Distribuição de rugosidade e extremos locais

A nossa discussão sobre universalidade além dos expoentes de escala foi até aqui mais voltada para o regime de crescimento da rugosidade. Já as distribuições locais que vamos discutir nesta subseção estão relacionadas com as flutuações estacionárias das superfícies. Essas distribuições são definidas através de medidas em janelas, como brevemente discutido na subseção 2.4.1. Dada uma quantidade de interesse X, definimos a distribuição local dessa

2.6 Universalidade além dos expoentes de escala [a\

grandeza dividindo o sistema em janelas de tamanho l. Assim, em cada uma dessas janelas, essa variável assumirá um valor Xi. Estudando as flutuações dessa grandeza nessas janelas

obtemos a distribuição Pl(X), onde deixamos evidente que essa distribuição deverá depender

do tamanho da janela. Então, a distribuição de rugosidade quadrática local é simplesmente a distribuição da flutuação de w2

i ≡ ¯h2− ¯h2, onde essas barras representam médias realizadas

dentro da janela indexada por i. Já as de extremos relativos são obtidas tomando a maior altura dentro da janela em relação à média, Mi= hmax−¯h, ou a menor altura, mi= hmin−¯h,

que produzem as distribuições de máximos locais e mínimos locais, respectivamente.

A primeira vista, essas distribuições podem parecer pouco relevantes, já que, por exem- plo, o segundo cumulante da distribuição de rugosidades quadráticas é basicamente a “rugosi- dade da rugosidade”. Além disso, a análise dos expoentes, distribuições de altura e covariâncias deve ser suficiente para relacionar a dinâmica de uma interface com uma das classe de uni- versalidade. No entanto, medidas experimentais são frequentemente difíceis de se interpretar, por isso normalmente é necessário procurar uma coerência entre diversas medidas distintas para se classificar precisamente um dado fenômeno. Por isso, trabalhos recentes reportando interessantes realizações experimentais da classe KPZ [8,20,21,23,86] e outras [87] em d = 2 tem feito uso de ambas as distribuições (de rugosidade e extremos) para fortalecer suas con- clusões. Nesse sentido é importante obter diversas propriedades universais para cada classe afim de aumentar as possibilidades de comparação.

A distribuição de extremos tem uma aplicação muito interessante no contexto de ca- tástrofes, porque ela está relacionada a eventos raros que normalmente são desconsiderados, e que podem resultar em consequências drásticas. Por exemplo, analisando a distribuição de alturas extremas de um rio é possível calcular um número esperado de enchentes por ano, ou fazer o caminho contrário e canalizar o córrego com vazão suficiente tal que seja esperada uma enchente por década ou algo assim. Para variáveis descorrelacionadas a forma da distribuição de extremos depende apenas da cauda da distribuição em questão, sendo uma distribuição de Weilbull se a cauda decair com uma lei de potência até um corte, uma distribuição de Fréchet quando ela decai com lei de potência sem limite superior, ou uma distribuição de Gumbel se a cauda decair mais rápido que uma lei de potência. Uma discussão mais detalhada sobre distri- buições de extremos em variáveis descorrelacionadas pode ser encontrada em [88]. No contexto de dinâmica de interfaces essa distribuição tem sido razoavelmente explorada para diversas classes de universalidade [89–95]. Já a distribuição de rugosidade começou a ser estudada após os trabalhos [96–98], onde foi demonstrado que a distribuição de rugosidade também é universal. Desde então, ela tem sido explorada em diversos outros trabalhos [99–101].

Para a classe EW em d = 1, o cálculo analítico da distribuição de rugosidade quadrática com condições de contorno periódicas foi obtida em [96,102]15_{. Contudo, esse resultado para}

a rugosidade global não se aplica à flutuação da rugosidade em janelas, pois nessas janelas não haverá condições de contorno periódicas mesmo se o sistema for globalmente periódico. Alguns anos depois a distribuição de rugosidades seria calculada em [103] para condições de contorno abertas. Nessa referência, os autores calculam a distribuição de rugosidade para perfis de distribuição Gaussiana com diferentes α’s, o que se aplica naturalmente às classes EW e MH. Em uma dimensão a classe KPZ acaba sendo contemplada, dado que no estado estacionário ela possui as mesmas flutuações que a classe EW.

Por sua vez, a distribuição de extremos foi obtida para EW/KPZ em d = 1 com condições de contorno periódicas por Majundar e Comtet em [91]. Essas distribuições foram

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Essa condição de contorno considera que em um sistema de tamanho L temos h(x) = h(x + L). Qualita- tivamente é como se o sistema fosse um anel de perímetro L (em d = 1). Essa condição de contorno é muito comum em simulações por reduzir os efeitos de tamanho finito.

2.7 Universalidade além dos expoentes de escala [a\

comparadas com experimentos de cristal liquido e simulações [22], onde uma concordância muito boa foi verificada. É curioso notar que, ao contrário da distribuição de rugosidade, a distribuição de extremos obtida com condições de contorno periódicas concorda bem com resultados das distribuições de extremos locais. A razão disso é que enquanto na distribuição de rugosidade todos os sítios dentro da janela tem igual importância, na distribuição de extremos temos um único sítio mais relevante que os demais, e por isso provavelmente a condição de contorno seja menos relevante.

(a) (b)

Figura 2.14: (a) Distribuições de rugosidade quadrática local de diferentes modelos da classe KPZ em uma e duas dimensões (símbolos). Em uma dimensão, comparamos com a curva teórica obtida por Antal et al. (linha sólida). (b) Comparação da distribuição de máximos locais relativos obtida por Majundar e Comtet (linha sólida) com resultados de modelos da classe KPZ em uma dimensão. Retiradas da Ref. [104].

A título de ilustração, apresentamos na Fig. 2.14 a forma dessas distribuições para a classe KPZ em uma e duas dimensões.