ee Inferência sobre os parâmetros - Modelo de regressão de Co

Modelo de regressão de Co

2.5 ee Inferência sobre os parâmetros

Para fazer inferência sobre os parâmetros de regressão, tanto pela obtenção de intervalos de conança como pela realização de testes de hipóteses, é necessário conhecer a distribuição de amostragem do estimador de máxima verosimilhança parcial ˆβ. Nem sempre é possível obter a distribuição de amostragem exata para este estimador e por isso tem de se recorrer à teoria assintótica, pressupondo a vericação de certas condições de regularidade. Ficou provado matematicamente, recorrendo aos pro- cessos de contagem baseados na teoria das martingalas, que os estimadores obtidos a partir da função de verosimilhança parcial apresentam as mesmas propriedades distribucionais dos estimadores obtidos pela função de verosimilhança completa [Anderson, Borgan, Gill e Keiding (1993, Capítulo VII), e

Fleming e Harrington (1991, capítulo 4)]. Pode então dizer-se que:

1. ˆβ tem distribuição assintótica normal p-variada, ˆβ ∼a Np(β,I−1(β));

2. O estimador ˆβ é assintoticamente centrado já que E(ˆβ) ≈ β;

3. Sob a hipótese β = β0, a estatística de Wald satisfaz, (ˆβ − β0)0 I(β0) ( ˆβ − β0) ∼

a χ2_p. Assim, conclui-se que ˆβk∼

N (βk,EP( ˆβk)).

2.5.1eeTestes de hipóteses

Considerando novamente um modelo com p covariáveis e portanto p parâmetros de regressão, é possível realizar testes de hipóteses sobre estes com o objetivo de testar se as covariáveis têm efeito signicativo no tempo de vida. Os mais comuns são:

1. Teste da hipótese do efeito nulo da covariável zj, no tempo de vida,

H0 : βj = 0 vs Ha: βj 6= 0. (13)

2. Teste da hipótese do efeito nulo de um subconjunto de covariáveis de dimensão r ≤ p, no tempo de vida,

H0: βr=0 vs Ha: βr6=0. (14)

Estes testes permitem comparar modelos aninhados, ou seja, comparar submodelos do modelo original. Em (13) compara-se um modelo com p covariáveis com um modelo com p − 1 covariáveis, no qual foi removida a covariável zj cujo parâmetro correspondente é βj. Em (14) compara-se o modelo original

com um submodelo com p − r covariáveis, com 1 ≤ r ≤ p. Quando r = p, testa-se a hipótese de que nenhuma das p covariáveis tem um efeito signicativo no tempo de vida.

A comparação de modelos aninhados está na base da seleção de variáveis a incluir no modelo de re- gressão nal. Esta temática será abordada mais tarde.

Os testes mais usuais para testar as hipóteses anteriores são: o teste de Wald, o teste razão de verosi- milhanças e o teste score.

Teste de Wald

Num modelo com p covariáveis, a estatística do teste de Wald a aplicar quando se pretende testar as hipóteses em (13) é dada por,

W = βˆ 2 j c var( ˆβj) . (15)

Como, sob H0, ˆβj ∼

N (0,EP( ˆβj)), então W ∼

a χ2₁.

Para comparar modelos aninhados em que um inclui p covariáveis e o outro inclui apenas p − r cova- riáveis, a que correspondem as hipóteses em (14), a estatística de teste de Wald é,

W = ˆβ0 I( ˆβ) ˆβ, (16)

onde ˆβ é um vetor de dimensão r e I(ˆβ) é a submatriz simétrica de dimensão r×r referente aos parâ- metros considerados em H0. De realçar que (13) é um caso particular de (14) quando r = 1.

Sob H0 : βr =0, W ∼

χ2_r, com 1 ≤ r ≤ p. A hipótese nula é rejeitada ao nível de signicância α se o valor observado de W for superior ao quantil 1 − α de χ2

Teste razão de verosimilhanças

Para aplicar o teste razão de verosimilhanças, é necessário determinar os estimadores de máxima verosimilhança parcial sob H0 e sob Ha. No primeiro caso, o estimador é um vetor com dimensão p − r

e representa-se por ˜β. No segundo caso, o estimador é um vetor de p componentes e representa-se por ˆ

β. A estatística de teste é dada por

G = −2nl( ˜β) − l( ˆβ)o. (17) Sob H0, a distribuição assintótica desta estatística é um χ2 com número de graus de liberdade igual à

diferença entre o número de parâmetros dos modelos considerados em Ha e H0.

Assim, a hipótese nula é rejeitada ao nível de signicância α, se o valor observado de G for superior ao quantil 1 − α de χ2

r, em que r = p − (p − r).

Teste score

Seja ˆβ o estimador de máxima verosimilhança parcial sob Ha. Seja ˜β um vetor que toma o valor zero

para os r parâmetros considerados em H0 e que para os restantes parâmetros é tal que ˜β = ˆβ. A

estatística do teste score é,

U = µ(˜β)0_I−1_{( ˜}_{β)µ( ˜}_β), ₍₁₈₎

onde µ(β) é o estimador da função score denida em (9). Também aqui a hipótese nula é rejeitada ao nível de signicância α, se o valor observado de U for superior ao quantil 1 − α de χ2

É habitual usar-se o teste de Wald para testar individualmente se cada parâmetro é zero. Este procedi- mento torna-se bastante útil quando se está a construir o modelo, porque permite escolher as possíveis variáveis a serem eliminadas do modelo;

Os três testes costumam produzir resultados muito similares; no entanto, quando isso não acontece, deverá optar-se pelo teste de razão de verosimilhanças para tirar conclusões.

2.5.2eeIntervalos de conança

O intervalo de conança assintótico para cada um dos p parâmetros desconhecidos é obtido tendo em conta a distribuição assintótica de ˆβ. O intervalo de 100(1 − α)% de conança para βk (k = 1, · · · , p)

é dado por

ˆ_β

k− z1−α/2EP( ˆc β_k) ; ˆβ_k+ z_1−α/2EP( ˆc β_k)

, (19)

onde se( ˆb βk) é a estimativa do erro padrão de ˆβk e z1−α/2 é o quantil 1 − α/2 da distribuição N(0, 1). Por vezes existe interesse em determinar o intervalo de conança para cβk, c ∈ <. Como a distribuição

assintótica de c ˆβk é N(cβk, |c|σkk), o intervalo de conança para cβk (k = 1, · · · , p) é

c ˆβk− z1−α/2|c| cEP( ˆβk) ; c ˆβk+ z1−α/2|c| cEP( ˆβk)

. (20)

A partir de (19) pode obter-se o intervalo de 100(1 − α)% de conança para o risco relativo de morte para dois indivíduos i e j com vetores de covariáveis, zi = (zi1, · · · , zik, · · · , zip)0 e zj =

(zj1, · · · , zjk, · · · , zjp)0, que apenas diferem em relação à covariável zk numa unidade,

e ˆ βk−z1−α/2EPd( ˆβk) ; e ˆ βk+z1−α/2EPd( ˆβk) _! .

2.6eeEstimação de λ

(t), Λ

(t)

e S

(t)

Após a estimação dos parâmetros de regressão, interessa por vezes estimar a função de risco subjacente não especicada, λ0(t).

Dados os tempos de vida t1 < · · · < tm com instante inicial de observação t0 = 0, assuma-se que a

distribuição do tempo de vida tem uma função de risco constante entre quaisquer dois instantes de morte consecutivos, tj−1 e tj, e que entre eles todos os tempos censurados se consideram ocorridos em

tj−1. Assim, a estimativa de λ0(t)no intervalo (tj−1, tj]é dada por

ˆ λj = dj (tj− tj−1) P i∈Rj e_βˆ0_z i , (21)

em que dj e Rj representam, respetivamente, o número de mortes ocorridas e o conjunto de indivíduos

em risco no instante tj. O valor de ˆλj representa o quociente entre o número de acontecimentos

ocorridos e o número ponderado de pessoas em risco por unidade de tempo. Cada indivíduo em Rj

contribui com um peso exp(ˆβ0zi)no intervalo de tempo considerado.

O estimador de Breslow para a função de risco cumulativa subjacente em cada instante t é dado por, ˆ Λ0(t) = X tj≤t dj P i∈Rj e_βˆ0_z_i. (22)

Pela relação (2), em cada instante t, obtém-se então o estimador da função de sobrevivência subjacente, ˆ S0(t) = exp(− ˆΛ0(t)) = Y tj≤t exp     − dj P i∈Rj e_βˆ0_z_i     . (23)

Tendo-se obtido o estimador anterior, pode-se então estimar a função de sobrevivência para um indi- víduo com vetor de covariáveis z a partir de (7),

ˆ S(t; z) =h ˆS0(t) iexp( ˆβ 0 z) .

2.7eeObservações empatadas

A função de verosimilhança parcial apresentada em (8) foi considerada sob a condição dos tempos de vida observados serem todos distintos. A unidade de tempo escolhida é uma das razões para o pouco rigor na determinação do tempo e consequentemente para o aparecimento de tempos empata- dos. Quando há observações empatadas é necessário modicar a função de verosimilhança parcial, Kalbeisch e Prentice (1980) propuseram uma função de verosimilhança para este caso, mas esta é muito exigente do ponto de vista computacional. Felizmente existem aproximações desta função que exigem menor esforço computacional e que foram propostas por, Cox (1972), Peto (1972), Breslow (1974) e Efron (1977).

Sejam m tempos de vida distintos, t1 < t2< · · · < tm, observados numa amostra de dimensão n ≥ m,

onde a cada indivíduo i (i = 1, · · · , n) corresponde um vetor de covariáveis zi. Sejam dj o número de

mortes no instante tj, aj a soma dos vetores de covariáveis correspondentes aos dj indivíduos e Rj o

verosimilhança parcial é, L(β) = m Y j=1 eβ0aj " P i∈Rj eβ0zi #dj. (24)

Com função log-verosimilhança parcial, l(β) = m X j=1    β0aj− djln   X i∈Rj eβ0zi      (25) e derivadas parciais em ordem a βk,

∂l(β) ∂βk = m X j=1   ajk− dj P i∈Rj zikeβ 0_z i P i∈Rj eβ0zi    ∂2l(β) ∂β2 k = − m X j=1 dj     P i∈Rj z_ik2eβ0zi P i∈Rj eβ0zi −    P i∈Rj zikeβ 0_z i P i∈Rj eβ0zi    2   

A partir das expressões anteriores é possível ajustar o modelo de Cox e fazer inferência sobre os seus parâmetros de forma análoga ao que foi exposto nas secções anteriores. Quando dj = 1, (24) coincide

com (8).

No documento Análise de sobrevivência com acontecimentos múltiplos: aplicação ao estudo do tempo até à ocorrência de enfarte do miocárdio (páginas 35-40)