4.2
Energia escura ou gravita¸c˜ao modificada?
A despeito do sucesso observacional do modelo ΛCDM, a real natureza das compo- nentes do setor escuro (mat´eria escura e energia escura) continua desconhecida. Existem duas vias poss´ıveis para explicar a natureza desse setor escuro: (i) novas “substˆancias”n˜ao pertencentes ao modelo padr˜ao da f´ısica de part´ıculas, ou, (ii) uma modifica¸c˜ao da teoria da gravita¸c˜ao padr˜ao (i.e, a relatividade geral) em escalas cosmol´ogicas.
A relatividade geral pode ser obtida a partir da a¸c˜ao de Einstein-Hilbert somada `a a¸c˜ao dos campos de mat´eria
SGR =
Z
d4x√−gR[gµν]
16πG + Sm[gµν, Ψ] , (4.1)
sendo Ψ os campos de mat´eria. A extremiza¸c˜ao da a¸c˜ao (4.1) leva `as equa¸c˜oes de campo gravitacional de Einstein
Gµν = Rµν −
1
2gµνR = 8πGTµν , sendo o tensor energia-momento Tµν = √−2−gδgδSµνm.
Qualquer proposta de uma nova f´ısica passa por modificar a a¸c˜ao (4.1), seja na parte da mat´eria ou da gravita¸c˜ao. No cap´ıtulo 1 j´a vimos modelos como quintessˆencia e k- essˆencia que partem de uma modifica¸c˜ao na mat´eria por meio da adi¸c˜ao de um campo escalar dinˆamico minimamente acoplado com a m´etrica. Agora exploraremos a outra via.
Teorias modificadas de gravita¸c˜ao podem ser classificadas em trˆes tipos:
• As que quebram suposi¸c˜oes fundamentais (dimens˜oes extras, quebra de invariˆancia local de Lorentz tais como as teorias de Hoˇrava [127] e Einstein-Aether [128], teorias n˜ao-locais) ;
• As que tornam o graviton massivo [129, 130];
• As que consideram campos adicionais (campos escalares, vetoriais [131, 132] ou tensoriais [133, 134] ).
Essa grande variedade de modelos est´a esquematizada na figura 4.1. Pode parecer confuso ao leitor ao que estamos nos referindo como “energia escura”e “gravidade mo- dificada”. A rigor, energia escura se refere a componentes extras do lado direito das
4.2 Energia escura ou gravita¸c˜ao modificada? 93
equa¸c˜oes de Einstein, enquanto gravidade modificada se refere a componentes extras do lado esquerdo. No entanto, energia escura e gravidade modificada podem ser colocadas em um ´unico “framework ”. Portanto, nos referiremos `a “energia escura”como qualquer componente extra que procure explicar a expans˜ao acelerada do universo, seja do lado direito ou esquerdo das equa¸c˜oes de Einstein.
Figura 4.1: Mapeamento dos modelos de gravidade modificada esquematizando as poss´ıveis vias de extens˜ao da relatividade geral. Tamb´em est´a datacado os v´ınculos impostos em cada teoria pelas detec¸c˜oes de ondas gravitacionais (GW). Extra´ıdo de [59].
4.2.1
Teorias escalar-tensorial
A adi¸c˜ao de um campo escalar como um grau de liberdade extra ´e a modifica¸c˜ao mais simples que se pode fazer na teoria da gravita¸c˜ao. Por n˜ao possu´ırem nenhuma orienta¸c˜ao preferencial, campos escalares n˜ao quebram a isotropia do espa¸co-tempo FLRW. Al´em do que, o termo de potencial pode mimetizar uma constante cosmol´ogica no limite em que o campo varia lentamente (rolamento lento) que ´e a base de teorias como a infla¸c˜ao e a
4.2 Energia escura ou gravita¸c˜ao modificada? 94
quintessˆencia. Essas caracter´ısticas tornam o campo escalar para aplica¸c˜oes em cosmologia com objetivo de descrever a expans˜ao acelerada do universo.
A classifica¸c˜ao das teorias escalar-tensorial se baseia na ordem nas derivadas presentes nas equa¸c˜oes de movimento, com trˆes gera¸c˜oes de teorias
1. Teorias “Old-school ”: Primeira ordem nas derivadas da a¸c˜ao e segunda ordem nas derivadas da equa¸c˜ao de movimento.
2. Teorias de Horndeski: Segunda ordem nas derivadas da a¸c˜ao e segunda ordem nas derivadas das equa¸c˜oes de movimento [27].
3. Teorias al´em de Horndeski: Segunda ordem nas derivadas da a¸c˜ao e ordens maiores nas derivadas das equa¸c˜oes de movimento [135].
Essa classifica¸c˜ao ´e motivada pelo teorema de Ostrogradsky [136], que diz que teorias de segunda ordem ou ordens maiores na a¸c˜ao possuem instabilidades do tipo “ghost ”, i.e, elas n˜ao possuem um estado de m´ınima energia, podendo decair at´e estados infinitamente negativos. Essas s˜ao as instabilidades de Ostrogradsky, e podemos visualiz´a-la tomando a Lagrangeana com derivadas de segunda ordem
L = a 2
¨
φ2− V (φ) , (4.2)
em que a(6= 0) ´e uma constante e V (φ) ´e um potencial arbitr´ario. Pelas equa¸c˜oes de Euler- Lagrange obtidas de (4.2), obtemos uma equa¸c˜ao de movimento de quarta ordem a....φ − dV /dφ = 0, a qual necessitamos de quatro condi¸c˜oes iniciais para resolvˆe-la. Isto implica em dois graus de liberdade dinˆamicos, sendo assim, podemos decompor a Lagrangeana (4.2) em dois campos por meio da vari´avel auxiliar ψ, de forma que
L = aψ ¨φ − a 2ψ 2− V (φ) = −a ˙ψ ˙φ − a 2ψ 2− V (φ) + ad dt(ψ ˙φ) , (4.3)
em que recuperamos (4.2) fazendo ψ = ¨φ. O ´ultimo termo n˜ao contribui para as equa¸c˜oes de movimento pois ´e um termo de superf´ıcie. Podemos definir as vari´aveis q = (φ + ψ)/√2 e Q = (φ − ψ)/√2 e reescrever (4.3) na forma L = −a 2q˙ 2+ a 2 ˙ Q2− U (q, Q) . (4.4)
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Nesta Lagrangeana fica claro que o sistema possui dois graus de liberdade dinˆamicos, sendo que um deles possui um termo cin´etico com sinal contr´ario, sinalizando a presen¸ca de instabilidades do tipo ghost. Este resultado pode ser generalizado para Lagangeanas de ordem maior.
Teorias do tipo “Old School ”s˜ao aquelas que possuem derivada de ordem um no campo escalar, e podem ser expressas da forma
Sold school =
Z
d4x√−g 1
16πG[ω(φ)R − K(φ, X)] + Sm[gµν, Ψ] , (4.5) sendo X = −12gµν∇
µφ∇νφ o termo cin´etico canˆonico do campo escalar. Nessa classe
de teorias, se inclue a relatividade geral (ω = 1, K = Λ), quintessˆencia (ω = 1, K = X − V (φ)), teoria de Brans-Dicke (ω = φ, K = ωBD
φ X − V (φ)), k-essˆencia (ω = 1,
K = K(φ, X)).
A a¸c˜ao (4.5) pode descrever um acoplamento entre o campo escalar e o campo de mat´eria ao realizarmos uma mudan¸ca de referencial. No referencial definido pela m´etrica gµν n˜ao h´a nenhuma intera¸c˜ao direta entre o campo escalar e o campo de mat´eria, sendo
as equa¸c˜oes de campo dadas por Gµν+∆Gµν(φ) = 8πGT (m)
µν sendo que ∆Gµν(φ) incorpora
as modifica¸c˜oes nas equa¸c˜oes de Einstein devido a presen¸ca do campo escalar. Este ´e o chamado referencial de Jordan. Neste referencial, o tensor energia-momento da mat´eria se conserva independentemente, i.e., ∇µT(m)µν = 0.
Ao realizarmos uma transforma¸c˜ao conforme na m´etrica, gµν → ˜gµν = C(φ)gµν de
forma a obter as equa¸c˜oes de Einstein usuais (i.e., sem o acoplamento com o campo escalar) e redefinindo o campo escalar da forma φ → ˜φ(φ), a a¸c˜ao (4.5) fica reescrita como Sold school = Z d4xp−˜g 1 16πG[ ˜R − ˜K( ˜φ, ˜X)] + Sm[C(φ) −1g˜ µν, Ψ] . (4.6)
Este ´e o referencial de Einstein, em que recuperamos as equa¸c˜oes de Einstein da forma padr˜ao ˜Gµν = 8πG( ˜T
(m)
µν + ˜Tµνφ). No entanto, como a nova m´etrica est´a acoplada com o
campo escalar, o campo de mat´eria n˜ao se conserva de forma independente, e teremos uma intera¸c˜ao da forma ˜∇µT˜(m)µν ∝ ˜∇νφ. Dessa forma, vemos que modelos de gravita¸c˜ao modi-
ficada do tipo escalar-tensorial e modelos de intera¸c˜ao do setor escuro est˜ao relacionados por uma mudan¸ca de referencial. A conex˜ao mais profunda entre modelos de intera¸c˜ao e