Empacotamento dos V´ ertices de H

Nesta se¸c˜ao, encontramos uma fam´ılia de `-caminhos disjuntos que cobre “quase todos” os v´ertices de H. Para isso, utilizamos uma extens˜ao do Lema da Regularidade de Szemer´edi [26] para hipergrafos, discutida na Se¸c˜ao 2.2.2. Primeiro, aplicamos o Lema da Regularidade Fraca em H e obtemos um hipergrafo reduzido R que satisfaz “quase” a mesma condi¸c˜ao de grau m´ınimo que H. Utilizando a condi¸c˜ao de grau m´ınimo do hipergrafo reduzido R, encontramos um empacotamento fracion´ario de R por 2`-caminhos de comprimento 2 que cobre “quase” todos os v´ertices de R. Finalmente, utilizando o Lema 4.15 (ver Lemma 2.7 [10]) e o empacotamento fracion´ario de R, obtemos uma fam´ılia de `-caminhos disjuntos em H, como desejado. Denotamos por C`o 2`-caminho

de tamanho 2 com v´ertices em [2k − 2`] e arestas {1, . . . , k} e {k − 2` + 1, . . . , 2k − 2`}.

Defini¸c˜ao 4.10. Sejam C e R hipergrafos k-uniformes, β > 0, e seja Φ uma cole¸c˜ao de homo- morfismos em hipergrafos de C em R. Uma fun¸c˜ao h : Φ → {aβ : a ∈ N>0} ´e chamada β-hom(C)-

empacotamento se wh(v) = X u∈V (C) X ϕ∈Φ:v=ϕ(u) h(ϕ) ≤ 1 (4.10)

para todo v ∈ V (R). Denotamos por

w(h) = X v∈V (R) wh(v) = X ϕ∈Φ h(ϕ)|V (C)| (4.11) o peso do empacotamento.

O Exemplo4.11abaixo sugere uma forma intuitiva de se construir um β-hom(C)-empacotamento. Em particular, o exemplo mostra como construir um 1/4-hom(C2)-empacotamento em um hiper-

grafo Heque possui uma ´unica aresta. Note que a mesma constru¸c˜ao ´e v´alida ainda que Hepossu´ısse

mais arestas. Neste caso, todas as arestas, a menos da fixada, possuiriam peso 0.

Exemplo 4.11. Seja He o hipergrafo 5-uniforme formado por uma ´unica aresta, i.e, V (He) =

{v₁, . . . , v5} e E(He) = {e} = {{v1, . . . , v5}}. Seja V (C2) = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} onde x2, . . . , x6

s˜ao os v´ertices que est˜ao em ambas arestas de C2. Para 1 6 i 6 3, defina ϕi: V (C2) → V (e) tal que

ϕi(x1) = ϕi(x2) = vi, ϕi(x5) = v4, ϕi(x6) = v5 e os v´ertices restantes em C2 s˜ao a pr´e-imagem dos

v´ertices restantes em He. Considere f : Φ → N tal que f (ϕ1) = f (ϕ2) = f (ϕ3) = 1 e f (ϕ) = 0 caso

contr´ario. Dessa forma, temos

wf(v1) = wf(v2) = wf(v3) = 4 e wf(v4) = wf(v5) = 3.

Note que f n˜ao ´e um β-hom(C2)-empacotamento, pois n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao (4.10). Por outro

lado, temos que h = f /4 ´e um (1/4)-hom(C2)-empacotamento em He com

wf(v1) = wf(v2) = wf(v3) = 1 e wf(v4) = wf(v5) =

3 4.

A Afirma¸c˜ao 4.12abaixo ´e uma generaliza¸c˜ao da ideia utilizada na constru¸c˜ao apresentada no Exemplo4.11e nos permite uma forma f´acil de definir um empacotamento para uma ´unica aresta. Afirma¸c˜ao 4.12. Sejam H um hipergrafo k-uniforme e e = {v1, . . . , vk} uma aresta de H. Existe

4.1 IDEIA DA PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL DE HIPERGRAFOS E LEMAS PRINCIPAIS 45

um <sub>2(k−`−1)</sub>1 -hom(C`)-empacotamento h em H que difere de zero exclusivamente em e, tal que

wh(vi) = 1 para i ∈ [k − 2] e wh(vk−1) = wh(vk) = _2(k−`−1)k−2 . Em particular, podemos escalonar o

peso de h por qualquer q ∈ (0, 1] e obter um <sub>2(k−`−1)</sub>q -hom(C`)-empacotamento de H com wh(vi) = q

para i ∈ [k−2] e wh(vk−1) = wh(vk) = <sub>2(k−`−1)</sub>q(k−2) . Mais ainda, temos w(h) = q(k−2)(1−1/(k−`−1)).

Demonstra¸c˜ao. Sejam H um hipergrafo k-uniforme e e = {v1, . . . , vk} uma aresta. Considere o

conjunto T = {I ∈ [k − 2]k−2`: ∀i, j ∈ [k − 2`], I[i] = I[j] ↔ i = j}. Para I ∈ T , seja ϕI o

homomorfismo tal que ϕI(i) = ϕI(2(k − `) − i + 1) = vI[i], ϕI(k) = vk, ϕI(k − 1) = vk−1 e os

v´ertices restantes de C` s˜ao a pr´e-imagem dos v´ertices restantes de e. Seja ΦT = {ϕI: I ∈ T }.

Defina f : Φ → N tal que para todo ϕ ∈ ΦT temos f (ϕ) = 1 e para todo ϕ /∈ ΦT temos f (ϕ) = 0.

Assim, para todo i ∈ [k − 2], temos wf(vi) = X u∈V (C`) X ϕ∈Φ:v=ϕ(u) f (ϕ) = X I∈T ; i∈I 2 +X I∈T ; i /∈I 1 = 2  k − 3 k − 2` − 1  (k − 2`)! + k − 3 k − 2`  (k − 2`)! = 2(k − ` − 1)(k − 3)! (2` − 2)! . Por outro lado, temos que

wf(vk−1) = wvk = X I∈T 1 = (k − 2)! (2` − 2)!. Note que h =  (2` − 2)! 2(k − ` − 1)(k − 3)!  f ´

e um <sub>2(k−`−1)</sub>1 -hom(C`)-empacotamento que difere de zero exclusivamente em e com wh(vi) = 1

para i ∈ [k − 2] e wh(vk−1) = wh(vk) = _2(k−`−1)k−2 . 

Dizemos que um hipergrafo k-uniforme R de ordem t ´e β-fracion´ario-(`, ξ)-extremal se existe uma fun¸c˜ao b : V (R) → {0} ∪ [β, 1] com

X v∈V (R) b(v) > 2(k − `) − 1 2(k − `) t e X e∈E(R) Y v∈e b(v) 6 ξ t k  . (4.12)

Lembre que um hipergrafo k-uniforme H = (V, E) ´e chamado de (`, ξ)-extremal se existe um conjunto B ⊂ V tal que |B| = 2(k−`)−1_2(k−`) n e e(B) 6 ξ n_k
. Assim, note que, tomando β = 1, a fun¸c˜ao b pode ser vista como um conjunto de v´ertices com pesos que representam a mesma ideia do conjunto B na defini¸c˜ao de extremalidade.

Na demonstra¸c˜ao do Teorema4.4, o Lema4.13abaixo ´e aplicado no hipergrafo reduzido R para obter o β-hom(C`)-empacotamento que utilizamos para obter uma fam´ılia limitada de `-caminhos

Lema 4.13. Para inteiros k > 3 e 1 6 ` < k/2, existem C e γ0 tais que, para todos α > 0 e γ 6 γ0,

existem β > 0 e ε > 0 tais que a seguinte afirma¸c˜ao ´e v´alida para todo t suficientemente grande. Seja R um hipergrafo k-uniforme de ordem t. Se R n˜ao ´e β-fracion´ario-(`, Cγ)-extremal e

deg(K) > 4(k − `) − 1 4(k − `)2 − γ   t 2  (4.13)

para pelo menos (1 − ε) _k−2t
conjuntos K ∈ V (R)_k−2
ent˜ao existe um β-hom(C`)-empacotamento h

com peso pelo menos (1 − α)t.

Demonstra¸c˜ao. Note que ´e suficiente provar o lema para valores pequenos de α. Consequentemente, a quantifica¸c˜ao do lema nos permite fixar parˆametros e constantes auxiliares C0 e c para satisfazer a seguinte hierarquia de constantes

1 k, 1 `  1 C0  1 C  γ0≥ γ  α  c, ε. (4.14)

Mais ainda, fixamos β indutivamente tal que

1 = β0  β1· · ·  βb1/cc = β onde _ββ_i+1i ∈ N

e t  1/β, 1/c suficientemente grande. Em particular, temos que 1/βi ∈ N para todo i. Note

que qualquer βi-hom(C`)-empacotamento ´e tamb´em um β-hom(C`)-empacotamento, pois βi ´e um

m´ultiplo de β. Para provar o lema, mostramos que dado um βi-hom(C`)-empacotamento h com

peso w(h) < (1 − α)t, existe um βi+1-hom(C`)-empacotamento h0 com peso w(h0) ≥ w(h) + ct.

Podemos come¸car com o 1-hom(C`)-empacotamento que possui peso zero e consequentemente,

ap´os no m´aximo 1_c passos, obtemos um β-hom(C`)-empacotamento com peso no m´ınimo (1 − α)t.

Para o restante da prova, fixe um βi-hom(C`)-empacotamento h com peso w(h) < (1 − α)t e

assuma, por contradi¸c˜ao, que n˜ao existe um βi+1-hom(C`)-empacotamento com peso pelo menos

w(h) + ct. Portanto, por (4.11), existem pelo menos αt/2 v´ertices v ∈ V (R) com wh(v) < 1 − α/2

e podemos fixar um conjunto W de v´ertices com |W | = αt/2.

Para melhorar h, utilizamos apenas arestas que intersectam W . Dessa forma, podemos assumir que

(1 − 2α)t ≤ w(h) < (1 − α)t, (4.15)

pois, caso contr´ario, poder´ıamos adicionar arestas em V \ W at´e que (4.15) seja trivialmente atingindo e removemos essas arestas ap´os melhorar o peso de h.

Para o restante da prova, assumimos que Φ ´e um multiconjunto no qual inclu´ımos ϕ ∈ Φ com multiplicidade h(ϕ)_β

i . Dessa forma, podemos assumir que Φ ´e composto apenas por homomorfismos

com pesos positivos e que h : Φ → {βi}. Considerando Φ e h como acima e por (4.11), obtemos os

seguintes limitantes para o tamanho Φ: (1 − 2α) t βiv(C`) ≤ |Φ| < (1 − α) t βiv(C`) < t βi . (4.16)

Tamb´em identificamos um homomorfismo ϕ ∈ Φ pelos, n˜ao necessariamente distintos, v´ertices (v1, . . . , v2k−2`) da sua imagem, onde {v1, . . . , vk} e {v2k−2`+1, . . . , v2k−2`} formam arestas em R.

4.1 IDEIA DA PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL DE HIPERGRAFOS E LEMAS PRINCIPAIS 47

Considere os (k − 2)-conjuntos em W que satisfazem a condi¸c˜ao de grau m´ınimo do lema. Dessa forma, como ε  α (ver (4.14)), podemos encontrar, utilizando uma abordagem gulosa, uma cole¸c˜ao W na qual os elementos s˜ao dois a dois disjuntos e cobrem pelo menos 1₂|W | v´ertices. Note que

|W| ≥ |W | 2(k − `) >

αt

4k. (4.17)

Para K ∈ W, consideramos o grafo link LK de K em R. Encontraremos pares de cerejas C, C0 ∈ Φ

nos quais o grafo link Lk(C, C0) nos permite encontrar um empacotamento com o peso maior. Para

isso, consideramos somente as arestas em LK(C, C0) que contˆem um v´ertice em C e um v´ertice em

C0_{. No m´aximo} t βi

v(C`)

2
6 γ t

2
arestas possuem as ambas extremidades no mesmo C e no m´aximo αt2

2 ≤ γ

t

2
arestas contˆem um v´ertice de W . Seja L 0

K o grafo obtido de LK ap´os remover todas

essas arestas. Por (4.13), sabemos que

e(L0_K) ≥ 4(k − `) − 1 4(k − `)2 − 3γ   t 2  . (4.18)

Dizemos que C, C0 ∈ Φ ´e um par extremal para K se existem uC∈ C e uC0 ∈ C0 tais que L0

K(C, C0)

contˆem todas as arestas incidentes a esses dois v´ertices. Em particular, dizemos que uC e uC0 s˜ao

v´ertices especiais para C e C0. Mostramos a seguir que, para a maioria dos conjuntos K ∈ W, o grafo link bipartido entre a maioria dos pares C e C0 s˜ao extremais para K.

Afirma¸c˜ao 4.14. Existe um elemento uC ∈ C para cada C ∈ Φ tal que a seguinte afirma¸c˜ao ´e

verdadeira. Para pelo menos (1 − γ)|W| conjuntos K ∈ W pelo menos uma fra¸c˜ao (1 − C0γ) de pares de cerejas C, C0 ∈ Φ s˜ao extremais para K com v´ertices especiais uC e uC0.

Demonstra¸c˜ao. A prova da afirma¸c˜ao consiste em trˆes passos. Primeiro, mostramos que se LK(C, C0)

contˆem mais que 4(k − `) − 1 arestas ent˜ao ´e poss´ıvel fazer uma “melhoria local” em w(h) de pelo menos βi/4. No segundo passo, limitamos a quantidade de melhorias locais que podemos

efetuar, pois caso contr´ario podemos combinar todas as melhorias locais e obter um h0 com o peso w(h0) ≥ w(h) + ct e dessa forma concluir´ıamos a prova do Lema4.13. No ´ultimo passo, utilizamos o limitante obtido no segundo passo para mostrar que um LK(C, C0) “t´ıpico” contˆem somente

4(k − `) − 1 arestas e possui as propriedades desejadas.

Para o primeiro passo, consideramos dois casos. No primeiro caso, suponha que existe um emparelhamento com trˆes arestas em L0_K(C, C0). Aplicamos a Afirma¸c˜ao 4.12 nas arestas de R relacionadas `as arestas do emparelhamento com q = βi/3, vk−1 e vk como sendo os v´ertices de C

e C0 e reduzimos os pesos das cerejas C e C0 para h0(C) = h0(C0) = (1 −_6(k−`−1)k−2 )βi. Note que isso

´

e poss´ıvel, pois como os v´ertices de K possuem peso no m´aximo 1 − α/2 e h leva homomorfismos em m´ultiplos de βi ent˜ao wh(v) ≤ 1 − βi para todo v ∈ K. Dessa forma, considerando os v´ertices

nos quais o peso mudou, ´e f´acil ver w(h0) = w(h) +  k − 2 − (4k − 4` − 6) · k − 2 6(k − ` − 1)  βi> w(h) + 1 3βi. Assim, obtemos uma melhoria de pelo menos βi/3 ao peso de h.

Para o segundo caso, suponha que n˜ao existe um emparelhamento de tamanho trˆes. Note que para C, C0 ∈ Φ, o grafo L0_K(C, C0) ´e um grafo bipartido com classes de tamanho 2(k − `). Pelo

Teorema de K¨onig (Teorema 2.9), o emparelhamento m´aximo em um grafo bipartido possui o mesmo tamanho que a menor cobertura de v´ertices. Se n˜ao existe emparelhamento de tamanho trˆes ent˜ao existe uma cobertura de tamanho dois e consequentemente existem no m´aximo 4(k − `) arestas em L0<sub>K</sub>(C, C0). Dessa forma, a ´unica configura¸c˜ao que permite existir exatamente 4(k − `) arestas em L0_K(C, C0) e nenhum emparelhamento de tamanho trˆes ´e se os dois v´ertices da cobertura est˜ao na mesma classe, digamos em C, e suas vizinhan¸cas est˜ao todas em C0. Em particular, existem duas arestas para cada um dos dois v´ertices da cobertura usando quatro v´ertices distintos em C0. Aplicando a Afirma¸c˜ao 4.12 nas arestas do hipergrafo R correspondentes a essas quatro arestas, com q = βi/4, vk−1 e vk como sendo os v´ertices em C e C0 e reduzindo os pesos das cerejas para

h0(C) = (1 −_{4(k−`−1)</sub>k−2 )βi e h0(C0) = (1 −<sub>8(k−`−1)}k−2 )βi obtemos h0 com w(h0) = w(h) +  k − 2 − (2k − 2` − 2) · k − 2 4(k − ` − 1)− (2k − 2` − 4) · k − 2 8(k − ` − 1)  βi > w(h) +k − 2 4 βi> w(h) + 1 4βi.

Isso estabelece a melhoria local para este caso e conclui o primeiro passo.

Para o segundo passo, suponha que existem pelo menos γ|W|/2 conjuntos K ∈ W tais que para pelo menos γ|Φ|2 pares de cerejas essas melhorias s˜ao poss´ıveis. Utilizando uma abordagem gulosa, podemos aplicar essas melhorias locais utilizando cada cereja de C ∈ Φ no m´aximo uma vez, para todo K, para aumentar o peso de h o m´aximo poss´ıvel. Este procedimento acaba ou quando todo K ∈ W possui um v´ertice que j´a foi saturado e, neste caso, aumentamos o peso total em pelo menos α₂γ|W|/2, ou quando, para todo K ∈ W, para cada um dos γ|Φ|2 _{pares de cerejas,}

pelo menos uma foi utilizada. Como qualquer cole¸c˜ao de γ|Φ|2 pares de cerejas contˆem pelo menos γ|Φ|/4 pares dois a dois disjuntos, ent˜ao o ´ultimo caso implica que aplicamos pelo menos γ|Φ|/8 melhorias locais anteriormente.

Em resumo, mostramos que se para pelos menos γ|W|/2 > γαt_8k (ver (4.17)) conjuntos K ∈ W for poss´ıvel aplicar a melhoria local para pelo menos γ|Φ|2 pares de cerejas, ent˜ao n´os podemos adicionar essas melhorias locais a h obtendo um βi+1-hom(C`)-empacotamento h00 com peso pelo

menos w(h00) ≥ w(h) + min α 2, γ αt 8k, βi 4, γ 8|Φ|  ≥ w(h) + ct, e assim a prova do Lema4.13 estaria conclu´ıda.

Consequentemente, para o terceiro passo, podemos considerar somente os conjuntos K ∈ W para os quais no m´aximo uma fra¸c˜ao γ de pares de cerejas C e C0 induzem no m´ınimo 4(k − `) arestas ou um emparelhamento de tamanho trˆes. Utilizando um argumento de m´edia e (4.18), temos que a quantidade m´edia de arestas entre duas cerejas ´e pelo menos 4(k − `) − 1 − 12γ(k − `)2_.

Portanto, como C0 foi escolhido grande o suficiente, no m´aximo (C0− 1)γ pares de cerejas n˜ao possuem exatamente 4(k − `) − 1 arestas.

Novamente pelo Teorema de K¨onig (Teorema2.9), o ´unico caso em que podemos ter 4(k − `) − 1 arestas e nenhum emparelhamento de tamanho trˆes ´e se existir um v´ertice em cada lado que ´e adjacente a todos os v´ertices do lado oposto. Assuma que esses v´ertices em C, digamos u e v, s˜ao diferentes para L0_K(C, C0) e L0_K0(C, C00). Neste caso, podemos configurar os pesos da seguinte forma.

Escolha quatro arestas incidentes em u em L0_K(C, C0) e quatro para v em L0_K0(C, C00). Aplicamos

4.1 IDEIA DA PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL DE HIPERGRAFOS E LEMAS PRINCIPAIS 49

reduzimos os pesos das cerejas para h0(C) = (1 −_{4(k−`−1)</sub>k−2 )βi e h0(C0) = h0(C00) = (1 −<sub>16(k−`−1)}k−2 )βi.

Da mesma forma que foi feita no primeiro passo, isso nos fornece um melhoria local de 1₄βi.

Se para pelo menos γ|W|/2 conjuntos K ∈ W podemos definir essa melhoria local para pelo menos γ|Φ|2 pares extremais, de forma similar ao segundo passo, podemos concluir a prova do Lema 4.13. Portanto, para cada cereja C podemos fixar um v´ertice uC tal que para pelo menos

(1 − γ)|W| conjuntos K ∈ W pelo menos uma fra¸c˜ao (1 − C0γ) de pares de cerejas C, C0 ∈ Φ s˜ao

extremais para K com v´ertices especiais uC e uC0. 

Dizemos que C ∈ Φ ´e boa se est´a contida em pelo menos 1₂|Φ| pares extremais e ruim caso contr´ario. Dessa forma, pela Afirma¸c˜ao 4.14, no m´aximo 5C0γ|Φ| cerejas s˜ao ruins. Mais ainda, para todo v ∈ V , denotamos por ΦRUIM(v) a quantidade de cerejas ruins C ∈ Φ que contˆem o

v´ertice v.

Para completar a prova, mostramos que podemos encontrar um emparelhamento M tal que todo v´ertice v ∈ e ∈ M est´a contido em “muitas” cerejas boas. Para cada cereja boa C ∈ Φ existem muitas escolhas para C0 e K ∈ W tais que C e C0 s˜ao extremais em rela¸c˜ao a K. Assim, podemos redistribuir os pesos de forma a transferir pesos dos v´ertices n˜ao especiais de C e C0 para K, o que ir´a reduzir o peso de v (garantimos que v ´e um v´ertice n˜ao especial). Repetindo esse processo para todo v ∈ e, isso nos permitir´a obter uma melhoria local para o empacotamento e repetindo esse processo para v´arias arestas e ∈ M , obtemos a melhoria local desejada.

Definimos a fun¸c˜ao a : v(R) → [0, 1] por v → βiPC∈Φ1v(uC). Note que a representa o quanto

um v´ertice foi utilizado como v´ertice especial. Como toda cereja contˆem 2(k −`) v´ertices, por (4.16), temos queP

v∈V (R)a(v) ≤ 2(k−`)t e portanto, podemos utilizar a n˜ao β-fracion´ario-(l, γ)-extremalidade

de R para os pesos b(·) = 1 − a(·) e obtemos X e∈E(R) Y v∈e b(v) ≥ Cγ t k  .

Como existem no m´aximo 5C0γ|Φ| cerejas ruins, ent˜ao elas contribuem com no m´aximo βi

X

v∈V (R)

|ΦRUIM(v)| ≤ βiv(C`)5C0γ|Φ| ≤ 5C0γt. (4.19)

Queremos utilizar somente cerejas boas para redistribuir os pesos. Portanto, considere a fun¸c˜ao b0: V (R) → [0, 1] dada por b0(v) = max{0, b(v) − βi|ΦRUIM(v)|} (4.20) e, por (4.19), (4.16) e C0 C, temos X e∈E(R) Y v∈e b0(v) > C 2γ  t k  .

Por um argumento de dupla contagem, obtemos que existe um emparelhamento M ⊂ E(R) com X e∈M Y v∈e b0(v) ≥ C 2γ t k

e como b0(v) ∈ [0, 1], temos X e∈M k min v∈e{b 0 (v)} ≥ X e∈M kY v∈e b0(v) ≥ C 2γt. (4.21)

Em particular, podemos assumir que minv∈e{b0(v)} > 0 para todo e ∈ M . Mais ainda, da

defini¸c˜ao da fun¸c˜ao b0(c˙) e da defini¸c˜ao de βi segue que minv∈e{b0(v)} > βi para todo e ∈ M .

Para cada v´ertice v ∈ V (M ), consideramos as cerejas boas que contˆem o v´ertice v como v´ertice n˜ao especial. Assuma que temos K ∈ W e um par extremal C e C0tais que v n˜ao ´e um v´ertice especial em C. O grafo link LK(C, C0) contˆem todas as arestas incidentes aos dois v´ertices especiais. Assim,

definimos um deslocamento de peso local da seguinte forma: coloque pesos _{2(k−`)−1</sub>1 · <sub>4(k−`−1)}k−2 βi

para os v´ertices de todas as arestas incidentes a exatamente um dos v´ertices especiais, βi para os

v´ertices de K e coloque h0(C) = h0(C0)−(1−_4(k−`)−2k−2 )βi. De forma similar aos c´alculos realizados no

come¸co da demonstra¸c˜ao desse lema, obtemos um βi+1-hom-empacotamento h0 com w(h0) = w(h).

Por outro lado, o peso do v´ertice v e de todos os outros v´ertices n˜ao especiais em Lk(C, C0) s˜ao

reduzidos por _4(k−`)−2k−2 βi, i.e.

wh0(v) = w_h(v) − k − 2

4(k − `) − 2βi.

Dessa forma, pela defini¸c˜ao de b0(v), temos que existem pelo menos b0(v)/βi cerejas boas que

contˆem v como v´ertice n˜ao especial e podemos aplicar o deslocamento de peso local no m´aximo minu∈e{b0(u)}/βi vezes para um v´ertice v ∈ e ∈ M .

Para toda aresta e ∈ M , gostar´ıamos de aplicar esses deslocamentos de pesos locais para todo v´ertice v ∈ e, onde circulamos atrav´es de todos os k v´ertices e aplicamos o deslocamento a cada um deles. Em outras palavras, eventualmente reduzimos os pesos de todos os v´ertices de e. Note que podemos aplicar esses deslocamentos de pesos locais usando K, C e C0a menos que j´a tenhamos saturados os v´ertices em K ou usado uma das cerejas anteriores. O procedimento para assim que atingirmos um v´ertice para o qual n˜ao ´e poss´ıvel realizar o deslocamento de pesos locais.

Primeiro discutimos o caso ideal no qual este procedimento n˜ao para, i.e., para todo e ∈ M e para todo v ∈ e aplicamos minu∈e{b0(u)}/βi deslocamentos locais de pesos. Neste caso, para todo

e ∈ M , podemos reduzir o peso de todos os v´ertices v ∈ e para no m´ınimo 1 βi min u∈e{b 0_(u)} k − 2 4(k − `) − 2βi= k − 2 4(k − `) − 2minu∈e{b 0_(u)}.

Consequentemente, aplicando a Afirma¸c˜ao4.12, incrementamos o empacotamento na aresta e pelo mesmo valor. Repetindo este processo para todo e ∈ M , obtemos um βi+1-hom-empacotamento h00

satisfazendo w(h00) ≥ w(h) +X e∈M k k − 2 4(k − `) − 2minu∈e{b 0 (u)} (4.21) ≥ w(u) +Cγt 2 k − 2 4(k − `) − 2 (4.14) ≥ w(h) + ct,

o que conclui a prova desse caso.

No caso no qual o procedimento para, existe algum v ∈ e ∈ M e uma cereja boa C para v tal que C n˜ao pode ser utilizada para o deslocamento local de pesos. Isso significa que, como C ´e uma cereja boa, existem pelo menos |W|/2 conjuntos K ∈ W que possuem um v´ertice saturado ou existem

4.1 IDEIA DA PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL DE HIPERGRAFOS E LEMAS PRINCIPAIS 51

pelo menos |Φ|/2 cerejas que j´a foram utilizadas em deslocamentos locais de pesos anteriormente. No caso em que existem |W|/2 conjuntos K ∈ W que contˆem v´ertices saturados, ent˜ao cada um desses v´ertices foram usados em pelo menos _2βα

i deslocamentos locais de pesos. Portanto, aplicamos

no total |W| 2 α 2βi (4.17) ≥ αt 8k α 2βi

deslocamentos de pesos. Por outro lado, se todas as |Φ|/2 cerejas poss´ıveis, C0, foram utilizadas anteriormente em deslocamentos locais de pesos ent˜ao aplicamos pelo menos |Φ|/4 deslocamentos locais de pesos. Como no caso ideal, usando a Afirma¸c˜ao 4.12, conclu´ımos que aumentamos o empacotamento nas arestas de M e obtemos um βi+1-hom-empacotamento h00 com

w(h00) ≥ w(h) +  min  α2_t 16kβi ,|Φ| 4  − k  (k − 2)βi 4(k − `) − 2 (4.14), (4.16) ≥ w(h) + ct,

o que conclui a prova do Lema4.13. 

Agora, desejamos transferir o β-hom(C`)-empacotamento de R para um empacotamento em

caminhos de H. Para isso, vamos usar o seguinte resultado.

Lema 4.15 (Lemma 2.7 [10]). Dados k > 3, 1 6 ` < k/2 inteiros e ε, d > 0 tais que d > 2ε. Seja m > _ε2_(d−ε)k2 . Suponha que V = (V1, . . . , Vk) ´e uma k-upla (ε, d)-regular com

|V₁| = · · · = |V_{2`</sub>| = m e |V<sub>2`+1}| = · · · = |V_k| = 2m.

Ent˜ao existem no m´aximo _(d−ε)ε2k `-caminhos disjuntos que cobrem pelo menos (1 − 2kε)m v´ertices

de V. 

Finalmente, usando o Lema 4.15 nas arestas do β-hom(C`)-empacotamento de R dado pelo

Lema 4.13, obtemos um empacotamento em caminhos de H do tamanho desejado.

Lema 4.16 (Lema de Empacotamento em Caminhos). Para todos os inteiros k > 3 e 1 6 ` < k/2, existem C, γ0 > 0, tais que, para todo α > 0, γ < γ0, existe um inteiro s de forma que o seguinte

vale para todo n suficientemente grande. Seja H um hipergrafo k-uniforme de ordem n e δk−2(H) >  4(k − `) − 1 4(k − `)2 − γ  n 2  .

Ent˜ao ou existe uma fam´ılia `-caminhos disjuntos com no m´aximo s elementos que cobre pelo menos (1 − α)n v´ertices de H ou H ´e (`, Cγ)-extremal.

Demonstra¸c˜ao. Sejam k > 3 e 1 6 ` < k/2 dados e sejam C0 e γ<sub>0</sub>0 as constantes dadas pelo Lema 4.13 para k e `. Defina C = 6C0 e γ0 = γ

0 0

4, e seja α > 0 e γ < γ0. Seguindo a quantifica¸c˜ao

do Lema 4.13 com α₂ e γ, obtemos β, ε0 e um t0 suficientemente grande. Seja ε suficientemente

pequeno. Ent˜ao o Lema da Regularidade Fraca (Lema2.10) para ε0= βε₂ e t0 garante um T0. Sejam

s uma constante suficientemente grande e H um hipergrafo k-uniforme de ordem n suficientemente grande tal que

δk−2(H) >  4(k − `) − 1 4(k − `)2 − γ  n 2  .

Pelo Lema da Regularidade (Lema 2.10), existe uma parti¸c˜ao ε0-regular V0∪ · · · ∪ Vt de H com

que, pelo Lema 2.11, n˜ao satisfaz deg_R(K) > 4(k − `) − 1 4(k − `)2 − 4γ   t 2 

para pelo menos (1 −√ε0) _k−2t
≥ (1 − ε0) _k−2t
conjuntos K ∈ _k−2[t]
. Dividimos o restante da

prova em dois casos, dependendo se R ´e β-fracion´ario-(`, 4C0γ)-extremal ou n˜ao.

Suponha que R n˜ao ´e β-fracion´ario-(`, 4C0γ)-extremal. Ent˜ao o Lema4.13implica que existe um β-hom(C`)-empacotamento h de R com peso (1 −α₂)t. Seja Φ+o conjunto de homomorfismos de C`

em R com h(ϕ) > 0, em particular temos h(ϕ) > β. Utilizamos o Lema4.15para obter `-caminhos cobrindo quase todos os v´ertices de H. Para isso, dividimos as classes da parti¸c˜ao de acordo com o empacotamento h. Seja {Rϕ<sub>1</sub>, . . . , Rϕ<sub>2k−2`</sub>}_ϕ∈Φ+ uma fam´ılia tal que para todo ϕ 6= ϕ0 ∈ Φ+ temos

• Rϕ_i ⊂ V_ϕ(i) para todo i ∈ [2k − 2`], • Rϕ<sub>i</sub> ∩ Rϕ<sub>j</sub>0 = ∅ para todo i, j ∈ [2k − 2`], • |Rϕ_i| = 2bh(ϕ)m₂ c para todo i ∈ [2k − 2`].

Para cada ϕ ∈ Φ+ e todo i ∈ {k − 2` + 1, . . . , k}, seja S_iϕ∪ U_iϕ = R_iϕ uma parti¸c˜ao de Rϕ_i em duas classes de mesmo tamanho. Note que

(R₁ϕ, . . . , Rϕ_{k−2`</sub>, S<sub>k−2`+1}ϕ , . . . , S_kϕ) e (U_{k−2`+1</sub>ϕ , . . . , U<sub>k</sub>ϕ, Rϕ<sub>k+1</sub>, . . . , R<sub>2k−2`}ϕ )

s˜ao (ε, γ)-regulares. Ent˜ao, pelo Lema 4.15, para ambos os pares acima existem no m´aximo _(γ−ε)ε2k `-caminhos que cobrem pelo menos (1 − 2kε)|Rϕ<sub>i</sub>| v´ertices. Aplicando isso para todos os homomor- fismos ϕ ∈ Φ+, e como |Φ+| independe de n e s ´e suficientemente grande, obtemos no m´aximo s `-caminhos.

Afirmamos que a quantidade de v´ertices em V (H) que n˜ao s˜ao cobertos por esses caminhos ´e no m´aximo αn. Para isso, note que os v´ertices n˜ao s˜ao cobertos por esses caminhos s˜ao os v´ertices da classe V0, os v´ertices que n˜ao est˜ao contidos em nenhum Rϕ_i e aqueles que est˜ao contidos em algum

R_iϕ e n˜ao est´a contido em nenhum `-caminho. Devido ao peso do β-hom(C`)-empacotamento, no

m´aximo α₂n v´ertices n˜ao est˜ao em nenhum Rϕ_i e perdemos no m´aximo 2t_β v´ertices por causa dos arredondamentos na defini¸c˜ao dos conjuntos Rϕ_i. Os `-caminhos cobrem todos a menos de uma fra¸c˜ao kε de v´ertices em S

i,ϕR ϕ

i. Consequentemente, a quantidade total de v´ertices que n˜ao s˜ao

cobertos ´e no m´aximo ε0n + α 2n + 2t β + kεn < αn.

Agora suponha que R ´e β-fracion´ario-(`, 4C0γ)-extremal. Pela defini¸c˜ao de β-fracion´ario-(`, 4C0γ)- extremal, existe uma fun¸c˜ao b : V (R) → {0} ∪ [β, 1] com

X v∈V (R) b(v) > 2(k − `) − 1 2(k − `) t e X e∈E(R) Y v∈e b(v) 6 4C0γ t k  .

Para cada i ∈ [t], fixamos um subconjunto Ai ⊆ Vi com |Ai| = bb(i)|Vi|c e definimos B =

S

No documento Circuitos hamiltonianos em hipergrafos e densidades de subpermutações (páginas 54-63)