No reforço à flexão de vigas em concreto armado com sistemas colados externamente às estruturas, é essencial o entendimento dos efeitos que o mesmo introduz em relação aos modos de falha. A revisão sobre estudos experimentais publicados na literatura mostra que vigas de concreto armado reforçadas possuem diferentes modos de falha, de dúcteis até rupturas muito frágeis foram observadas. Nos tipos de falhas se incluem modos nos quais a ação do reforço se dá na sua totalidade até a ruptura, e modos onde há a perda da eficiência do sistema de reforço devido à falha da aderência, levando a estrutura ao colapso.
Os modos de falha devidos ao descolamento ou delaminação do reforço são os mais observados em vigas de concreto armado reforçadas com lâminas de PRF (THOMSEM et al., 2004), assim, os valores das cargas de ruptura acabam, a rigor, sendo limitados pela carga de destacamento do sistema de reforço. Este tipo de falha da aderência é do tipo frágil e é devido
à alta concentração de tensões na interface entre o substrato de concreto e o reforço na zona de ancoragem, ou nas proximidades de fissuras de flexão e cisalhamento.
A transferência de esforços entre o sistema de reforço e o concreto gera tensões de cisalhamento na interface entre os dois materiais, assim, para o cálculo destas tensões devem ser conhecidos os deslocamentos relativos entre os dois materiais. Para tal, é incluído no modelo de elementos finitos um elemento especial de interface para simular a aderência entre o substrato de concreto e o sistema de reforço estrutural, baseado no trabalho de Adhikary e Mutsuyoshi (2002).
Por impedir que as vigas de concreto armado reforçadas alcancem sua completa capacidade de carga à flexão, os mecanismos de falha da aderência devem ser entendidos e as propriedades da aderência do concreto conhecidas.
3.5.1 Formulação do elemento
O elemento finito isoparamétrico que será apresentado aqui consiste em um elemento de interface unidimensional com seis pontos nodais, funções quadráticas de interpolação e espessura nula. Este elemento é implementado para modelar a interface concreto-adesivo-reforço, e permite que o deslocamento relativo entre nós adjacentes de um elemento de concreto e um elemento de reforço seja levado em conta.
Semelhantemente ao elemento de reforço apresentado na seção anterior, os sistemas de coordenadas local do elemento e global da estrutura possuem a mesma direção, assim, a matriz de rigidez do elemento de interface é a mesma tanto para o sistema local quanto para o sistema global, não necessitando que se faça a rotação da mesma.
Na figura 3.9 é apresentado o elemento de interface, sendo que no item (a), ui é o deslocamento na direção horizontal de um ponto nodal, e no item (b) é mostrado o sistema local do elemento e os pontos de integração que serão usados no processo de integração numérica para a obtenção da matriz de rigidez e do vetor de ações nodais não-lineares.
Empregar-se-ão três pontos de integração.
x
Figura 3.9 – Sistema global e local para o elemento de interface
Pelo fato da espessura do elemento de interface ser nula, é suficiente representá-lo através de equivalentes pseudo nós 1’, 2’ e 3’ como apresentado na figura 3.10. Assim, a definição do elemento é feita através da coordenada x dos pseudo nós no sistema de coordenadas global da estrutura, porém o elemento será formulado em relação a uma coordenada normalizada independente ϕ . Em virtude disso, devem ser estabelecidas relações entre os dois sistemas de coordenadas, como será mostrado mais adiante.
κ
Figura 3.10 – Equivalentes pseudo nós
Por tratar-se de um elemento isoparamétrico, as funções quadráticas de interpolação serão usadas tanto para interpolar os deslocamentos relativos quanto para interpolar as coordenadas. Assim, as três funções de interpolação necessárias são designadas por N’1(ϕ),
N’2(ϕ) e N’3(ϕ), tendo a forma:
A coordenada de um ponto no interior do elemento pode ser calculada interpolando-se as coordenadas dos pseudo nós, ou:
3
( )
No processo de discretização da estrutura em elementos finitos, os nós da face inferior do elemento de interface serão comuns aos nós do elemento de reforço adjacente, enquanto que os nós da face superior do mesmo elemento de interface serão comuns aos nós da face inferior do elemento adjacente de concreto. Na figura 3.11 é ilustrado como os elementos adjacentes de reforço e concreto são conectados através do elemento de interface.
9
Figura 3.11 – Conexão entre os elementos
Diferentemente dos casos onde as tensões são funções das deformações, as tensões de aderência geradas entre o substrato de concreto e o reforço são funções dos deslocamentos relativos entre os dois materiais. Assim, o deslizamento s em um ponto do elemento de interface será dado pela expressão:
C R
s u= −u , (3.100)
onde uC é o deslocamento horizontal do ponto considerado, no substrato de concreto, e uR o deslocamento horizontal do ponto adjacente no elemento de reforço.
Sabendo-se que o deslocamento em um ponto qualquer do elemento é obtido mediante a interpolação dos deslocamentos dos pontos nodais do elemento, a equação para o deslizamento em um ponto qualquer pode ser obtido através de:
3 ' ' ' '
ou, organizando a equação (3.101) na forma de um produto escalar entre dois vetores, chega-se a:
s=B UI eI, (3.102)
onde UeI é o vetor de deslocamentos horizontais nodais do elemento de interface, sendo ele apresentado em sua forma transposta na equação a seguir.
{
u1 u2 u3 u4 u5 u6}
=
e,T
UI (3.103)
Ao contrário da formulação convencional do método dos elementos finitos, as funções de interpolação não são diferenciáveis dentro do vetor BI que relaciona o deslizamento de um ponto aos deslocamentos nodais, assim BI assume a forma:
{
N'1 N'2 N'3 N'3 N'2 N'1}
= − − −
BI . (3.104)
3.5.2 Matriz de rigidez e vetor de ações nodais para a interface
O emprego do Princípio dos Trabalhos Virtuais permitirá chegar-se até a equação de equilíbrio do elemento de interface. Em decorrência disso, a matriz de rigidez e o vetor de ações nodais do elemento serão obtidos.
O trabalho virtual realizado pelas forças internas à interface será dado segundo a expressão:
T
iI V
W s dV
δ = δ τ
∫
. (3.105)onde τ é a tensão de aderência entre o elemento de concreto e o elemento de reforço.
Considerando agora que este elemento seja submetido a uma variação arbitrária dos deslocamentos δUeI, que resulta em um deslizamento compatível no interior do elemento δs. Desta forma, a primeira variação do deslizamento s em um dado ponto do elemento será:
δ =s BI δUeI, (3.106)
Substituindo-se (3.106) em (3.105), pode ser encontrada a integral de linha que representa o vetor de ações nodais não-lineares para o elemento de interface na forma:
(
ANL)
eI =∫
ΓδUe,ITBTI τbf dx, (3.107) onde bf é a largura do elemento de interface, ou seja, bf é a largura do sistema de reforço.Por ser a variação δUeI arbitrária, ela pode ser eliminada da equação (3.107), resultando assim, a equação para o cálculo do vetor de ações nodais não-lineares no sistema local do elemento do seguinte modo:
(
ANL)
eI =∫
-1+1BTIτb Jf I dϕ, (3.108) onde JI é o determinante do jacobiano do elemento de interface, e pode ser obtido mediante o emprego da seguinte equação:( )
Como o cálculo da matriz de rigidez tangente à origem do problema serve para dar início ao processo de solução da equação (3.29), se assumirá que a tensão de aderência seja linearmente proporcional ao deslizamento até a ruptura. Esta aproximação é válida porque o algoritmo necessita apenas de uma estimativa da matriz de rigidez inicial do problema, assim:
k ss
τ = , (3.110)
onde ks é a rigidez ao cisalhamento.
Fazendo-se a substituição para a tensão de aderência na equação (3.108), e sabendo-se que o deslizamento em um ponto pode ser calculado com o emprego da equação (3.102), obtém-se a equação de equilíbrio do elemento de interface na forma:
( )
AL eI =∫
-1+1BTIksBI b Jf I d ϕ UeI, (3.111) sendo( )
AL Ie o vetor de ações nodais lineares para a interface.A equação (3.111) pode ainda ser escrita de uma outra maneira como mostrado na equação a seguir.