Double scaling limit para a localização fraca

4.2 Double scaling limit para a localização fraca

No capítulo anterior estudamos o limite difusivo quando este é realizado por um double scaling limit, onde a supressão dos modos de FP é responsável pelo aparecimento de uma nova universalidade para o regime metálico. Vamos estender esta análise para a correção LF.

Se realizarmos odouble scaling limitfazendoN→ ∞e mantendoζ=ζ_cpara a condutância G^wle a potência de ruído de disparoP^wlnas equações (4.27) e (4.28), obtemos

G^wl= −1−r

2 · 3! , P^wl= 2(2−9r)

15 · 4! . (4.31)

Observe que os valores obtidos dependem somente do parâmetrorda topologia. A dependência ainda é linear, mas difere da apresentada em (4.29). Se realizarmos o mesmo double scaling limitna correção LF dos próximos cumulantes

q^wl₃ = 247−305r

6 · 7! , q^wl₄ = −48+85r

15 · 7! , q^wl₅ = 16(−1073+1178r)

99 · 8! , (4.32)

onde verificamos a dependência linear não-trivial com o número de alçasr.

Podemos realizar odouble-scaling limit, para um valor arbitrário deλ, através de N→ ∞ eζ=ζc/λna correção LF da função geratriz dos cumulantes da rede heterogênea apresentada na subseção 4.1.3 na pág.111, onde utilizamos a expansão dos pseudopotenciais θ e ψ em potências de N⁻¹ conforme a eq. (3.82). Após manipulações algébricas, obtemos a correção LF da função geratriz dos cumulantes para o regime difusivo anômalo como

S^wl_λ (φ)= 2−β 2β ln

"

(1+λcos ¯φ_λ) sin λsin ¯φ_λ λsin ¯φ_λ+λsin ¯φ_λ

φ−φ¯_λ sin φ−φ¯_λ

!r#

, (4.33)

onde ¯φ_λ=φ¯Θ(1−λ)+0⁺eφ=φ¯+λsin ¯φ. Note que paraλ >1, obtemos resultado do regime difusivo usual

S^wl_λ>1(φ)= 2−β 2β ln φ

sinφ

!r

, (4.34)

o qual, parar=1, pode ser obtida da correção LF da função geratriz da cadeia linear homogê-nea, na eq. (4.21) quando realizamos diretamente o limite do contínuo,N→ ∞. Este resultado também pode ser obtido a partir da função geratriz de uma cadeia linear homogênea com jun-ções de tunelamento (com transparênciasT 1) (ver [43]). Perceba que há várias rotas para estabelecer o resultado (4.34), desde que não ocorra a supressão dos modos de Fabry-Perot, i.e.

ν(0)=finito.

4.2 DOUBLE SCALING LIMITPARA A LOCALIZAÇÃO FRACA 116 Para 0< λ61, a função geratriz expressa em (4.33) exibe uma dependência não-trivial no parâmetro da topologia r. Da expressão para a pseudocorrente I_λ^wl(φ)=−2∂S^wl_λ (φ)/∂φ e das definições das eqs.(4.16) e (4.17), calculamos as correções LF dos cumulantes de transferência de cargan

q^wl_n (λ)o

para umλqualquer

q^wl_n (λ)=(q^wl_n )_fio

"

r+ Θ(1−λ) 2λ²

(1+λ)³ⁿa_n(λ)− r

(1+λ)³ⁿ⁻¹b_n(λ)

! #

, (4.35)

onde os coeficientes{a_n(λ)}e{b_n(λ)}são mostrados nas eqs.(A.7) e (A.8) do Apêndice A. Para λ=1, obtemos os cumulantes mostrados em (4.31) e (4.32). Observe que todos os cumulantes q^wl_n (λ) exibem uma descontinuidade em λ=1, o que é consistente com a existência de uma transição de primeira ordem entre o metal usual e o metal anômalo emλ→1, em concordância com a análise do ponto de sela.

No limite de supressão forte dos modos de FP, ou seja,λ1, podemos calcular a correção de localização fraca dos primeiros cumulantes de transferência de carga da eq. (4.35) como

q^wl₁ (λ→0)−2+r

3 λ², q^wl₂ (λ→0)−(2+r)λ² e q^wl₃ (λ→0)−7(2+r)

3 λ² (4.36) Realizando limite de supressão forte diretamente sobre a correção de LF dos cumulantes de transferência de carga do regime difusivo mostrada em (4.33), obtemos

S^wl_λ→0(φ)= 2−β 2β

(2+r)

6 λ²sin²φ, (4.37)

a partir desta função, podemos obter diretamente a correção de localização fraca dos cumulan-tes de transferência de carga. Para a classe de simetria de índice β=1, é possível verificar os cumulantes mostrados em (4.36).

4.2.1 Sistemas NS e comportamento anômalo

Na pág.85, apresentamos uma prescrição de cálculo para os cumulantes de Andreev, onde introduzimos uma pseudocorrenteINS(φ) para o sistema NS em termos da pseudocorrente cor-respondente do sistema NN na eq .(3.103). Estendemos aqui esta prescrição para o cálculo da correção LF dos cumulantes do processo de contagem de reflexões de Andreev para o sistema NS.

A correção LF da ação para um sistema NN com simetrias RT e RS no regime difusivo

4.2 DOUBLE SCALING LIMITPARA A LOCALIZAÇÃO FRACA 117 usual é dado pela eq.(4.34) para a topologia de r alças. Aplicando a eq. (3.103), obtemos a açãoS^wl_NS(φ) para o sistema NS correspondente

S^wl_NS(φ)= r onde ajustamos a constante aditiva para queS^wl_NS(0)=0. Obtemos a pseudocorrente correspon-denteI_NS^wl (φ) como

Com o auxílio de (4.16) e (4.17) para a pseudocorrente I_NS^wl (φ), calculamos os três primeiros cumulantes de Andreev para o regime metálico (λ >1), obtendo

G^wl_NS =2q1=r 4 que estão de acordo com as refs. [79, 115] e com a teoria DMPK para o caso do fio quântico (r=1).

Devemos, agora, calcular os cumulantes de reflexões de Andreev no regime difusivo quando suprimimos os modos de FP. A partir da ação para o sistema NN mostrado na eq. (4.33) para β=1 e 0< λ61, calculamos a pseudocorrente correspondente obtendo

I_NN^wl (φ,φ)¯ =−2dS(φ)

dφ =cotφ+ λsin ¯φ

(1+λcos ¯φ)²+λ(r−1) cos ¯φcot(φ−φ)¯ −rcot ¯φ

λcos ¯φ+1 , (4.41) onde ¯φ é relacionado aφ pela relação transcendentalφ=φ¯+λsin ¯φ. Usando a eq.(3.103) e a mudança de variáveis utilizadas em (3.111), obtemos a pseudocorrente I_NS^wl do sistema NS a partir de (4.41) a φ através da eq. (3.113) e são determinadas pela expansão em potências de = sinφ por (3.114). Com o mesmo procedimento realizado nessa seção, a partir de I_NS^wl (φ) calculamos explicitamente as correções dos dois primeiros cumulantes de Andreevn

q^wl_n (λ)o

para o regime

4.2 DOUBLE SCALING LIMITPARA A LOCALIZAÇÃO FRACA 118 metálico anômalo (0< λ61), obtendo

q^wl_n (λ)= J_n(λ,r,z) (z−1)ⁿz⁴ⁿ

(z−1)²−λ²n, (4.43)

ondez=1+λsinΨ^∗ eΨ^∗=λcosΨ^∗. Apresentamos os dois primeiros coeficientes do conjunto {J_n}são definidos nas eqs. (A.10a) e (A.10b) no Apêndice A.

Note que a expressão em (4.43) depende da relação transcendental para a variável auxiliar Ψ^∗. Usando a aproximação apresentada na eq. (3.119), podemos escrever os cumulantes como

q^wl_n (λ)=− 3(ω−1)(ω+1)² (ω+2)ⁿ(2ω²+5ω−1)⁴ⁿ

"

3rA˜_n(ω)

(ω³+3ω²+27ω+41)ⁿ+B˜_n(ω)

#

(4.44) ondeω= √

1+2λ². Definimos os primeiros coeficientes das coleções{A˜_n}e{B˜_n}relativos aos dois primeiros cumulantes em (A.11a)-(A.11d) no Apêndice A. Na Fig. 4.3 representamos os gráficos dos cumulantes em função do parâmetro de supressãoλ(para 0< λ61) para valores distintos do número r de braços. Verificamos nos gráficos os comportamentos distintos dos cumulantes de localização fraca dos reservatórios NN e NS. Como vimos, os cumulantes de correção de localização fraca apresentam uma dependência não-trivial com o númerorde alças quando suprimimos os modos de FP (0< λ61). Observamos também que a correção de LF dos cumulantes de LF exibem o fenômeno de antilocalização ou localização, conforme o valor do parâmetro de supressãoλpara qualquer valor do número de alçasr. Em contraste a correção de LF dos cumulantes de transferência de carga (em linhas tracejadas) não exibem mudança de sinal com mudanças do valor de λ, à excessão da curtose,C^wl, parar=1 em um pequeno intervalo do parâmetro de supressão, λ, conforme a Fig. 4.3(c). Ainda nas correções de LF dos cumulantes de Andreev, notamos que ocorre uma inversão na dependência do parâmetro r, de forma que sempre há um valor λ^∗_n do parâmetro de supressão, para o qual o cumulante q^wl_n

_λ=λ∗

n

é o mesmo para qualquer valor do númeror de alças. A partir de (4.43), calculamos numericamente o valor deλ^∗_ntal que ^∂q_∂λ^wln

_λ=λ∗

n

pelo conjuntoλ^∗₁'0.85,λ^∗₂'0.44 eλ^∗₃'0.25.

O limite de supressão forte dos modos de FP,λ→0, pode realizado na correção de LF dos cumulantes de reflexões de Andreev, a partir de (4.44) comoq^wl_n (λ→0)(2+r)/6λ²≡q0, para n>1. Esse conjunto de cumulantes pode ser obtido através do limiteλ→0 aplicado à pseudo-corrente, mostrada em (4.42) comoI^wl_NS(φ)=q₀sinφ. Realizando a expansão semiclássica das