Dado um conjunto de amostras conhecidas, X, deseja-se estimar os parâmetros µi, Σi e P (ωi) de cada uma das distribuições que compõem o modelo final λ. Aqui, podemos enxergar as variáveis ωi como as variáveis latentes desconhecidas. Estimar P (ωi) significa, portanto, estimar o peso final da distribuição i.
Suponha X = {x1, ..., xN} e que tenhamos M distribuições no modelo, cujos parâmetros são referenciados como λ, então:
p(xk|λ) = M
X
j=1
p(xk|ωj, λj)P (ωj). (A.4)
Por definição, a verossimilhança do modelo, com relação às N amostras de X é: p(X|λ) =
N
Y
k=1
p(xk|λ), (A.5)
e a estimativa do máximo da verossimilhança, λ0, é o valor de λ que maximiza p(X|λ). Se assumirmos que p(X|λ) é uma função diferenciável em λ, então podemos derivar as condições necessárias para os valores de λ0. Definimos então L como sendo o logaritmo da verossimilhança e ∇λiL o gradiente de L com respeito a λi, que é um subconjunto de
λ, referente aos parâmetros da i-ésima distribuição. Então: L = N X k=1 log p(xk|λ) (A.6) e ∇λiL = N X k=1 1 p(xk|λ) ∇λi[ M X j=1 p(xk|ωj, λj)P (ωj)]. (A.7)
Se assumirmos que os parâmetros de duas distribuições diferentes, λi e λj são independentes e se introduzimos a probabilidade a posteriori,
P (ωi|xk, λ) =
p(xk|ωi, λi)P (ωi) p(xk|λ)
, (A.8)
podemos observar que o gradiente do logaritmo da verossimilhança com respeito aos parâmetros pode ser escrito como:
∇λiL = N
X
k=1
P (ωi|xk, λ)∇λi[log p(xk|ωi, λi)]. (A.9)
Uma vez que o gradiente deve desaparecer em λi que maximiza L, a estimativa do máximo de verossimilhança, λ0i, deve satisfazer a condição:
N X k=1 P (ωi|xk, λ0)∇λi[log p(xk|ωi, λ 0 i)] = 0, (A.10)
APÊNDICE A. Algoritmo de Maximização de Expectativa (EM) 131
i = 1, ..., M. (A.11)
Finalmente, as regras de atualização dos parâmetros do modelo, em cada etapa do passo de maximização, dadas pela solução da equação acima, são definidas como:
P (ωi)0 = 1 N N X k=1 P (ωi|xk, λ), (A.12) µ0i = PN k=1P (ωi|xk, λ)xk PN k=1P (ωi|xk, λ) , (A.13) Σ0i = PN k=1P (ωi|xk, λ)(xk− µi)(xk− µi)T PN k=1P (ωi|xk, λ) . (A.14)
132
APÊNDICE B – Cálculo da probabilidade de
um Modelo de União a Posteriori
Como visto na Seção 3.3.5, quando um Modelo de União a Posteriori é utilizado, uma aproximação é empregada sobre a verossimilhança de um modelo com respeito a um subconjunto do vetor de características. Para um subconjunto de um determinado vetor
x, xsub, a verossimilhança de um determinado modelo, λ, é aproximada pela soma das verossimilhanças de todos os subconjuntos de mesmo tamanho que xsub. Nesse caso, se o subconjunto é de tamanho M , temos, segundo a Equação 3.43:
p(xsub,M|λ) ∝
X
x0sub,M⊂x
p(x0sub,M|λ), (B.1)
onde x0sub,M é um vetor de características, subconjunto do vetor original x, de tamanho M . Além disso, quando as características utilizadas são consideradas independentes, a verossimilhança de um modelo com respeito ao subconjunto é definido como o produto das verossimilhanças de cada uma das características. Segundo a Equação 3.36, temos que:
p(xsub|λ) =
Y
xd∈xsub
p(xd|λ). (B.2)
Suponha que o objetivo é calcular o somatório de todas as verossimilhanças dos subconjuntos de tamanho M = 2 e que o vetor de características completo possua D dimensões. Nesse caso, temos:
X x0 sub,2⊂x p(x0sub,2|λ) =X j>i p(xi|λ)p(xj|λ), (B.3)
onde 1 ≤ i ≤ D e 1 ≤ j ≤ D, de modo que, para o cálculo dessa probabilidade, é necessário tomar todas as combinações possíveis de subconjuntos de tamanho 2. Para ilustrar esse cálculo, suponha um total de D = 4 características. Suponha também que pi corresponde à probabilidade associada a i-ésima dimensão, isto é, p(xi|λ). O resultado da Equação B.3 seria:
p1p2+ p1p3+ p1p4+ p2p3+ p2p4+ p3p4. (B.4)
Uma vez calculadas as probabilidades p1, p2, ..., pD, para o cálculo da verossimilhança da Equação B.1 com relação aos subconjuntos de tamanho M , 1 ≤ M ≤ D, deve-se combinar todas as probabilidades M a M , realizar a multiplicação dos elementos de cada combinação e então somar todos os resultados. Nesse trabalho, foi desenvolvido um algoritmo baseado em programação dinâmica que realiza o cálculo descrito acima. Dados
APÊNDICE B. Cálculo da probabilidade de um Modelo de União a Posteriori 133 os valores das probabilidades individuais, o algoritmo computa os valores dos somatórios das combinações dessas probabilidades para os tamanhos de 1 a D. Tal algoritmo é descrito a seguir.
p1 p 2
...
V
p DFigura 24 – Vetor contendo todas as probabilidades individuais de um vetor de caracterís- ticas de dimensão D.
Suponha primeiramente que os valores das probabilidades individuais estejam armazenadas em um vetor de dimensão D, digamos V (Figura 24). A ideia do algoritmo é realizar cálculos em uma determinada matriz, digamos W , de dimensão D × D, seguindo uma abordagem de programação dinâmica. O primeiro passo é inicializar a primeira linha da matriz W com as probabilidades combinadas 1 a 1 (ver Figura 25). Isto é,
W [1, i] ← i
X
k=1
V [k], (B.5)
onde 1 ≤ i ≤ D. Além disso, o restante da matriz é inicializado com zeros.
p1 p + p 1 2 p + p + ... + p1 2
D
...
W[1]
Figura 25 – Inicialização da matriz W . A primeira linha é definida pelas combinações das probabilidades individuais 1 a 1. O restante da matriz é inicializado com zeros.
Algoritmo 1 Após a inicialização, os valores são calculados em cada linha levando em
consideração as somas das combinações calculadas na linha anterior. Esse procedimento insere, na posição W [k, D], o somatório da probabilidades combinadas k a k.
for (i ← 2; i ≤ D; i ← i + 1) do for (j ← i; j ≤ D; j ← j + 1) do
W [i, j] ← (W [i − 1, j − 1]V [j]) + W [i, j − 1]
end for end for
Como pode ser observado, a entrada da matriz em W [1, D] já possui o valor do somatório das probabilidades combinadas 1 a 1. O processamento que será realizado em seguida possui o objetivo de atribuir a W [k, D] o somatório das probabilidades combinadas k a k. Esse processamento deve ser realizado a cada uma das linhas iterativamente, de modo que, para o cálculo da soma das combinações k a k, o algoritmo utiliza os resultados parciais computados na soma anterior, com as combinações k − 1 a k − 1. O processamento
APÊNDICE B. Cálculo da probabilidade de um Modelo de União a Posteriori 134 é iniciado na segunda linha da matriz W e, em cada linha, o processamento é iniciado na coluna correspondente à diagonal principal da matriz. Por exemplo, na segunda linha, o processamento irá começar no índice [2, 2] e terminará no índice [2, D]. O valor de uma determinada posição [i, j] da matriz é definido como:
W [i, j] ← (W [i − 1, j − 1]V [j]) + W [i, j − 1]. (B.6)
O procedimento descrito acima está mostrado no Algoritmo 1. No fim da execução, o elemento W [k, D] possui o valor de p(xsub,M|λ) da Equação B.1 quando M = k. Como pode ser observado, a complexidade do algoritmo é quadrática para a quantidade de características presentes no vetor.
135
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