Demonstração. Suponha-se que G ∈ Q e que S é um estável máximo de G. Se v ∈ S então α(G) = α(G − NG(v)) ≤ υG−NG(v)(−λmin(AG−NG(v))) = υG(−λmin(AG)), o
que implica α(G − {v}) = υG−{v}(−λmin(AG−{v})).
Reciprocamente, suponha-se G − U ∈ Q, com U = {v} ou U = NG(v). Então, uma
vez que
α(G − U ) ≤ α(G) ≤ υG(−λmin(AG)) ≤ υG−U(−λmin(AG−U)),
podemos concluir que α(G) = υG(−λmin(AG)).
Existe uma grande variedade de grafos com número de estabilidade quadrá- tico convexo. Com efeito, tal como se prova em [9], um grafo G, para o qual L(G) não é completo, admite um emparelhamento perfeito se e só se υL(G)(2) = α(G).
Como consequência, todos os grafos linha de grafos com emparelhamentos per- feitos são grafos com número de estabilidade quadrático convexo.
5.3
Emparelhamentos e coberturas de arestas por
vértices
Antes de prosseguirmos convém introduzir o conceito de matriz totalmente uni- modular, bem como alguns resultados que lhe estão associados. Assim, uma ma- triz quadrada B, com entradas inteiras, designa-se por unimodular se det(B) =
±1. Por sua vez, uma matriz A, com entradas inteiras, designa-se por totalmente unimodular se toda a submatriz quadrada não singular de A é unimodular. Como
consequência, da definição de matriz unimodular, podemos concluir que o sis- tema Bx = ˆb, onde B é uma matriz unimodular de ordem m e ˆb ∈ Zm, tem
uma solução de componentes inteiras. Com efeito, sendo B = [ˆb1. . . ˆbm], onde ˆbj
denota a j-ésima coluna de B, para j = 1, . . . m, aplicando a regra de Cramer, para se obter a solução x = B−1b, vem que
xi =
det([ˆb1. . . ˆbi−1ˆb ˆbi+1. . . ˆbm])
det(B) , i = 1, . . . , m. (5.17) Logo, tendo em conta que o numerador de (5.17) é inteiro e o denominador é
±1, podemos concluir que xi tem valor inteiro, para i = 1, . . . , m.
Theorem 5.3.1. Dado um politopo definido pelo conjunto S = {x ∈ Rn: Ax =
ˆb, x ≥ 0}, onde A é uma matriz totalmente unimodular, se as componentes de ˆb são inteiras, então os vértices de S (ou seja, as soluções básicas admissíveis
para S) têm componentes inteiras.
Demonstração. A prova decorre da análise anterior.
Theorem 5.3.2. Se uma matriz A, com entradas aij ∈ {0, +1, −1}, não tem mais do que duas componentes não nulas em cada coluna e se se os seus índices linha podem partir-se em dois subconjuntos I1 e I2 tais que
1. se uma coluna tem duas componentes com o mesmo sinal, então as linhas correspondentes têm os seus índices em subconjuntos diferentes,
2. se uma coluna tem duas componentes de sinal diferente, então as linhas correspondentes têm os sues índices no mesmo subconjunto,
então A é totalmente unimodular.
Demonstração. Vamos fazer a prova por indução sobre a ordem das submatrizes quadradas de A, tendo em conta que qualquer submatriz de ordem 1 é submodular. Suponha-se que o resultado é verdadeiro para matrizes quadradas de ordem inferior a
k, com k > 1 e seja B uma submatriz quadrada de A de ordem k. Vamos considerar
três casos distintos.
a) Se B tem uma coluna de zeros, então é sigular.
b) Se B tem uma coluna com uma única componente não nula, então podemos expandir o respectivo determinante ao longo dessa coluna, pelo que o resultado pretendido decorre da hipótese de indução.
c) Suponha-se que em B todas as colunas têm duas componentes não nulas. Então as condições (1) e (2), implicam que para qualquer índice coluna de B, j, se
verifica a igualdade X i∈I1 aij= X i∈I2 aij.
Logo, podemos concluir que as linhas de B são linearmente dependentes e, con- sequentemente, B é singular.
Deste teorema decorre que as matrizes de incidência arco vértice dos grafos orientados são totalmente unimodulares e, por sua vez, as matrizes de incidên- cia aresta vértice de grafos não orientados bipartidos são, também, totalmente unimodulares.
Theorem 5.3.3. Se G é um grafo bipartido, então o invólucro convexo dos
vectores característicos dos emparelhamentos de G ("matching polytope"de G) fica definido pelas seguintes desigualdades
X
e∈∂(v)
xe ≤ 1, ∀v ∈ V (G), (5.18)
xe ≥ 0, ∀e ∈ E(G), (5.19)
onde, para cada v ∈ V (G), ∂(v) denota o conjunto de arestas incidentes em v, ou seja, o corte definido por v.
Demonstração. Seja M (G) o conjunto dos vectores característicos representativos dos emparelhamentos de G (ou seja, M (G) = {x(M ) : M é um emparelhamento de G}) e seja X o subconjunto de RE(G)que verifica as restrições (5.18)-(5.19).
(i) Dado um emparelhamento M de G, é claro que o seu vector característico x(M ) verifica as restrições (5.18)-(5.19) e, deste modo, podemos concluir que M (G) ⊆
X.
(ii) Se às restrições (5.18) acrescentarmos as variáveis de desvio, obtém-se um sis- tema de |V (G)| equações a |E(G)|+|V (G)| variáveis, cuja matriz dos coeficientes
Emparelhamentos e coberturas de arestas por vértices 65
[A, I] verifica as hipóteses do Teorema 5.3.2. Logo, trata-se de uma matriz to- talmente unimodular, pelo que as suas submatrizes quadradas não singulares têm determinante igual a ±1. Logo, as soluções básicas admissíveis para (5.18)- (5.19) têm componentes pertencentes ao conjunto {0, 1} e, consequentemente, são vectores característicos de emparelhamentos. Assim, podemos concluir que
X ⊆ M (G).
Tendo em conta (i) e (ii), vem que M (G) = X.
É fácil verificar que as inequações (5.18)-(5.19) não são suficientes para ca- racterizarem emparelhamentos em grafos não bipartidos. Por exemplo, se con- siderarmos o grafo G não bipartido da figura a seguir, vem que xT = 1
2(1, 1, 1)
é um vértice do politopo (5.18)-(5.19).
1
2
3
Figura 5.4: Grafo não bipartido.
Com efeito, a partir da figura, com facilidade se verifica que o conjunto de restrições (5.18)-(5.19) relativo ao grafo representado, corresponde ao conjunto restrições: x12 + x23 ≤ 1, x23 + x13 ≤ 1, x12 + x13 ≤ 1, x12, x23, x13 ≥ 0, para o qual xT =1 2(1, 1, 1) é admissível.
Theorem 5.3.4. Se A é uma matriz totalmente unimodular e c é um vector
de componentes inteiras, então os vértices do poliedro convexo P = {y : yTA ≥
ˆcT, y ≥ 0} têm componentes inteiras.
Demonstração. Uma vez que A é totalmente unimodular, é claro que AT é uma
matriz totalmente unimodular e, consequentemente, a matriz [AT, I] também é. Logo,
do Teorema 5.3.1, podemos concluir que os vértices de P têm componentes inteiras.
Como consequências dos Teoremas 5.3.1 e 5.3.4, dada uma matriz totalmente unimodular A, um vector de inteiros ˆb e um vector de inteiros ˆc, podemos concluir que a relação de dualidade
max
Ax≤ˆb,x≥0ˆc
Tx = min
yTA≥ˆcT,y≥0y
Tˆb,
é válida para vectores de inteiros x∗ e y∗, desde que os respectivos programas
lineares tenham óptimo finito. Na verdade, basta garantir que ambos os polie- dros sejam não vazios ou que pelo menos um deles tenha óptimo finito.
Do Teorema 5.3.1 combinado com o Teorema 5.3.3 decorre ainda que para determinarmos um emparelhamento de cardinalidade máxima de um grafo bi- partido G, basta resolver o programa linear (P)
max X e∈E(G) xe s. a X e∈∂(v) xe ≤ 1, ∀v ∈ V (G), xe ≥ 0, ∀e ∈ E(G), cujo dual (D) min X v∈v(G) yv s. a X v∈V (e) yv ≥ 1, ∀e ∈ E(G), yv ≥ 0, ∀v ∈ V (G),
permite determinar o vector característico de um conjunto de cobertura de ares- tas por vértices de G (que a seguir se define) com cardinalidade mínima.
Designa-se por conjunto de cobertura de arestas por vértices (ou, simples- mente, conjunto de cobertura) de um grafo G, todo o subconjunto de vértices
T ⊆ V (G) tal que qualquer aresta de G é incidente em pelo menos um vértice
de T . Um conjunto de cobertura diz-se conjunto de cobertura mínima, se não existe outro conjunto de cobertura de menor cardinalidade. A cardinalidade de um conjunto de cobertura mínima de um grafo H designa-se por número de
cobertura de H e denota-se por β(H). Por exemplo, o subconjunto de vértices T = {1, 4, 5}, constitui um conjunto de cobertura mínima para o grafo G repre-
sentado na Figura 5.3, pelo que β(G) = 3.
Tendo em conta que o número de cobertura de um grafo G se denota por
β(G) e denotando a cardinalidade de um emparelhamento máximo de G por τ (G), estamos agora em condições de estabelecer os seguinte teorema obtido
por König, cuja prova é consequência, imediata, das considerações anteriores. Theorem 5.3.5 (König). Se G é um grafo bipartido, então β(G) = τ (G).
Os conceitos de conjunto independente de vértices e de conjunto de cobertura de arestas por vértices aparecem em muitas aplicações. Por exemplo, suponha que pretende armazenar várias substâncias químicas em diferentes salas. É claro que é aconselhável armazenar em salas diferentes as substâncias químicas que são incompatíveis entre si (ou seja, aquelas que na presença umas das outras podem provocar reacções com consequências indesejáveis). Seja G um grafo cu- jos vértices são as substâncias químicas e onde dois vértices são adjacentes se e somente se as correspondentes substâncias são incompatíveis. Logo, qualquer conjunto de vértices representando substâncias compatíveis forma um conjunto
5.4. COLORAÇÕES DE VÉRTICES E ARESTAS 67