sobre alguns termos aqui discutidos: conhecimentos, concepções, competências, conceitos-em-

ação, teoremas-em-ação, conceitualizações, conceitos, situação, esquemas e a diferenciação ente invariantes do conceito e invariantes operatórios.

Entende-se conhecimento como um saber a respeito de um tópico (que pode ser um conceito específico). O conhecimento de um tópico pode ser de diversas naturezas, tais como cognitiva, matemática, didática etc. Por exemplo, o conhecimento de um professor sobre a Análise Combinatória pode ser de distintas naturezas. Ele sabe que a Análise Combinatória é ensinada formalmente a partir do 2º ano do Ensino Médio; que, dentre as diversas fórmulas ensinadas, a de permutações é: Pn = n!; que muitos alunos têm dificuldade em distinguir

permutações, arranjos e combinações; e que ensinar Análise Combinatória a partir de contextos significativos desperta um maior interesse por parte dos alunos. Observa-se, assim, que o conhecimento deste professor possui naturezas distintas, tais como curricular, de formalização, cognitiva e didática.

No presente trabalho, entende-se concepção como a representação social que grupos de indivíduos têm sobre tópicos. Por exemplo, uma concepção que alguns alunos possuem sobre a Análise Combinatória é a de que é uma parte da Matemática que é interessante (por envolver situações práticas), mas que é ao mesmo tempo complexa (pois nem sempre é fácil distinguir permutações, de arranjos e de combinações).

Competências são aqui entendidas como habilidades para alcance de objetivos específicos. Dessa forma, no ensino da Análise Combinatória, tem-se como um dos objetivos: desenvolver a competência dos alunos de distinguir, em situações práticas, permutações, arranjos e combinações para que possam aplicar procedimentos adequados a cada um destes tipos de problemas que envolvem raciocínio combinatório.

Neste estudo, conceitos-em-ação referem-se ao uso prático de conceitos em processo de construção. Dessa forma, ao utilizar um conceito-em-ação não se tem consciência clara deste uso, mas sabe-se que para aquela situação distinta o conceito se aplica. Baseado em teoremas-em-ação, ou seja, premissas que constituem os conceitos-em-ação, situações podem ser resolvidas mesmo sem um pleno entendimento dos motivos pelos quais os mesmos se aplicam. Um aluno

pode, por exemplo, enumerar as possíveis permutações de três elementos (como as letras A, B e C) e, assim, evidenciar o uso prático deste conceito, mesmo sem ter consciência de seu conhecimento de permutações. Ao utilizar seu conceito-em-ação de permutações, o aluno pode listar sistematicamente: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA, mas é possível que não saiba expressar como se faz para obter todas as possíveis permutações de elementos de um dado conjunto.

No presente trabalho, conceitualizações referem-se à compreensão pessoal que indivíduos possuem de conceitos. As conceitualizações podem se modificar com o tempo, pois os indivíduos podem ter menor consciência de seus conhecimentos – como quando fazem uso de seus conceitos-em-ação – até uma maior conscientização dos conceitos sendo utilizado em distintas situações. Um exemplo poderia ser a conceitualização dos alunos do que seja um produto cartesiano. Esta conceitualização pode envolver aspectos menos ou mais formais do que os alunos conhecem sobre o conceito de produto cartesiano.

Conceitos são neste trabalho compreendidos na forma definida por Vergnaud (1990), os quais são constituídos por significados, invariantes e representações. É importante destacar que o conceito existe independente de sujeitos particulares e a conceitualização é o pensar particular dos sujeitos sobre um conceito. Assim, entende-se no presente estudo que o conceito de combinatória envolve diferentes significados (tais como produto cartesiano, permutação, arranjo e combinação); possui invariantes distintos (relacionados às particularidades de cada significado), mas também propriedades gerais de enumeração sistemática, como evidenciadas no princípio fundamental da contagem9_{; e pode ser} representada por meios diversificados (tais como desenhos, listagens, tabelas e árvores de possibilidades).10

Sobre o termo situações também considera-se importante um esclarecimento sobre a compreensão que se tem neste trabalho. Situação é considerada um conjunto que envolve diversos conceitos (com seus respectivos significados, invariantes e representações simbólicas) e outros elementos envolvidos em uma situação-problema tais como contextos (monetário ou de medidas, por

9 _{O Princípio Fundamental da Contagem será tratado no Capítulo 3 deste trabalho.}

exemplo), naturezas e grandezas de números (números naturais, relativos ou racionais, números grandes ou pequenos, ou ainda números maiores ou menores que um, dentre outras variações), uso ou não de material concreto e formas de interação (individual ou grupos pequenos e grandes, por exemplo), dentre outros aspectos a serem considerados. Não é uma situação-problema, esta faz parte dos elementos que compõem a situação. Tome-se como exemplo a seguinte situação: Resolvam a seguinte situação-problema em dupla e utilizando material concreto que foi entregue (figuras recortadas de meninos e meninas). Para a festa de São João da escola, tem 3 meninos (Pedro, Gabriel e João) e 4 meninas (Maria, Luíza, Clara e Beatriz) que querem dançar quadrilha. Se todos os meninos dançarem com todas as meninas, quantos pares diferentes poderão ser formados? Tem-se aqui uma situação com o conceito de combinatória em seu significado de produto cartesiano, que contém os invariantes gerais da combinatória e específicos do produto cartesiano, que pode ser representado de diversas formas, utilizando-se como ponto de partida o material concreto, envolvendo números naturais e de menor ordem de grandeza. Nesta situação está inserida uma situação-problema com um contexto de dança, solicitada para ser resolvida em dupla, com material concreto.

É importante diferenciar o que aqui está sendo denominado de invariantes do conceito dos invariantes operatórios. Os invariantes do conceito são propriedades relacionadas a um determinado conceito, as quais não variam, ou seja, independente da situação na qual o conceito está inserido ou da representação simbólica utilizada para o conceito, as propriedades permanecem inalteradas. Os invariantes operatórios são etapas para se chegar à conceitualização. Neste sentido, pode-se pensar nessas categorias dos invariantes operatórios como operações mentais, operações de pensamento, que não variam, que se mantém para a construção de um conceito, no qual passa-se de uma fase de uso inconsciente, que é um esquema, passando por etapas de maior conscientização até atingir a conceitualização, que é uma fase de uso mais consciente do conceito, podendo chegar a uma fase de compreender o próprio pensamento/conhecimento relacionado ao conceito, o que pode ser denominado de metacognição. Assim, os esquemas, os teoremas- em-ação e os conceitos-em-ação são etapas no processo rumo à conceitualização.

Neste trabalho, portanto, buscar-se-á acompanhar os conhecimentos-em- ação evidenciados pelos participantes do estudo na construção do raciocínio combinatório.

A partir desta discussão inicial sobre a formação de conceitos, no capítulo seguinte será discutida a resolução de problemas como eixo do desenvolvimento conceitual, objetivando introduzir a discussão sobre o campo conceitual das estruturas multiplicativas, no qual é incluída a combinatória – foco do presente estudo.

CAPÍTULO 2

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