4.3 Distribui¸c˜ oes cont´ınuas
4.3.4 A distribui¸c˜ ao de Weibull
A distribui¸c˜ao de Weibull de m´ınimos — a que alguns autores se referem como distribui¸c˜ao de Weibull — deve o seu nome ao apelido do f´ısico sueco Waloddi Weibull. Este utilizou-a em Weibull (1939a, 1939b) para representar a tens˜ao de ruptura de materiais e discutiu, posteriormente, a sua utilidade na modela¸c˜ao de outras v.a. em Weibull (1951).
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E o caso da resistˆencia do a¸co Bofors, do tamanho de cinzas industriais, da resistˆencia da fibra de algod˜ao indiano. Nessa mesma referˆencia ´e ilustrada a utiliza¸c˜ao da mistura de duas distribui¸c˜oes de Weibull na caracteriza¸c˜ao do comprimento da esp´ecie Cyrtoideae, do tempo at´e fatiga do a¸co do tipo St-37, da estatura dos adultos do sexo masculino nascidos nas Ilhas Britˆanicas, da largura das sementes da esp´ecie Phaseolus Vulgaris. Em Kao (1959) pode encontrar-se uma mistura de duas distribui¸c˜oes de Weibull a caracterizar o comportamento estoc´astico do tempo at´e falha de tubos de electr˜oes. Berrettoni (1964) tamb´em ilustrou o uso da distribui¸c˜ao de Weibull e da mistura de duas dessas distribuic˜oes na descri¸c˜ao de dados referentes: `a resistˆencia `a corros˜ao de placas com uma liga de magn´esio; `a classifica¸c˜ao de produtos defeituosos devolvidos, de acordo com o n´umero de semanas ap´os remessa; ao tempo at´e o derrame de pilhas; `a esperan¸ca de vida de produtos farmacˆeuticos; `a fiabilidade de motores descont´ınuos (reliability of step motors); e `a fiabilidade de condensadores de tant´alio s´olido.
Defini¸c˜ao 4.21 — Distribui¸c˜ao Weibull (biparam´etrica)
A v.a. T diz-se com distribui¸c˜ao de Weibull (biparam´etrica) com parˆametro de forma α (α > 0) e de escala δ (δ > 0) se, para t ≥ 0,
fT(t) = α δ t δ !α−1 exp " − t δ !α# (4.21) RT(t) = exp " − t δ !α# (4.22) λT(t) = α δ t δ !α−1 . (4.23)
Nesta caso ´e costume representar a distribui¸c˜ao de T de uma forma
mais abreviada: T ∼ Weibull(δ, α). •
Exerc´ıcio 4.22 — Considere T ∼ Weibull(δ, α).
a) Elabore gr´aficos da f.d.p., da f. de fiabilidade e f. taxa de falha da distribui¸c˜ao Weibull(1, α), α = 0.25, 1, 2, 4 (Martz e Waller (1982, p. 91)), fazendo uso do seguinte package do Mathematica << Statistics ` ContinuousDistributions` .
b) Obtenha a express˜ao geral para o quantil de ordem p e prove que o valor esperado e a variˆancia de T s˜ao dadas por E(T ) = δ Γα1 + 1 e V (T ) = δ2 hΓα2 + 1− Γ2(1
α + 1) i
, respectivamente.
Sugest˜ao: Calcule o momento de ordem k (k = 1, 2) efectuando para o efeito a mudan¸ca de vari´avel y = (t/δ)α e recordando que Γ(s) = R+∞
0 ys−1e−ydy, s > 0. •
A distribui¸c˜ao de Weibull, por possuir um parˆametro de forma, ´e caracterizada por uma f.d.p. que pode tomar uma grande diversidade de aspectos como se ilustrou no Exerc´ıcio 4.22. Quando o parˆametro de forma pertence ao intervalo (0, 1], o aspecto da f.d.p. ´e em J invertido; nesta situa¸c˜ao a f.d.p. ´e mon´otona decrescente e a moda coincide com a origem. Caso o referido parˆametro perten¸ca a (1, +∞) a f.d.p. ´e unimodal com moda definida, segundo Johnson e Kotz (1970, p. 251), por mo(T ) = δ α−1α 1/α.
A popularidade da distribui¸c˜ao de Weibull deve-se a esta excepcional flexibilidade: engloba a distribui¸c˜ao exponencial (α = 1) e a distribui¸c˜ao Rayleigh (quando δ ´e substitu´ıdo por √2δ) e
decrescentes, dependendo do valor do parˆametro de forma como se pˆode ver no Exerc´ıcio 4.22 e se ilustra na tabela seguinte.
Parˆametro de forma F. taxa de falha
0 < α < 1 Decrescente T ∈ DHR
α = 1 Constante T ∈ CHR
α > 1 Decrescente T ∈ IHR
N˜ao surpreende pois que a distribui¸c˜ao de Weibull seja provavelmente a distribui¸c˜ao mais utilizada no dom´ınio da fiabilidade, a seguir `a distribui¸c˜ao exponencial, e se encontre na maior parte dos textos de introdu¸c˜ao `a estat´ıstica e `a fiabilidade.
Exerc´ıcio 4.23 — Foram registados os seguintes 9 tempos at´e falha (em anos) de um heat exchanger used in the alkylation unit3 de uma refinaria de gasolina: 0.41, 0.58, 0.75, 0.83, 1.00, 1.08, 1.17, 1.25 e 1.35 (Martz e Waller (1982, pp. 395–396)).
a) Determine a estimativa de MV de δ assumindo que o parˆametro de forma ´e conhecido e igual a α = 3.5.
b) Ap´os ter escrito as equa¸c˜oes de verosimilhan¸ca, determine numericamente as estimativas de MV de ambos os parˆametros δ e α.
Sugest˜ao: Considere como estimativas iniciais do procedimento de pesquisa as estimativas obtidas por recurso ao m´etodo dos momentos.
3The act or process of introducing one or more alkyl groups into a compound (as to increase
octane number in a motor fuel). An alkyl has a monovalent organic group and especially one CnH2n+1 (as methyl) derived from an alkane (as methane).
c) Obtenha estimativas da fiabilidade para per´ıodos de 1 ano e de 1 ano e 3 meses, recorrendo para tal `as estimativas obtidas nas
al´ıneas a) e b). •
A popularidade da distribui¸c˜ao de Weibull encontra uma justifica¸c˜ao n˜ao s´o pr´atica como tamb´em num dos mais surpreendentes resultados da teoria assint´otica de valores extremos: o teorema de Gnedenko na sua vers˜ao para o m´ınimo de um conjunto de v.a. i.i.d. (Para mais detalhes consulte-se Morais (1995, pp. 109–115).)
Nota 4.24 — Distribui¸c˜ao Weibull (tri-param´etrica)
H´a tamb´em a possibilidade de generalizar a distribui¸c˜ao Weibull de m´ınimos ao considerar-se a f.d.p. fT(t) = α δ t − η δ !α−1 exp " − t − η δ !α# , t ≥ η. (4.24)
Neste caso ´e frequente dizer-se que T possui distribui¸c˜ao de Weibull tri-param´etrica com parˆametros de localiza¸c˜ao, escala e forma iguais a η, δ e α, respectivamente — e representar a distribui¸c˜ao de T de uma forma mais abreviada: T ∼ Weibull(η, δ, α).
O parˆametro de localiza¸c˜ao corresponde mais uma vez ao per´ıodo de vida garantida ou per´ıodo de garantia da componente.
N˜ao existem raz˜oes matem´aticas que impe¸cam que este parˆametro seja negativo. Contudo, na maior parte das aplica¸c˜oes ´e costume ter-se
η ≥ 0. •
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E poss´ıvel estabelecer rela¸c˜oes entre a distribui¸c˜ao de Weibull e, pelo menos, duas outras distribui¸c˜oes (Johnson e Kotz (1970, p. 266)) como se poder´a ver no exerc´ıcio seguinte.
Exerc´ıcio 4.25 — Suponha que T ∼ Weibull(η, δ, α).
a) Prove que a potˆencia da v.a. T , Y = [(T − η)/δ]α, ´e uma v.a. com distribui¸c˜ao exponencial(1).4
b) Conclua que Y = α ln[(T − η)/δ] possui distribui¸c˜ao de Gumbel de m´ınimos com parˆametro de localiza¸c˜ao nulo e parˆametro de escala unit´ario.5
c) Prove por fim que Ti ∼i.i.d. T, i = 1, . . . , n, se e s´o se
T(1) ∼ Weibull(η, n1/αδ , α). •
Refira-se por fim que, entre os dom´ınios em que tem sido utilizada a distribui¸c˜ao de Weibull tri-param´etrica, conta-se tamb´em a optimiza¸c˜ao combinat´oria. Golden (1977) refere que McRoberts (1966), ao lidar com combinatorially explosive plant-layout problems, foi o primeiro autor a associar a distribui¸c˜ao de Weibull `a modela¸c˜ao probabil´ıstica de solu¸c˜oes aproximadas do problema do caixeiro viajante.6 Por tratar-se de um problema para o qual ainda se conjectura a inexistˆencia de algoritmos com tempo de execu¸c˜ao polinomial, o problema do caixeiro viajante tem vindo a ser abordado sob o ponto de vista estat´ıstico, com vista `a obten¸c˜ao de estimativas quer pontuais (Golden (1977)), quer intervalares (Golden e Alt (1979)) para o custo do solu¸c˜ao ´optima que corresponde ao parˆametro de localiza¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao de Weibull tri-param´etrica. Para mais detalhes consulte-se Morais (1998).
4Este resultado ser´a de extrema utilidade na caracteriza¸c˜ao distribucional de uma v.a. fulcral
para o parˆametro de escala quando os restantes parˆametros (localiza¸c˜ao e forma) s˜ao conhecidos.
5Autores como Engelhardt e Bain (1977) tiraram partido desta rela¸c˜ao para estimar os
parˆametros de escala e forma quando o parˆametro de localiza¸c˜ao ´e nulo.
6Nesta mesma referˆencia McRoberts sugeriu que a distribui¸c˜ao de Weibull tamb´em fosse
utilizada na modela¸c˜ao de solu¸c˜oes aproximadas de outros problemas de optimiza¸c˜ao combinat´oria: Cerdeira (1986) ´e disso um exemplo.
Textos de apoio: Morais (1995, pp. 109–115); Martz e Waller (1982, pp. 89–91).