Divisores

Divisores fornecem um m´etodo para se estudar fun¸c˜oes racionais, representando os seus zeros e p´olos (cuja defini¸c˜ao ser´a dada em breve).

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E interessente tra¸car um paralelo entre fun¸c˜oes em curvas el´ıpticas e fun¸c˜oes polino- miais de uma vari´avel. Uma fun¸c˜ao polinomial f (x) possui um conjunto de zeros, ou ra´ızes, dados pela equa¸c˜ao f (x) = 0. Sabendo-se os zeros de uma fun¸c˜ao, ´e poss´ıvel construir a fun¸c˜ao original, salvo um fator constante. Graficamente, pode-se representar f (x) como todos os pontos (x, f (x)); seus zeros podem ser representados por pontos x tal que f (x) = 0. Os pontos que formam o gr´afico de f (x) possuem duas coordenadas; j´a os pontos que formam suas ra´ızes, apenas uma (pois sabemos que y = 0).

Figura 2.4: Fun¸c˜ao polinomial f (x) = x2_{− x + 6 e seus zeros, em vermelho}

Exemplo 2.30. Considere a fun¸c˜ao f (x) = x2_{− x + 6 plotada na Figura 2.4. O conjunto} de pontos (x, f (x)) forma uma par´abola. O conjunto de pontos x tal que f (x) = 0 ´e {−2, 3}; s˜ao os zeros da fun¸c˜ao. Se multiplicarmos os polinˆomios das fun¸c˜oes das retas verticais que passam pelos zeros, tem-se

que ´e a fun¸c˜ao original.

Considere agora uma fun¸c˜ao f (x, y) em uma curva el´ıptica. Analogamente `a fun¸c˜ao polinomial, ela possui um conjunto de zeros dados pela equa¸c˜ao f (x, y) = 0. Sabendo-se os zeros de uma fun¸c˜ao em uma curva, ´e poss´ıvel construir a fun¸c˜ao original, salvo um fator constante. Graficamente, pode-se representar f (x, y) como todos os pontos (x, y, f (x, y)); seus zeros podem ser representados por pontos (x, y) tal que f (x, y) = 0. Compare com o caso anterior: como agora temos uma fun¸c˜ao com duas vari´aveis, ent˜ao f (x, y) e suas ra´ızes naturalmente possuem uma coordenada a mais.

Exemplo 2.31. Considere a fun¸c˜_{ao f (x, y) = 3x + 2y + 1 na curva el´ıptica E/R : y}2 ₌ x3 _{− x + 1 sobre o corpo dos n´umeros reais. Tal fun¸c˜ao est´a plotada na figura 2.5. O} conjunto de pontos (x, y) em E(R) tal que f (x, y) = 0 s˜ao {(−1, 1), (1/4, −7/8), (3, −5)}, os zeros da fun¸c˜ao. Note que tais pontos s˜ao os pontos de intersec¸c˜ao entre a fun¸c˜ao e a curva, assim com os zeros de uma fun¸c˜ao polinomial s˜ao os pontos de intersec¸c˜ao entre a fun¸c˜ao e a reta y = 0. Note tamb´em que o gr´afico n˜ao ´e uma superf´ıcie, como normalmente seria para uma fun¸c˜ao com dois parˆametros, devido `a restri¸c˜ao do dom´ınio aos pares (x, y) da curva el´ıptica.

Figura 2.5: Fun¸c˜ao f (x) = 3x + 2y + 1 na curva el´ıptica E : y2 = x3− x + 1 e seus zeros Embora a visualiza¸c˜ao em trˆes dimens˜oes de fun¸c˜oes em curvas el´ıpticas possa facilitar o entendimento, ela n˜ao ´e estritamente necess´aria. Como estamos interessados apenas

nos zeros da fun¸c˜ao, pode-se pensar da seguinte forma. Continuando o exemplo acima, podemos achar os zeros de f (x) em E primeiramente tra¸cando o gr´afico de f (x, y) = 0 para qualquer x, y (todos os zeros da fun¸c˜ao), para ent˜ao tra¸car o gr´afico de E e achar a intersec¸c˜ao de ambos. Tais pontos ser˜ao os zeros de f que tamb´em est˜ao em E. Tal gr´afico est´a ilustrado na figura 2.6.

Figura 2.6: Zeros da fun¸c˜ao f (x) = 3x + 2y + 1, curva el´ıptica E : y2 _{= x}3_{− x + 1 e zeros} da fun¸c˜ao na curva

Sabe-se que uma reta n˜ao vertical cruza uma curva el´ıptica em trˆes pontos, o que confirma termos encontrado trˆes zeros para f (x, y). Por´em h´a um detalhe adicional que ser´a apenas citado por requerer geometria projetiva para se demonstrar. Toda reta vertical tamb´em cruza com o ponto no infinito com multiplicidade dois, e demais retas cruzam com o ponto no infinito com multiplicidade trˆes. Tais pontos s˜ao denominados p´olos da fun¸c˜ao. Tem-se, portanto, que no exemplo anterior f possui trˆes p´olos em ∞. Pode-se agora introduzir a defini¸c˜ao de divisor.

Defini¸c˜ao 2.32. Um divisor em uma curva el´ıptica E(K) consiste em uma soma formal a1hP1i + . . . + anhPni onde ai s˜ao inteiros e Pi ∈ E(K).

O conceito de “soma formal” significa que o divisor ´e apenas um m´etodo de se listar pontos com certos inteiros associados a eles, e que n˜ao se deve calcular a soma de fato. Divisores podem ser somados e subtra´ıdos de modo an´alogo a polinˆomios.

Defini¸c˜ao 2.33. O divisor de uma fun¸c˜ao f (x, y) em uma curva el´ıptica E(K) consiste em uma soma formal a1hP1i + . . . + anhPni onde ai ´e a multiplicidade do ponto Pi se ele for um zero de f ou ´e o negativo da multiplicidade de Pi se ele for um p´olo de f . O divisor de uma fun¸c˜ao f ´e denotado por div(f ).

Pode-se ver que o conjunto de divisores de fun¸c˜oes em uma curva el´ıptica est´a contido no conjunto de divisores em uma curva el´ıptica. O m´etodo para se encontrar a multipli- cidade de um zero est´a detalhado, por exemplo, em [78, Se¸c˜ao 11.1]; mas n˜ao ´e relevante para este estudo.

Exemplo 2.34. O divisor da fun¸c˜ao f do Exemplo 2.31, cujos zeros eram (−1, 1), (1/4, −7/8) e (3, −5) ´e

div(f ) = 1h(−1, 1)i + 1h(1/4, −7/8)i + 1h(3, −5)i − 3h∞i .

O conceito de divisor pode ser facilmente estendido para fun¸c˜oes racionais em curvas el´ıpticas.

Defini¸c˜ao 2.35. O divisor de uma fun¸c˜ao racional f (x, y) = g(x, y)/h(x, y) em uma curva el´ıptica E(K), onde g e h s˜ao fun¸c˜oes em E(K), ´e calculado por div(f ) = div(g)−div(h). Em outras palavras, os zeros de uma fun¸c˜ao racional s˜ao os zeros do numerador e os p´olos do denominador, e os p´olos de uma fun¸c˜ao racional s˜ao os p´olos do numerador e os zeros do denominador.

Exemplo 2.36. Sejam g(x, y) = x − y + 2, h(x, y) = x + 1 e f (x, y) = g(x, y)/h(x, y) fun¸c˜_{oes em E(R) : y}2 _{= x}3_{+ 2x + 4. A reta g(x, y) = 0 cruza a curva el´ıptica nos pontos} (0, 2), (2, 4) e (−1, 1), portanto div(g) = 1h(0, 2)i + 1h(2, 4)i + 1h(−1, 1)i − 3h∞i. A reta (vertical) h(x, y) = 0 cruza a curva el´ıptica nos pontos (−1, 1) e (−1, −1), portanto div(h) = 1h(−1, 1)i + 1h(−1, −1)i − 2h∞i. Logo, div(f ) = div(g) − div(h) = 1h(0, 2)i + 1h(2, 4)i − 1h(−1, −1)i − 1h∞i.

Por outro lado, algo similar pode ser dito para o produto de duas fun¸c˜oes. O divisor de uma fun¸c˜ao f (x, y) = g(x, y)h(x, y) ´e calculado por div(f ) = div(g) + div(h). Isso ´e f´acil de se observar: o produto de duas fun¸c˜oes possui como zeros os zeros de ambas as fun¸c˜oes; o mesmo se aplica para seus p´olos.

O seguinte teorema mostra que divisores de fun¸c˜oes racionais possuem uma forma especial.

Teorema 2.37. [78, Proposi¸c˜ao 11.1, Teorema 11.2] Um divisor a1hP1i + . . . + anhPni ´e o divisor div(f ) de uma fun¸c˜ao racional f (x, y) em E(K) se e somente se a1P1+. . .+anPn = ∞ e a1+ . . . + an= 0.