Um fator que deve ser levado em conta no momento da simulação é quanto ao erro de dispersão. Isso porque de forma geral, as malhas de guias digitais de ondas são limitadas pelo erro de dispersão, uma vez que a velocidade de propagação da onda é dependente tanto da frequência, quanto da direção de propagação. O grau de dispersão tem uma relação direta com a topologia da malha que está sendo investigada. A Fig. 4.30 apresenta as restrições quanto à discretização dos caminhos de propagação bidimensional da onda. Apenas recordando, que para o caso bidimensional, a malha do tipo SWG apresenta apenas duas direções e em consequência, não consegue captar de forma eficaz as informações, tal como ocorre na propagação real, ou seja, que abrange todas as direções.
Figura 4.30 – Representação da restrição da Malha SWG, sendo os pontos pequenos que recebem as setas, as juntas de dispersão
Como é possível observar na Fig. 4.30, para o caso da malha quadrada, as juntas de dispersão são arranjadas de maneira a formar a geometria de um quadrado. Como a propagação da onda se dá de forma esférica alguns pontos da propagação não serão captados na mesma posição pela malha de Guias Digitais de Ondas, gerando resultados aproximados.
A dispersão pode ser quantificada como um erro na velocidade de propagação em função da frequência e da direção ao longo da malha (VAN DUYNE; SMITH III, 1996). Esse fenômeno ocorre porque a solução da equação de ondas planas é obtida a partir da soma de todas as ondas que trafegam num dado ponto, em todos os sentidos, a uma velocidade constante c. Em geral, a modelagem dessa velocidade de propagação é dependente da frequência, isto porque as componentes de diferentes frequências viajam em diferentes velocidades através da malha (CAMPOS, 2003).
Além disso, o erro de dispersão também sofre influência da direção de propagação, em outras palavras, as ondas se movimentam ao longo de certas direções preferenciais. Para uma melhor visualização desse fenômeno, observe a Fig. 4.31, que representa as malhas SWG e TWG e suas respectivas direções preferenciais.
A B
Figura 4.31 – Representação esquemática das direções de propagação das ondas na malhas SWG e TWG, respectivamente A e B. As retas pontilhadas indicam as direções preferenciais de propagação. Figura modificada de Moura (2005).
A Figura 3.31 (A) e a Figura e 3.32(B) mostram as direções de propagação de ondas nas malhas SWG e TWG, definidas ao longo das guias de ondas. A velocidade nominal de propagação da onda na malha é expressa pela Eq. (4.57):
2
c
cn (4.57)
Esse parâmetro se refere à velocidade com que a onda se propaga ao longo das guias. Através de uma amostragem ao longo da direção de 45°, esse parâmetro de velocidade passa a ter o mesmo valor da velocidade real de propagação da onda sonora, conforme mostrado na Fig. 4.31 (A) e representado pelas linhas pontilhadas. Estes diferentes valores de propagação sobre a malha geram um erro numérico, conhecido como erro de dispersão
A malha TWG é representada no lado B da Fig. 4.31, a velocidade nominal de propagação da onda possui o mesmo valor da Eq. (4.57). A mesma análise pode ser estendida para as direções de 30° e 90°, a fim de obter uma velocidade nominal igual à velocidade real de propagação da onda sonora.
Cada topologia de malha é caracterizada por um modelo específico de dispersão. Para o caso 2D, a malha triangular leva vantagem com relação as outras geometrias, devido ao aumento da direção de propagação na malha, acarretando numa menor variação do erro de dispersão. Fontana e Rocchesso (1995) fizeram uma análise quanto ao erro de dispersão nas malhas e chegaram à conclusão de que um valor aproximado do que seria o erro de dispersão máximo cometido pela malha SWG seria de 30% e de 15% para a malha TWG.
No caso da análise tridimensional, em particular, a malha cúbica apresenta o erro de dispersão muito semelhante ao da SWG, 2D, isso também se deve às certas direções preferenciais, que nesse caso, também ocorre ao longo da direção de 45°. Na verdade, a malha cúbica trata-se de uma malha quadrada adicionada em uma dimensão. A Fig. 4.32 (A) e Fig.4.32 (B) mostra com detalhes o erro que ocorre na propagação tridimensional confrontando o erro na malha cúbica e na malha tetraédrica.
A B
Figura 4.32 – Representação do erro de dispersão na malha cúbica (A) e da tetraédrica (B). Figura Modificada de Hacihabiboglu, Gunel e Cvetkovic (2010)
Como é possível observar nas figuras acima, as esferas apresentam algumas regiões mais escuras, que são formadas ao longo da direção preferencial. Como é possível notar, a velocidade real de propagação, coincide com a velocidade de propagação nessa região de 45° e como nas outras direções, por exemplo, 0° e 90°, a informação chega num tempo anterior, causando o erro de dispersão.
Dessa forma é possível constatar a influência da geometria da malha sobre o erro de dispersão. Como esperado, as figuras revelam que o erro de dispersão na malha TWG é menor do que na malha SWG, devido ao fato da malha ter um maior número de direções preferenciais de movimento, para o caso bidimensional.
Muitos autores dedicaram seus esforços na análise do erro de dispersão das Malhas de Guias Digitais de Ondas, dentre os quais é possível citar: Savioja e Valimak (1999), Moura (2005) e Campos (2003). Segundo eles esse problema pode ser contornado aumentando a densidade da malha, que é determinada pela distância internodal e que por sua vez está diretamente ligada a frequências de amostragem dos sinais de áudio. Dessa forma, quanto maior for a densidade, melhor será a resolução, em contrapartida, maior será o custo computacional.
CAPÍTULO V
Simulações
Esse capítulo se destina a apresentar e analisar o desempenho da técnica de Malhas de Guias Digitais de Ondas em situações variadas, permitindo vislumbrar a potencialidade dessa técnica no prognóstico de campos reverberantes.
Os modelos numéricos aqui propostos são constituídos por fonte do tipo pontual que excitam o ambiente de maneira transiente, tal como um impulso, com o intuito de obter a Resposta ao Impulso e consequentemente, o comportamento do mesmo ou ainda em outras palavras, a característica aural do recinto.
No escopo das simulações foram realizadas duas abordagens distintas: comparação da técnica de Malha de Guias Digitais de Ondas com ao Método de Elementos Finitos para obter o perfil do comportamento acústico das salas virtuais, avaliando principalmente o impacto relativo ao custo computacional de processamento. A segunda etapa concentrou-se em realizar simulações em ambientes com ou sem barreira, explorando diferentes geometrias de malhas, além da aplicação da técnica em processos de auralização. Alguns códigos gerados estão presentes no Apêndice 1 desse trabalho