“Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade.” (Leibniz) “No que se refere à ciência, a autoridade de mil pessoas não vale o simples raciocínio de um indivíduo apenas.” (Galileu)
D I S T R I B U I Ç Ã O D E P O I S S O N
A distribuição de Poisson trabalha com a probabilidade de acontecer um evento x, sabendo que historicamente, acontece um valor médio µ. Enquanto a distribuição binomial é usada para encontrar a probabilidade de um número de sucessos em n tentativas, a distribuição de Poisson é usada para encontrar a probabilidade de sucessos por unidade de intervalo (tempo ou espaço). Ou seja, A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidades usada para eventos que ocorrem em um intervalo de tempo ou de espaço (linear, quadrado ou cúbico).
Na distribuição binomial, as coisas acontecem de forma estacionária (jogo uma moeda agora e posso jogar a outra na sequência ou daqui a 2 horas, tanto faz). Na distribuição de Poisson, não, as coisas acontecem continuamente e temos que estar observando-as também continuamente. As outras condições exigidas para se aplicar a distribuição Binomial são também exigidas para se aplicar a distribuição de Poisson, isto é, devem existir somente dois resultados mutuamente exclusivos, os eventos devem ser independentes e o número médio de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante. Ou seja, para poder utilizar a distribuição de Poisson os experimentos devem satisfazer as condições:
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um evento ocorre num intervalo de tempo ou espaço;
2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma para cada intervalo;
3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outro. A distribuição de Poisson é frequentemente usada em pesquisa operacional na solução de problemas administrativos. Alguns exemplos são o número de chamadas telefônicas para a polícia por hora, o número de clientes chegando a uma bomba de gasolina por hora, e o número de acidentes de tráfego num cruzamento por semana.
A probabilidade de acontecer um evento: número de sucessos x, P(x), por unidade de intervalo, é calculado pela fórmula:
𝑷(𝒙) =
µ
𝒙∙ 𝒆
−µ𝒙!
Onde: x = número de sucessos;
µ = número médio de sucessos por intervalo; e = número irracional constante aproximadamente igual a 2,71828, é a base do logaritmo natural (neperiano). Ao invés de substituir o “e” pelo valor numérico e elevá-lo ao expoente “-µ”, podemos obter o resultado da potência, diretamente por uma tabela ou por uma função da calculadora científica (mais recomendado). Propriedades da Distribuição de Poisson:
_ O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a média “µ”; _ A variância de uma distribuição de Poisson é igual a média “µ”.
Exemplo 1: Um processo mecânico produz tecido para tapetes com uma média de 2 defeitos por jarda quadrada. Determine a probabilidade de uma jarda quadrada ter exatamente 1 defeito.
Dados µ=2, x=1
µ = 2 e x = 1 → 𝑷(𝒙) =µ𝒙∙𝒆𝒙!−µ → 𝑷(𝟏) = 𝟐𝟏∙𝒆𝟏!−𝟐 =𝟐∙𝟎,𝟏𝟑𝟓𝟑𝟑𝟓𝟐𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟕 = 𝟐𝟕%
Exemplo 2: Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de 5 chamadas por hora, qual a probabilidade de que, em uma hora, selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 3 chamadas? Os dados são: µ = 5 e x = 3
𝑷(𝒙) =µ𝒙∙𝒆𝒙!−µ → 𝑷(𝟑) =𝟓𝟑𝟑!∙𝒆−𝟓 =𝟏𝟐𝟓∙𝒆𝟔−𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟒𝟎𝟒 = 𝟏𝟒, 𝟎𝟒%
Exemplo 3: Num laboratório, passam em média, em um contador de partículas, 4 partículas radioativas por milissegundos, qual a probabilidade de entrarem no contador, 6 partículas radioativas em determinado milissegundo? Os dados são: µ = 4 e x = 6
𝑷(𝒙) =µ𝒙∙𝒆𝒙!−µ → 𝑷(𝟔) =𝟒𝟔𝟔!∙𝒆−𝟒 =𝟒𝟎𝟗𝟔∙𝒆𝟕𝟐𝟎−𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟒𝟐 = 𝟏𝟎, 𝟒𝟐%
Exemplo 4: A experiência passada mostra que 1% das lâmpadas incandescentes produzidas numa fábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma lâmpada numa amostra aleatória de 30 lâmpadas sejam defeituosas, usando:
a) A distribuição Binomial e b) A distribuição de Poisson.
Solução: a) Aqui n = 30, p = 0,01, e queremos encontrar P(X > 1). Então, P(2) + P(3) + P(4) + ... = 0,0328 + 0,0031 + 0,0002 = 0,0361 ou 3,61%.
b) Como n = 30 e p = 0,01, temos: µ = n • p = 30 • 0,01 = 0,3, podemos usar a aproximação de Poisson da distribuição binomial, para encontrar P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1):
P(X ≤ 1) = P(1) + P(0) = 0,222246 + 0,74082 = 0,963066. Assim,
P(X > 1) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – 0,963066 = 0,036934 ou 3,69% Quando n ficar maior, a aproximação entre as duas distribuições torna-se mais estreita. Exemplo 5: Uma empresa recebe em média 12 e-mails a cada 10 minutos. Usando a distribuição de Poisson, qual a probabilidade de:
a) em 2 minutos não chegar nenhum e-mail? Solução: calculamos a média de e-mails
para 2 minutos, usando a regra de 3: Tempo ... média
10 ... 12 2 ... µ
µ = 2,4 e-mails
𝑃(0) =2,400!∙𝑒−2,4 = 0,0907 = 9,07%
b) em 5 minutos chegar no máximo 1 e-mail? Solução: calculamos a média de e-mails
para 5 minutos, usando a regra de 3: Tempo ... média 10 ... 12 5 ... µ µ = 6 e-mails P(máximo um e-mail) = P(0) + P(1) = 0,0025 + 0,0149 = = 0,0174 = 1,746% E X E R C Í C I O S P R O P O S T O S
1) Uma equipe de manutenção em softwares atende em média cinco chamadas por hora. Determinar a probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente quatro chamadas. 17,55%
2) Sabe-se que, em média, três clientes procuram atendimento numa agência da previdência no período das 16 às 17 horas. Determine a probabilidade de que, nesse período, apareçam mais do que 2 clientes. 57,68%
3) O número médio de acidentes mensais em um determinado cruzamento é três. Qual é a probabilidade de que em um determinado mês ocorram quatro acidentes no cruzamento? Qual a probabilidade de que ocorram mais de quatro acidentes em um determinado mês? 16,8%; 18,47% 4) Em um supermercado, o número médio de atendimentos de um caixa por minuto é de quatro pessoas. Qual a probabilidade de que, num minuto qualquer do dia,
a) seis pessoas sejam atendidas? 10,42%
b) no mínimo três pessoas sejam atendidas? 76,19%
5) Um grande furacão é aquele no qual a velocidade dos ventos é de 111 milhas por hora ou mais (o que equivale a 177,6 km/h ou mais). De 1900 a 1999, o número médio de grandes furacões que atingiram anualmente a porção continental dos Estados Unidos foi cerca de 0,6. (Fonte: National Hurricane Center). Obtenha a probabilidade de que, em um determinado ano,
a) exatamente um grande furacão chegue à porção continental dos Estados Unidos. 32,93%
b) no máximo um grande furacão atinja a porção continental dos Estados Unidos. 87,81%
c) mais de um grande furacão cause devastação na porção continental dos Estados Unidos.
12,19%
6) Suponha que o número médio de acidentes com fogos de artifício ocorridos por ano, em uma cidade, é de 5 por 100.000 pessoas. Determinar a probabilidade de que, em uma cidade de 200.000 habitantes, haja:
a) nenhum acidente. 0,00454%
b) dois acidentes. 0,227%
c) mais de dois acidentes. 99,72%
Dica: Para uma cidade com 200.000 habitantes, a média será o dobro da média para uma cidade com 100.000 habitantes.
7) O número de falhas em uma transmissão de dados é uma variável aleatória de Poisson, com uma média de 0,5 falha por hora. Qual é a probabilidade de que:
a) não haja falhas de transmissão durante 5 horas? 8,21%
Dica: Para 5 horas de transmissão, a média será cinco vezes a média para uma hora. b) ocorram no mínimo três falhas em um período de 12 horas? 93,80%
Dica: Para 12 horas de transmissão, a média será doze vezes a média para uma hora