Efeitos Geom´ etricos nos N´ıveis Eletrˆ onicos

0 2 4 6 8 10 191.76 191.78 191.80 191.82 191.84 191.86 191.88 191.90 0 2 4 6 8 10 191.930 191.935 191.940 191.945 191.950 191.955 < r > ( Å ) B (T) < r > ( Å ) B (T)

Figura 35: Raio m´edio do estado fundamental e primeiro estado excitado, para o mesmo anel e parˆametros usado na Fig.34. A linha tracejada corresponde a z1 = z2 = 30 ˚A

(z1 = z2 = 10 ˚A no insete), e a linha s´olida para z1 = 10 ˚A e z2 = 30 ˚A o estado

fundamental (estado excitado no inset), respectivamente.

3.3

Efeitos Geom´etricos nos N´ıveis Eletrˆonicos

Para estudar os efeitos geom´etricos nas oscila¸c˜oes AB, consideraremos um anel com o formato elipsoidal composto por elipses de barreiras internas e externas concˆentricas. Para uma an´alise mais clara dos efeitos geom´etricos, vamos considerar o sistema com diferentes excentricidades, mas com a mesma ´area, para que o fluxo magn´etico atrav´es do anel seja o mesmo, sem a presen¸ca de impurezas. As interfaces interna (j = I) e externa (j = E) dos an´eis el´ıpticos s˜ao definidas pela excentricidade ξi = aj/bj, com eixo menor (maior)

aj = Rj

p

ξj (bj = Rj/

p

ξj) (ver Fig.38). Consideraremos inicialmente o anel el´ıptico com

mesma excentricidade ξ interna e externa e com RI = 140 ˚A e RE = 240 ˚A . As Figs.38 e

39 mostram respectivamente, as energias e raios m´edios de ambos no estado fundametal e primeiro estado excitado, em fun¸c˜ao do campo magn´etico, para diferentes valores de excentricidade. Observamos que as oscila¸c˜oes AB s˜ao anuladas quando ξ diminui. De fato, quando ξ diminui os primeiros dois estados tendem a degenerar e a densidade de carga ´e localizada nas regi˜oes onde os QRs tem maior curvatura. A amplitude das oscila¸c˜oes do efeito AB diminui `a medida que ξ diminui, com energias quase degeneradas em ξ = 0.65. Isto ocorre devido os estados se afastarem, formando dois bicos nas extremidades

3.3 Efeitos Geom´etricos nos N´ıveis Eletrˆonicos 89 41.6 42.0 42.4 0 2 4 6 8 10 41.6 42.0 42.4 0 2 4 6 8 10 41.6 42.0 42.4 E ( m e V ) B (T) E ( m e V ) (a) (b) E ( m e V ) B (T)

Figura 36: Energia do estado fundamental (linha s´olida) e primeiro estado excitado (linha tracejada), com duas impurezas hidrogˆenicas negativas pr´oximo ao anel quˆantico de tamanho a = 140 ˚A e b = 240 ˚A com a primeira impureza localizada em ~r(1)_imp = (190 ˚

A, 0, z1) e a segunda em ~r(2)imp = (−190 ˚A, 0, z2). Em (a) z1 = 10 ˚A e z2 = 30 ˚A, (b)

3.3 Efeitos Geom´etricos nos N´ıveis Eletrˆonicos 90 0 2 4 6 8 10 192.12 192.16 192.20 192.24 192.28 192.32 192.36 < r 0 > ( Å ) B (T)

Figura 37: Raio m´edio do estado fundamental com duas impurezas hidrogˆenicas negativas no anel quˆantico com tamanho a = 140 ˚A e b = 240 ˚A com a primeira impureza fixa em ~r_imp(1) =(190 ˚A, 0, zi) e a segunda em ~r(2)imp =(-190 ˚A, 0, zi), em duas diferentes posi¸c˜oes no

plano do anel, z1 = 10 ˚A (linha s´olida) e z2 = 30 ˚A (linha tracejada), e para a primeira

impureza fixa em ~r_imp(1) =(190 ˚A, 0, 30 ˚A) e a segunda em ~r(2)_imp =(190 ˚A, 0, 30 ˚A) (linha pontilhada).

3.3 Efeitos Geom´etricos nos N´ıveis Eletrˆonicos 91 be ae ai be ae bi

Figura 38: Energia do estado fundamental (linha s´olida) e primeiro estado excitado (linha tracejada), em fun¸c˜ao do campo magn´etico aplicado, para diferentes valores de excentri- cidade, RI = 140 ˚A, e RE = 240 ˚A.

da elipse, an´alogo ao caso de dois ´atomos pr´oximos onde `a medida que os afastamos um do outro a degenerescencia ´e observada. Esse resultado tamb´em ´e similar ao obtido para duas impurezas positivas (com posi¸c˜oes sim´etricas z1 = z2) quando zi diminui (ver Fig.34).

Para o caso dos raios m´edios variando com ξ na Fig.39, observamos um comportamento semelhante ao dos n´ıveis de energia, onde `a medida que diminuimos a excentricidade as energias se degeneram, sendo que neste caso, o valor do raio m´edio aumenta com a diminui¸c˜ao da ξ.

Uma mudan¸ca geom´etrica diferente nos QR ´e considerar um sistema em que a bar- reira interna tem simetria cil´ındrica e a externa uma elipse concˆentrica, sistema A. Este sistema pode se reproduzido experimentalmente, devido a diferen¸ca das constantes de rede na forma¸c˜ao dos QR. Vamos considerar o caso em que a interface interna tem raio RI = 140 ˚A e a elipse externa apresenta excentricidade no eixo menor (maior) aj = RE√ξ

(bj = RE/√ξ) com RE = 240 ˚A . Um segundo caso, sistema B, ´e considerarmos um QR

composto por elipses concˆentricas, com mesma ´area. Para o sistema B usamos as mesmas defini¸c˜oes para os eixos menor (maior) das el´ıpses concˆentricas, consideramos os raios internos (externos) RI = 140 ˚A (RE = 240 ˚A). Ambos os sistemas tˆem a mesma ´area,

3.3 Efeitos Geom´etricos nos N´ıveis Eletrˆonicos 92 0 3 6 9 200 210 220 < r > ( Å ) B (T) = 0.65 = 0.70 = 0.75 = 0.80 = 0.85 = 0.90 = 0.95

Figura 39: Raio m´edio do estado fundamental (linha s´olida) e primeiro estado excitado (linha tracejada), em fun¸c˜ao do campo magn´etico aplicado, para diferentes valores de excentricidade. Para os mesmos parˆametros usado para as Fig. 38.

magn´etico. Na Fig.40 temos a energia no estado fundamental e primeiro estado excitado em fun¸c˜ao do campo magn´etico, para diferentes valores da excentricidade. Observamos que as oscila¸c˜oes da mesma ordem de magnitude ocorrem para valores muito diferentes da excentricidade: as varia¸c˜oes para ξ = 0.94 e ξ = 0.85 no sistema A correspondem a ξ = 0.85 e ξ = 0.65 no sistema B. Esta diferen¸ca resulta do fato que no sistema B a largura do anel ´e constante, enquanto no sistema A a largura ´e muito pequena ao longo do eixo menor, quando comparada com os valores ao longo do eixo maior. Conseq¨uentemente, a fun¸c˜ao de onda no sistema A ser´a localizada nas regi˜oes perto do eixo maior da el´ıpse, correspondendo a dois estados quasi-degenerados, similar ao efeito de duas impurezas pos- itivas. Os raios m´edios dos sistemas A e B s˜ao mostrados na Fig.41. Como esper´avamos, como os sistemas apresentam pequenas oscila¸c˜oes na energia (A com ξ = 0.85 e B com ξ = 0.65) eles tˆem oscila¸c˜oes baixas no raio m´edio (ver Fig.41(b)). Nos sistemas com e- nergias da mesma ordem de magnitude, os raios m´edios correspondentes em B s˜ao sempre maiores do que esses no sistema A, uma vez que as elipses concˆentricas (sistema B) tˆem excentricidades maiores do que o sistema A.

3.3 Efeitos Geom´etricos nos N´ıveis Eletrˆonicos 93 0 2 4 6 8 10 27.5 28.0 28.5 29.0 29.5 30.0 30.5 E ( m e V ) B (T) = 0.85, Sistema A = 0.65, Sistema B mesma área = 0.85, Sistema B = 0.94, Sistema A

Figura 40: Energia do estado fundamental (linha s´olida) e primeiro estado excitado (linha tracejada), em fun¸c˜ao do campo magn´etico aplicado, com diferentes valores de excentri- cidade e considerando os casos onde o anel interno tem simetria cil´ındrica e a barreira externa ´e uma el´ıpse concˆentrica (sistema A), e o anel el´ıptico com mesma excentricidade (sistema B) e mesma ´area.

0 2 4 6 8 10 199 200 201 225 226 227 194 196 198 200 202 < r > ( Å ) B (T) = 0.85 - Sistema A = 0.94 - Sistema A = 0.65 - Sistema B = 0.85 - Sistema B < r > ( Å ) (a) (b)

Figura 41: Raio m´edio do estado fundamental (linha s´olida) e primeiro estado excitado (linha tracejada), em fun¸c˜ao do campo magn´etico, para o mesmo sistema da Fig. 40.