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Le nombre de Reynolds associé à l’écoulement océanique est caractéristique

de la FDT (de l’ordre de 10

¹¹

). L’observation au moyen de capteurs optiques

ayant une résolution kilométrique des structures océaniques, montre qu’à

cette échelle de résolution une multitude de structures sont identifiables ayant

des dimensions horizontales de l’ordre du kilomètre (voir figures 1.20 et 1.22).

Ces structures sont essentiellement présentes dans la couche de surface de

l’océan et se distinguent par un nombre de Rossby (Ro=U/f·L) et de

Richard-son (Ri = E

_p

/E

_c

) de l’ordre de 1. Elles ont une contribution majeure pour les

transferts verticaux et pour la variation de la densité par mélange des masses

d’eau. Elles permettent aussi le transfert de l’énergie entre la mésoéchelle

et l’échelle de dissipation. Si on s’intéresse au transport par advection des

propriétés biogéochimiques des masses d’eau dans la couche de surface, leur

étude dynamique est primordiale [Thomas et Ferrari, 2008]. Enfin elles vont

aussi fortement contribuer au déplacement de tout objet inanimé dérivant à la

surface de l’océan et contraindre le déplacement de toute la chaîne trophique

aquatique (du phytoplancton jusqu’aux prédateurs supérieurs).

Les écoulements issus de ce mode de la turbulence sont fortement

non-stationnaires avec des variations très irrégulières (intermittence) [Kraichnan,

1967b]. L’énergie contenue dans ces écoulements peut être transférée par

cas-cade directe de l’enstrophie Ω =ω

²

= (

^∂v_∂x

−

∂u

∂y

)

²

, w étant la vorticité) ou en sens

inverse par la cascade inverse d’énergie [Kraichnan, 1967a; Batchelor, 1969].

La limite des petites structures va être étroitement liée à l’échelle de

Kolmogo-rov (échelle de dissipation où la viscosité devient prépondérante et où Re = 1).

Enfin, et nonobstant le caractère apparemment déterministe des équations de

Navier-Stokes, les acquisitions de signaux de fluides en FDT constituent en

quelque sorte un prototype de l’imprédictabilité auquel s’intéresse la Science

de la Complexité. L’imprédictabilité peut se mesurer, entre autres, par les

exposants de Lyapunov qui indiquent le caractère exponentiel de déviation

des trajectoires à partir de conditions initiales infinitésimalement proches :

connaître une solution à un instant t du système nécessite une précision

infinie sur les conditions initiales qui implique à son tour une incertitude

ini-tiale nulle sur les petites échelles lors de leurs propagations dans les grandes

échelles. Il est donc impossible en océanographie de pouvoir respecter ces deux

postulats ne serait-ce que par nos moyens actuels de calcul limité et "imprécis".

Certains groupes de transformations spatiales et temporelles agissent sur

l’ensemble des solutions des équations de Navier-Stokes : symétries, rotations,

transformations galiléennes, et changement d’échelle [Frisch, 1995]. Plus le

nombre de Reynolds augmente et plus on observe des "brisures de symétrie" de

ces groupes d’action, jusqu’au cas extrême de la FDT où les symétries ne sont

restaurées qu’en un sens statistique. C’est de là que vient l’impossibilité de

"représenter" des signaux turbulents sur une base ou une trame Hilbertienne

fixe et selon des techniques de projection standard, ce qui explique la difficulté

de leur analyse. La théorie de Kolmogorov K41 ([Kolmogorov,1991a,b]) relie ces

propriétés au comportement de la fonctionnelle des incréments de vitesse (un

invariant galiléen) :

T

r

u(x,r) = u(x+r)−u(x) (3.3)

dont la fonction de structure d’ordre 3 vérifie :

h(T

r

u(·,r))

³

i=−⁴

5^{r (}Loi de Kolmogorov du 4/5) (3.4)

oùest le taux de dissipation de l’énergie, qui demeure fini quand Re→+∞.

On en déduit la forme générale des fonctions de structure dans le cadre K41 :

d’où l’apparition d’exposants critiques universels h

_p

= p/3 et la forme

stan-dard du spectre de Kolmogorov en théorie K41 :

E(k) = C

^2/3

k

^−5/3

(3.6)

On sait depuis longtemps que la théorie K41 n’est qu’une approximation

qui doit être corrigée. La raison essentielle provient de l’observation de

l’inter-mittence qui implique une correction dans les exposants critiques universels

h

_p

= ζ(p). Cette correction fait apparaître une décomposition du taux local

de dissipation de l’énergie sous la forme d’une cascade multiplicative dont le

support est un ensemble de nature fractale dont on a déterminé les

caracté-ristiques dans le cas de modèles particuliers, par exemple le modèle noir et

blanc aléatoire de Novikov et Stewart en 1964 ou encore le modèle β aléatoire

de Benzi et al. [1991].

L’existence d’exposants critiques dans le comportement asymptotique

des fonctions de structure des incréments de vitesse d’un flot turbulent

est la signature de la présence d’une structure multiéchelles, de nature

multifractale. L’invariance d’échelles est bien connue en physique, elle est

associée à de nombreux phénomènes étudiés depuis longtemps, par exemple

les transitions de phase [Stanley, 1987]. D’une manière générale, au voisinage

d’un point critique, les variables thermodynamiques ainsi que les

corréla-tions spatiales ont un comportement en loi de puissance qui constitue une

signature de l’invariance d’échelles [Turiel et al., 2008]. Il est admis que les

exposants critiques, c’est-à-dire les exposants qui apparaissent dans les lois

de puissance au voisinage d’un point critique, s’ils peuvent être déterminés,

donnent accès à la hiérarchie multiéchelles permettant de caractériser la

classe d’universalité d’un système. En particulier ils permettent de localiser les

phénomènes de cascade multiplicative, par conséquence ces variétés critiques

sont donc nécessairement de nature multifractale. Dans ce qui suit, nous

allons détailler le Formalisme Multiéchelles Microcanonique qui permet de

déterminer effectivement les variétés critiques dans un signal d’acquisition.

Mais avant cela, il nous faut rappeler les approches antérieures, qui ne

déterminent pas les exposants critiques localisés, mais d’autres exposants

-qui leurs sont nécessairement liés - calculés, comme dans le cas des

fonc-tions de structure de la turbulence, de manière globale au travers de l’étude

des moments. Les variétés critiques étant, comme nous l’avons dit, de nature

multifractale, nous commençons par rappeler les idées de base sur la fractalité.

Il existe plusieurs définitions non-équivalentes de la notion de dimension.

L’une des plus simples est la dimension de boîte : si X est une partie non vide

d’un espace métrique, soit N(s) le nombre minimal de boules de diamètre s

nécessaires pour recouvrir X. La dimension de boîte de X, dim

_B

(X) est :

dim

_B

(X) = lim

s→0

logN(s)

log(1/s) (3.7)

quand cette limite existe. Cette définition ne conduit pas toujours à des

"dimensions raisonnables". Par exemple si

X ={1/n , n∈N− {0}} ∪ {0} ⊂R (3.8)

alors dim

_B

(X) = ¹

2 alors qu’on s’attendrait à une dimension nulle. Pour

remé-dier à ce genre de difficulté, il existe une autre définition de la dimension, qui

remonte à Hausdorff et qu’on appelle pour cette raison la dimension de

Haus-dorff. Etant donné δ > 0, soit un recouvrement de X par des ouverts (U

_i

) tels

que diam(U

_i

)< δ. On pose :

dim

^δ_H

(X) = lim

s→0

inf

_Ui

X

i

diam(U

_i

)

^s

(3.9)

puis dim

_H

(X) est l’inf des δ tels que dim

^δ_H

(X) < ∞. La dimension de

Haus-dorff de l’ensemble X ci-dessus : X = {1/n , n ∈ N − {0}} ∪ {0} ⊂ R est

nulle. Bien qu’elle soit plus satisfaisante d’un point de vue mathématique, la

dimension de Hausdorff est en pratique difficile à calculer. On a toujours :

dim

_H

(X)<=dim

_B

(X). Dans les approches de la multifractalité par les fonctions

de structure, que nous allons maintenant rappeler, la notion de dimension

in-tervient pour définir le spectre de singularités.

3.3 Spectre de singularités et description

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