Efeitos do undercooling cinético: geometria radial

Para examinar o formato da estrutura de dedos viscosos no regime fracamente não linear e sob influência dos efeitos do undercooling cinético, seguiremos a abordagem proposta na Ref. [45]. Nossa análise se inicia reescrevendo a Eq. (2.11) em termos dos modos cossenos e senos, onde as amplitudes reais para estes modos podem, respectivamente, ser escritas como an=

ζn+ ζ−ne bn= i (ζn− ζ−n). Desta forma, a perturbação da interface adquire o formato ζ (ϕ,t) =

ζ₀+ ∑∞_n=1[an(t) cos(nϕ) + bn(t) sin(nϕ)], onde ζ0= −1/4R∑∞n=1[a2n(t) + b2n(t)]. Assim como

na Ref. [45], a fase do modo fundamental é escolhida de forma que an> 0 e bn= 0. Como

mencionado anteriormente, no contexto da nossa análise de modos acoplados, alargamento e estreitamento de dedos podem ser descritos considerando a influência do modo fundamental n no crescimento do seu primeiro harmônico 2n. Escrevendo as equações de movimento para os modos harmônicos, temos

˙a2n= λ (2n) a2n+1

2 T (2n,n) a

2

n, (2.16)

˙b2n= λ (2n) b2n, (2.17)

onde a função ponta de dedos é definida como

T (2n,n) = F(2n,n) + λ (n) G(2n,n). (2.18) Pelo fato do crescimento do modo seno b2n não ser influenciado pelo an e não possuir

acoplamentos de segunda ordem [Eq. (2.17)], nossa atenção será voltada para o crescimento do modo cosseno a2n, representado pela Eq. (2.16).

Mesmo sem resolver explicitamente a Eq. (2.16), apenas por inspeção é possível acessar informações valiosas a respeito do formato assumido pelos dedos emergentes da interface. É de conhecimento que a função T (2n,n) dita o comportamento dos dedos em suas extremidades [45]. Pela Eq. (2.16), perceba que, dependendo do sinal de T (2n,n), o termo de ordem a2_n pode desencadear o crescimento de a2ntanto positivamente quanto negativamente. Se T (2n,n) < 0, a2n

Figura 12 – Evolução temporal das interfaces. Um mesmo intervalo de tempo separa interfaces subsequentes. É considerada a interação de dois modos cosseno (an e a2n, com

n = 5) e valores crescentes de parâmetro de undercooling cinético c. Todos estes padrões evoluem até o mesmo tempo final de tf = 3.2 s, com 0 ≤ t ≤ tf. A região

em cinza representa o fluido 2 (mais viscoso).

induz a um crescimento negativo, fazendo com que o dedos invasores, que apontam para fora e correspondem ao fluido 1, adquiram formato mais largo e achatado em suas pontas. Isso favorece os eventos de bifurcação de dedos. Revertendo o sinal de T (2n,n), as conclusões anteriores também são revertidas. Se a função ponta de dedos é positiva, a2

ninduz a um crescimento positivo,

resultando assim num estreitamento dos dedos provenientes do fluido 1.

Para extrair, usando a abordagem fracamente não linear, as características morfológicas mais relevantes dos padrões de dedos viscosos, na Fig. 12, nós plotamos a evolução tempo- ral da interface para valores crescentes de parâmetro de undercooling cinético c. Todos os padrões evoluíram até o mesmo tempo final tf = 3.2 s e nós consideramos a interação do

modo fundamental n = 5 com seu primeiro harmônico 2n = 10. Neste gráfico, os valores usa- dos para os parâmetros foram Q = 3π cm2/s, η1 = 0, 0.5 ≤ η2 ≤ 7 g/(cm s), b = 0.15 cm,

10 ≤ σ ≤ 60 dyne/cm e R0= 1 cm. As amplitudes iniciais são an(0) = R0/100 e a2n(0) = 0. É

importante mencionar que apesar de usarmos valores moderados para o parâmetro de undercoo- ling cinético [0 ≤ c ≤ 400 g/(cm2_{s)], em princípio, tal grandeza pode assumir valores ainda}

maiores. Utilizando as múltiplas combinações possíveis de dados experimentais fornecidos pelas Refs. [1, 4, 11, 24, 26, 34, 39, 40, 89, 124, 125, 136, 137, 139–141], nós estimamos que c pode assumir valores da ordem de 103g/(cm2s).

Ao examinarmos a Fig. 12, fica evidente que o undercooling cinético desfavorece a formação de dedos como um todo e, em particular, parece suprimir a ocorrência da bifurcação da ponta dos dedos. Enquanto que a Fig. 12(a) apresenta formação de dedos de tamanho considerável e com eventos de bifurcação evidentes, as Fig. 12(b)-Fig. 12(d), plotadas para valores crescentes de c, exibem dedos de menor comprimento e os eventos de bifurcação não são mais observados. Mesmo que o fenômeno de bifurcação de dedos não tenha sido analisado na Ref. [133], nossos resultados fracamente não lineares, provenientes da análise da Fig. 12, estão em acordo com as simulações numéricas realizadas pela Ref. [133] para tempos avançados da dinâmica de evolução das interfaces. Nestas simulações numéricas, os pesquisadores concluíram que o undercooling

Figura 13 – Evolução temporal das interfaces. Um mesmo intervalo de tempo separa interfaces subsequentes. É considerada a interação de dois modos cosseno (an e a2n, com

n = 5) e valores crescentes de parâmetro de undercooling cinético c. Diferentemente da Fig. 12, aqui, os padrões evoluem até o maior tempo permitido τ [0 ≤ t ≤ τ], calculado pela Eq. (2.19): (a) 3.2 s, (b) 4.2 s, (c) 5.3 s e (d) 7.8 s. Note que a Fig. 12(a) é idêntica à Fig. 13(a). A região em cinza representa o fluido 2 (mais viscoso).

cinético atrasa a formação dos dedos.

Não obstante, pela Fig. 12, não fica evidente se o desenvolvimento da bifurcação de dedos é completamente suprimido ou simplesmente atrasado devido à ação do undercooling cinético. Para investigar esta relevante questão, na Fig. 13, nós usamos os mesmos valores para os parâmetros físicos e as mesmas condições iniciais utilizadas na Fig. 12, porém, agora, permitimos que cada um dos padrões evoluíssem até o maior tempo possível (t = τ) para o qual nossa abordagem fracamente não linear ainda permanece válida. Para determinar estes valores de τ, seguimos a abordagem originalmente proposta por Gingras e Rácz [146] para o regime linear e estendemos seu limite de aplicabilidade para o estágio fracamente não linear da evolução das interfaces. Na Fig. 13, cada um dos padrões pode evoluir até o tempo limite onde a base dos dedos começa a se mover em direção ao centro do padrão, o que resultaria num cruzamento sucessivo de interfaces. Como estes cruzamentos não são observados em experimentos [6, 24, 34, 39, 40, 125], seguiremos a abordagem da Ref. [146] e adotaremos o maior tempo possível antes da ocorrência de cruzamentos como o tempo limite de validade da nossa descrição teórica. Neste contexto, cada um dos padrões pode evoluir até um tempo final imediatamente anterior à ocorrência de cruzamentos de interface. A utilidade e efetividade deste critério foi demonstrada na Ref. [146].

Sendo assim, para nosso problema de injeção radial, o instante em que a velocidade da interface se torna negativa pela primeira vez nos dá o limite superior para o período no qual nossa descrição fracamente não linear é válida. Esta condição de validade pode ser matematicamente representada por _dR dt  t=τ = [ ˙R(t) + ˙ζ(θ ,t)]t=τ = 0. (2.19)

Note que, diferentemente do que foi feito na Ref. [146], nós calculamos a Eq. (2.19) levando-se em consideração as contribuições de segunda ordem para a perturbação da interface ζ (θ ,t), descritas pela nossa equação de modos acoplados (2.11).

Figura 14 – Comportamento de a2n(t)/R(t) com respeito ao an(t)/R(t) para a evolução dos

padrões mostrados na Fig. 12 e 13. É considerado tanto a ausência (c = 0) quanto a presença (c 6= 0) dos efeitos de undercooling cinético. Note que c é dado em unidades de g/(cm2_{s). Curvas sólidas correspondem às situações ilustradas na}

Fig. 12, onde 0 ≤ t ≤ tf, com tf = 3.2 s. Os pontos relacionados a este tempo final

são representados por círculos sólidos. Curvas tracejadas correspondem às situações mostradas na Fig. 13, associadas com os intervalos de tempo tf ≤ t ≤ τ, onde τ é

o maior tempo permitido para cada c e é calculado pela Eq. (2.19). Para um dado valor de c, o tempo t = τ é indicado por um círculo aberto.

O que observamos na Fig. 13 é um tanto quanto diferente do que encontramos na análise da Fig. 12: agora, apesar dos crescentes valores de c, verificamos a formação de dedos largos e com pontas achatadas. De fato, é possível identificar claramente nas Fig. 13(a)-Fig. 13(d) o crescimento de dedos que começam a bifurcar por meio da divisão em suas pontas. Isto acontece até mesmo para valores grandes de parâmetro de undercooling cinético, como podemos observar na Fig. 13(d). Na realidade, o evento de bifurcação é justamente mais evidente na Fig. 13(d). Estes resultados indicam que o undercooling cinético atrasa o início da divisão de dedos, no entanto nunca é capaz de suprimi-lo por completo.

Finalizamos esta seção apresentando a Fig. 14, a qual ilustra um plote paramétrico exibindo o comportamento da razão a2n(t)/R(t) em relação à an(t)/R(t) conforme o tempo avança. Este

gráfico corresponde às situações mostradas na Fig. 12 e na Fig. 13. As curvas sólidas descrevem as situações mostradas na Fig. 12 à medida que c é variado e para tempos no intervalo 0 ≤ t ≤ tf,

onde tf = 3.2 s. Para cada valor de c, o tempo final tf é indicado por círculos sólidos. Em

contrapartida, as curvas tracejadas estão relacionadas com a evolução temporal dos padrões mostrados na Fig. 13 para tempos no intervalo t_{f ≤ t ≤ τ. Para cada valor de c, o correspondente} valor do maior tempo permitido τ é representado por círculos vazados. É claro que tf coincide

com τ quando c = 0. Neste caso, o círculo sólido preto se superpõem com o círculo preto vazado, de forma que, na Fig. 14, somente o círculo sólido preto é visível.

O tipo de gráfico ilustrado na Fig. 14 é bastante conveniente para comparar as morfologias na presença e na ausência do undercooling cinético, uma vez que a razão an(t)/R(t) está relacionada

com o tamanho médio e com a simetria rotacional estabelecida pelo modo n = 5 nos padrões resultantes. Por sua vez, a razão a2n(t)/R(t) determina a morfologia típica da ponta dos dedos,

controlando se os mesmos ficam largos e dividem-se ou se ficam estreitos e crescem mais agudos. Analisando os círculos sólidos na Fig. 14, é possível verificar de forma quantitativa o efeito de atraso proporcionado pelo undercooling cinético, evidenciado inicialmente na Fig. 12. Para grandes valores de c, os círculos sólidos indicam menores magnitudes em ambas as amplitudes de perturbação an(t) e a2n(t) para o mesmo tempo final tf de evolução temporal da interface

fluido-fluido. Fica claro também que, conforme an(t)/R(t) aumenta, a2n(t)/R(t) tende a ficar

mais negativa. Esta é exatamente a fase do harmônico que favorece o alargamento e eventos de bifurcação de dedos. Além disso, para um dado valor de an(t)/R(t), é evidente que a razão

a2n(t)/R(t) assume valores mais negativos para o casos com c 6= 0. Estas informações mais

qualitativas dão suporte aos resultados extraídos da Fig. 13 e indicam que, de fato, o undercooling cinético atrasa a ocorrência de eventos de bifurcação de dedos, mas não é capaz de impedir a sua ocorrência.