DISTRIBUIÇÃO NÃO-UNIFORME DOS NÓS

A análise do EFG utilizando distribuições não-uniformes dos nós foi realizada em uma barra com comprimento unitário com um único ponto de Gauss em cada célula de integração, três concentrações nodais (11, 51 e 101 nós), três funções peso (cúbica spline, quártica spline e quinta ordem spline) e variando-se o valor de dmax. A distribuição não- uniforme de nós é feita segundo o seguinte algoritmo:

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Para um domínio com 11 nós, a Figura 4.46 mostra um esquema da distribuição de nós e pontos de integração seguindo as relações apresentadas no algoritmo.

Figura 4.46 - Distribuição não-uniforme de 11 nós e 11 pontos de Gauss no domínio:

x pontos de Gauss e ׀ nós do domínio.

Da Figura 4.47 à Figura 4.49 são apresentados os números de condição para k igual a 2 e 3 utilizando as funções peso cúbica, quártica e quinta ordem spline.

(a) (b)

Figura 4.47 - Número de condição para domínios com 11, 51 e 101 nós utilizando a função peso cúbica spline e k igual a (a) 2 e (b) 3.

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(a) (b)

Figura 4.48 - Número de condição para domínios com 11, 51 e 101 nós utilizando a função peso quártica spline e k igual a (a) 2 e (b) 3.

(a) (b)

Figura 4.49 - Número de condição para domínios com 11, 51 e 101 nós utilizando a função peso de quinta ordem spline e k igual a (a) 2 e (b) 3.

A Figura 4.50 e a Figura 4.51 mostram, respectivamente, para k igual a 2 e 3 as normas do erro dos campos de deslocamento e de deformação, empregando três concentrações nodais e as funções peso cúbica, quártica e quinta ordem spline. Estas normas seguem, em geral, o comportamento dos números de condição mostrados da Figura 4.47 à Figura 4.49.

A Figura 4.52 mostra os domínios de influência centrados no sexto e nono pontos de integração, quando k é igual a 2. Para o primeiro destes domínios, cx é igual a 0,025 unidade de comprimento e nenhum nó é adicionado a este domínio de influência mesmo quando dmax passa a ser igual a 4,0. Por outro lado, centrando-se dm no nono ponto de

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Gauss cx é igual a 0,075 unidade de comprimento. Assim, quando dmax é igual a 4,0 (dm

igual a 0,3) dm passa a ter 5 nós ao invés dos 2 pertinentes a dmax igual a 1,0.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 4.50 - Normas dos campos de deslocamento e de deformação para k igual a 2. (a) (b) Função peso cúbica, (c) (d) quártica e (e) (f) de quinta ordem.

Alguns domínios de influência, p.ex. centrado no sexto ponto, possuem derivadas elevadas pelo fato do valor de cx ser pequeno. Contudo, determinados domínios de influência

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apresentam perda da localidade por cx ser proporcionalmente grande, p.ex. centrado no nono ponto. A matriz global é afetada pelos dois efeitos descritos em uma mesma simulação, uma vez que a distribuição utilizada é não-uniforme.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 4.51 - Normas dos campos de deslocamento e de deformação para k igual a 3. (a) (b) Função peso cúbica, (c) (d) quártica e (e) (f) de quinta ordem.

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Figura 4.52 - Domínios de influência centrados no sexto e nono pontos de Gauss pertinentes a integração da matriz K: k igual a 2, dmax igual a 1 e distribuição nodal não-

uniforme.

A Figura 4.53 mostra para k igual a 2, o domínio de influência centrado no sexto nó. Assumindo valores de dmax até 3,0, este domínio de influência passa suas informações apenas para regiões à sua esquerda, fato que não ocorre na distribuição uniforme. Para valores de dmax grandes, passa a ocorrer o efeito da perda da localidade nas aproximações feitas.

Figura 4.53 - Domínio de influência centrado no sexto durante o cálculo do deslocamento:

dmax igual a 1,0, k igual a 2 e domínio com 11 nós não-uniformemente distribuídos. Para k igual a 2, as respostas obtidas com as distribuições não-uniformes de nós são, em geral, piores do que aquelas obtidas com distribuições uniforme, para os mesmos valores de dmax, conforme os resultados apresentados na Figura 4.50 e na Figura 4.51. Isso porque: (a) para valores de dmax até 3,0 e distribuição de nós não-uniforme, os domínios de influência centrados nos nós mais internos apresentam apenas dois nós ponderados, conforme mostrado na Figura 4.53. Assim, as informações são passadas somente em uma direção do domínio. (b) Domínios de influência com tamanhos bastante diferentes levando ao acúmulo, em uma mesma simulação, tanto do efeito da perda da localidade como também de valores elevados para as derivadas decorrentes de domínios de influência pequenos.

Para dmax igual a 1,0 nenhuma resposta é obtida, pelas mesmas razões já apresentadas para o caso com distribuição uniforme. Verifica-se que para k igual a 3 e distribuição de nós não-uniforme as respostas, em geral, melhoram com o aumento da ordem da função peso,

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Figura 4.51. Contudo, as respostas não são consideradas satisfatórias para nenhum dos testes realizados, visto que o campo de deformação apresenta erros superiores a 10-1_.

A Figura 4.54 mostra para k igual a 3, os domínios de influência centrados no sexto e no nono ponto de Gauss durante a integração da matriz de rigidez, K. Estes domínios de influência têm cx, respectivamente, igual a 0,175 e a 0,125 unidade de comprimento. Nota- se que, neste caso, a variação no tamanho dos domínios de influência é menor do que a apresentada no caso onde k é igual a 2.

Figura 4.54 - Domínio de influência centrado no sexto e nono pontos de Gauss durante a montagem da matriz global: k igual a 3, dmax igual a 1 e domínio com 11 nós. A Figura 4.55 mostra para k igual a 3, o domínio de influência centrado no sexto nó pertinente ao cálculo do deslocamento. O acréscimo de um nó no critério de busca leva a um aumento no tamanho de dm, permitido que as informações sejam passadas nos dois sentidos da barra. Desta forma, as respostas para k igual a 3 são, em geral, melhores do que as encontradas para k igual a 2.

Figura 4.55 - Domínio de influência centrado no sexto nó durante o cálculo do deslocamento: k igual a 3, dmax igual a 1,0 e domínio com 11 nós.

O comportamento da função de forma e peso, assim como, de suas derivadas é mostrado, para k igual a 2 e 3 da Figura 4.56 à Figura 4.59. Estes resultados são pertinentes ao processo de integração da matriz de rigidez K, empregando o fator de escala dmax igual a 1,5 e a 4,0. O comportamento dessas funções durante o cálculo do campo de deslocamento é mostrado da Figura 4.60 à Figura 4.63, utilizando os parâmetros de ajustes supracitados.

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Diferentemente do caso com distribuição uniforme de nós, verifica-se variações na amplitude das derivadas das funções peso e de forma para um dado nó quando k é igual a 2, conforme apresentado na Figura 4.56, Figura 4.57, Figura 4.60 e Figura 4.61. Tal comportamento decorre do fato dos domínios de influência apresentarem grandes variações em seu tamanho, conforme mostrado na Figura 4.52 e na Figura 4.53.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.56 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo da matriz global: função peso cúbica, k igual a 2 e dmax igual a 1,5.

Para k igual a 3, conforme verificado na Figura 4.58, Figura 4.59, Figura 4.62 e Figura 4.63 e, as variações entre os valores máximos e mínimos da derivada da função peso e de forma, para cada nó, não são tão acentuadas quanto para o caso onde k é igual a 2. Isso porque, para k igual a 3, os domínios de influência não apresentam variações tão significativas em seus tamanhos, conforme mostrado na Figura 4.54 e na Figura 4.55.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.57 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo da matriz global: função peso cúbica, k igual a 2 e dmax igual a 4,0.

Para k igual a 2, o alargamento do domínio de influência por meio do fator de escala dmax

leva a uma pequena diminuição na variação entre o valor máximo e mínino das derivadas para um dado nó. Primeiro, por cx ser pequeno, para alguns domínios. Assim, mesmo

aumentando o valor de dmax não ocorre um acréscimo significantivo no tamanho de dm (dm

praticamente não varia). Segundo, porque o aumento de dmax proporciona uma ampliação

um pouco mais expressiva no tamanho dos domínios de influência (dm cresce) com valores maiores de cx.

Para k igual a 3, ocorre uma diminuição um pouco mais acentuada dos valores extremos das derivadas com o aumento de dmax, pois os valores de cx são maiores do que os

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encontrados em k igual a 2, fazendo com que dm cresça de forma mais significativa em todos os domínios de influência com o aumento de dmax.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.58 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo da matriz global: função peso cúbica, k igual a 3 e dmax igual a 1,5.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.59 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo da matriz global: função peso cúbica, k igual a 3 e dmax igual a 4,0.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.60 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo do campo de deslocamento: função peso cúbica, k igual a 2 e dmax igual a 1,5.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.61 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo do campo de deslocamento: função peso cúbica, k igual a 2 e dmax igual a 4,0.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.62 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo do campo de deslocamento: função peso cúbica, k igual a 3 e dmax igual a 1,5.

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(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.63 - (a) Função peso e (c) de forma, bem como, (b) (d) de suas derivadas durante o cálculo do campo de deslocamento: função peso cúbica, k igual a 3 e dmax igual a 4,0.