dessa estrutura espacial, a conclusão que podemos chegar é que tal modelo possui um eixo de simetria cuja rotação se dá em um eixo específico (que no nosso caso foi escolhido como sendo o eixo z), entretanto sem apresentar qualquer centro de rotação.
4.4
Energia Gravitacional do Universo de Obukhov-
Gödel
Um conjunto de tétradas associado a um referencial co-móvel ao fluido que preenche esse universo pode ser escolhido como
eaµ = 1 0 −A√σemx 0 0 A 0 0 0 0 A√ξemx 0 0 0 0 A . (4.7)
Lembrando que a quadrivelocidade está relacionado com as tétradas
vµ = e(0)µ
então
vµ= δµ0. (4.8)
Assim, então, podemos calcular o tensor energia-momento gravitacional (3.15). Para isso devemos, usando (4.7), calcular a Torção (3.4)
Cujas únicas componentes não-nulas serão T002 = −T020 = A˙ √ σemx T012 = −T021 = m √ σAemx T101 = −T110 = A ˙A T202 = −T220 = kA ˙Ae2mx T212 = −T221 = mkA2e2mx T303 = −T330 = A ˙A.
Usando a definição do tensor Σ (também chamado de Superpotencial) [42]
Σλµν = 1 4 T
λµν+ Tµλν − Tνλµ + 1 2 g
λνTµ− gλµTν
o cálculo, laborioso, nos leva as seguintes componentes não-nulas
Σ010 = mk 2ξ 1 A2 Σ202 = 1 ξ ˙ A A3e −2mx Σ331 = − m 2A4 Σ101= Σ303 = k ξ ˙ A A3 Σ112 = Σ332 = √ σ ξ ˙ Ae−mx A4 Σ012 = Σ120 = Σ201 = m √ σ 3ξ e−mx A3 .
Por fim, com os valores dos nosso tensores, podemos finalmente calcular o Tensor Energia- Momento Gravitacional, e a energia associada ao campo. Usando (3.15), encontramos as devidas componentes t00= 1 32π 1 ξ2A2 m2σk − 12k2A˙2 t01= mk 8πξ ˙ A A3
38 4.4. ENERGIA GRAVITACIONAL DO UNIVERSO DE OBUKHOV-GÖDEL t02 = 1 32π √ σe−mx ξ2A3 12k ˙A2− m2σ t10 = mk 4πξ ˙ A A3 t11= − 1 32πξ 1 A4 m2σ + 4k ˙A2 t12= − m 16π √ σ ξ ˙ A A4e −mx t20= √ σ 16π e−mx ξ2A3 n 6k ˙A2+ m2k + σ 2 o t21= −3m √ σ 16π e−mx ξ ˙ A A4 t22= − 1 8π e−2mx ξ2A4 (k + 4σ) ˙A2+ m 2σ 4 t33= 1 32π 1 ξA4 m2σ − 4k ˙A2 .
Claramente tµν não é um tensor simétrico, entretanto é sempre possível torná-lo simétrico nos seus índices pela adição de um termo que seja uma divergência pura [30]. Em posse do tensor, podemos calcular a energia gravitacional como
P(0) = Eg = Z d3xee(0)µtµ0 (4.10) onde e = det(ea µ) e = A3pξemx. O que nos leva a escrever
Eg = − Z d3x e mx 32π√ξ σm2A + 12kA ˙A2 .
Ao se realizar a integração sobre todo o espaço, claramente a integral diverge, dando uma energia infinita, por isso, a fim de trabalhar apenas com valores finitos, podemos usar
apenas a densidade de energia ε, que será εg = − emx 32π√ξ σm2A + 12kA ˙A2 . (4.11) Assim temos como caso limite quando m = σ = 0, a vorticidade se anula e a energia gravitacional é dada apenas pela expansão (num universo plano), enquanto para o caso de expansão nula (fator de escala A constante), a energia fica atrelada somente a vorticidade do mesmo (Universo de Gödel).
40
Capítulo 5
Mecânica Quântica e Quantização
Os fenômenos físicos que descrevem o mundo, desde o movimento dos astros em torno do Sol até o comportamento de partículas subatômicas, é regido por um conjunto de ideias e interpretações de observações que culminam no que chamamos de Leis da Física. Assim sendo, cada grupo dessas leis se estabeleceu num corpo mais ou menos coeso para for- mar troncos comuns: Eletromagnetismo, Mecânica Clássica, Termodinâmica, Óptica, etc. Esse conjunto de regras denominadas leis, entretanto, podem entrar em contradição entre si quando um mesmo fenômeno perpassa mais de um tronco. Por exemplo, a radiação de corpo negro, que se fundamenta nos princípios da Termodinâmica e do Eletromagne- tismo, e que só foi completamente compreendido supondo uma reinterpretação do próprio fenômeno que levou Planck a postular seus “osciladores discretizados”.
Nesse contexto de necessidade de se explicar os diversos fenômenos que surgiram ao se experimentar sob o domínio atômico [47], surge então a Mecânica Quântica, em sua primeira versão como um apanhado de postulados (vários deles feitos por Bohr [36]), entretanto ainda com certa limitação. É com Heisenberg, e sua mecânica matricial, e Schrödinger, com a mecânica ondulatória, que se solidifica e começamos a ter um aparato matemático mais robusto para realizar previsões, munidos da Interpretação de Copenha- gue, tendo por Bohr, Pauli e Born seus principais defensores.
A Mecânica Quântica, então, terá uma constante característica do mundo microscó- pico h, chamada constante de Planck, que definirá a “fronteira” entre o mundo clássico e quântico. Fazendo h → 0 recuperaríamos os resultados da Física Clássica.
O processo se daria então ao identificar os observáveis físicos, como energia, momento angular, momento linear, em operadores atuando em vetores num espaço abstrato, con- forme um conjunto de regras, que permitem predizer ou calcular as probabilidades dos eventos que ocorrem. Percebamos que a Mecânica Quântica, como criada, permite apenas que calculemos probabilidades de medidas. É por este motivo que se necessita de uma interpretação altamente cuidadosa, já que isto se mostra completamente fora do senso comum e daquilo que se tinha na física contemporânea da época em que a teoria quântica foi desenvolvida. Os longos debates entre Bohr e Einstein, discorrendo sobre a natureza em si e a natureza da própria mecânica quântica frente à natureza, levaram a um melhor entendimento do significado de tudo isso. Como historicamente quem “venceu” o debate sobre como interpretar a Mecânica Quântica foi Bohr, apresentaremos aqui os postulados dessa teoria conforme essa leitura da mesma, entretanto existem outras variadas inter- pretações que se dispõem a explicar de uma maneira “mais satisfatória” os fenômenos quânticos, e assim a discussão em torno disso ainda está longe do fim [28].
Os métodos desenvolvidos para pensar na forma dos operadores, que correspondem a quantidades físicas observáveis, será chamado de quantização, o que basicamente nos instrui na maneira de construir tais operadores. Os métodos então são desenvolvidos prin- cipalmente por P.A.M. Dirac, com a chamada quantização canônica [17], ou as integrais de caminho de R.P. Feynman, que conseguem dar um bom subsídio para as quantizações. Entretanto o processo de quantização sofrem de inconsistências internas que veremos mais adiante.
5.1
Fundamentos da Mecânica Quântica
Nesta seção faremos um breve resumo dos postulados da Mecânica Quântica. Pode- mos descrever as propriedades da Mecânica Quântica então, segundo a Interpretação de Copenhague como:
1. Qualquer estado de um sistema quântico em um tempo t0 está caracterizado por um vetor (“ket”) |Ψ(t0)i que pertence a um espaço de Hilbert.
42 5.1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Este vetor no espaço de Hilbert descreve completamente o estado físico do sistema. Tudo que pode ser dito sobre o sistema está contido em |Ψ(t0)i.
2. Toda quantidade física mensurável é descrita por um operador auto-adjunto (cha- mado observável) agindo no espaço de Hilbert do sistema. Entretanto, o inverso não é necessariamente verdade.
3. O único resultado possível de uma medida de uma quantidade física é um dos autovalores do operador autoadjunto associado a ela.
4. A probabilidade de se encontrar um dos autovalores (por exemplo, an) associado à quantidade observada é dada por (no caso discreto):
p(an) = |Pn|Ψi|2 = hΨ|Pn|Ψi = Σ gn
g=1|hΨ|φgni|2
onde Pn é o projetor sobre o auto-subespaço do espaço de Hilbert com autovalor an e |φg
ni é um dos auto-estados com este autovalor com degenerescência gn.
Como o estado definido no primeiro postulado descreve integralmente o sistema físico, esta probabilidade é a máxima informação que podemos ter sobre o sistema e não se refere a uma ignorância sobre este que poderia ser eliminada com uma investigação mais detalhada.
5. A evolução do vetor de estado enquanto não se realizam experimentos é governada pela equação de Schrödinger:
i~d|Ψ(t)i
dt = H(t)|Ψ(t)i (5.1)
onde H(t) é o operador hamiltoneano do sistema. Na descrição de Heisenberg são os observáveis que variam com tempo.
6. Depois de uma medida gerando o autovalor an, o estado do sistema colapsa para:
|Ψ0i = Pn|Ψi phΨ|Pn|Ψi
Outro ponto importantíssimo advindo da Mecânica Quântica é a impossibilidade de ter medidas extremamente precisas quando se tenta colapsar a função de onda para ob- serváveis que são conjugados. O exemplo mais simples que temos é ao tentar medir simultaneamente a posição em uma dada direção do espaço de uma partícula e seu mo- mento linear na mesma direção. Como x e px são conjugados, possuem um comutador que não se anula
[x, px] = i~
então teremos incertezas associadas a tais medidas dada por
∆x∆px ≥ ~
2. (5.3)
O primeiro a observar essa propriedade de sistemas físicos quânticos foi Heisenberg [23, 43] e por isso ficou conhecido como Princípio da Incerteza de Heisenberg [47].
5.2
Quantização
Há inúmeras formas de se tentar quantizar um sistema físico, ou seja, dado a sua descrição clássica, desenvolver um correspondente quântico [46, 11]. Se Q representa o mapa de quantização que atua nas funções f no espaço de fase clássico, as propriedades a seguir são geralmente consideradas desejáveis [46]:
1. Qxψ = xψ e Qpψ = −i~∂xψ; 2. f → Qf é um mapa linear;
3. [Qf, Qg] = i~Q{f,g} (parênteses de Poisson); 4. Qg◦f = g(Qf) (Regra de Von Neumann).
No entanto, essas quatro propriedades não são apenas mutuamente inconsistentes, mas qualquer de três delas são também inconsistentes [3]. Um problema apresentado na chamada Regra do Parênteses de Poisson é demonstrado pelo Teorema de Groenewold [24]:
44 5.3. QUANTIZAÇÃO DE WEYL
Teorema 1. Não há nenhum mapa de quantização Q (seguindo as regras acima) sob observáveis polinomiais de grau menor ou igual a quatro que satisfaça o Parênteses de Poisson, ainda que f e g tenham graus menor ou igual a três.
E assim, podemos dizer que não há de fato nenhuma boa regra de quantização. En- tretanto algumas possuem vantagens sobre outras, de acordo com a necessidade ou visão de quem realiza o processo de quantização.
A chamada quantização canônica então será uma das formas mais usuais de se re- lacionar observáveis (ou quasi-observáveis como os potenciais eletromagnéticos φ e ~A) a operadores hermitianos correspondentes, passando de um espaço de fase clássico para um análogo quântico.
5.3
Quantização de Weyl
Uma vez que não haverá uma técnica de quantização que seja completamente satisfató- ria, o processo dependerá exclusivamente de uma escolha arbitrária e que seja conveniente para o sistema físico, podemos escolher então a Quantização de Weyl [22, 3] como a que traz de uma maneira mais natural a quantização dos observáveis do problema de Gödel em questão.
A quantização de Weyl (ou mapeamento de Wigner-Weyl) é definido matematicamente como W [f ] (z1, z2, ..., zn) := 1 (2πα)n Z dnzdnkf (z1, z2, ..., zn) exp i α n X l=1 kl(zl− ˆzl) ! (5.4)
de maneira geral podemos entender esse mapeamento como sendo um conjunto de ob- serváveis clássicos tomado num espaço de fase descrito por n variáveis z1, z2, ..., zn, que possui suas contrapartidas quânticas (seus operadores ˆz1, ˆz2, ..., ˆzn), e que são quantizadas através do procedimento (5.4), para um dada função f nesse espaço de fase. Ou seja, o procedimento de Weyl-Wigner toma uma função f das coordenadas generalizadas e seus momenta conjugados e quantiza num operador ˆf [12].
obedecendo à álgebra da comutação
[ˆzj, ˆzl] = iαij. (5.5) Esse mapeamento gera então o nosso espaço de fase quântico. Sua principal vantagem é eliminar ambiguidades que podem surgir na hora de simetrizar ou anti-simetrizar um operador, já que isso acontece naturalmente, tendo assim um significado físico mais claro, além de podermos, ao menos em tese, quantizar funções não-polinomiais de mais difícil tratamento em outras formas de quantização, como a quantização canônica. Para o caso de um funções polinomiais o resultado é o mesmo que a quantização canônica [1,52, 31]. Essa forma garante que podemos determinar operadores quânticos para qualquer ob- servável desejável, apesar do inconveniente de que nem sempre teremos a capacidade de realizar essa integral de maneira analítica, e por isso lançar mão de técnicas numéricas.
Será conveniente, entretanto, usar um resultado de McCoy [34, 46]. Se G(p, q) é a função clássica e G(p, q1) é a mesma função clássica de tal maneira que os fatores são ordenado com q sempre precedendo p, então a regra de Weyl eq.(5.4) pode ser escrita na forma: ˆ G = W [G] := exp −i~ 2 ∂2 ∂q∂p G(p, q1). (5.6)
O operador diferencial atua apenas em G(p, q1)e é importante manter a ordem dos fatores durante a diferenciação. Fica claro a partir da eq.(5.6) que o operador quântico associado é único e idêntico ao clássico quando ~ → 0 (Princípio da Correspondência [23,28, 36]).
5.4
Aplicação do procedimento de Weyl
Vamos ilustrar na prática como quantizar um sistema a partir de uma dada função, usando a forma dada por McCoy eq(5.6). Tomemos então uma função f(p, q) = qp, onde seguimos o ordenamento normal para aplicação de eq(5.6), vamos ter ao final do processo um operador hermitiano F (ˆp, ˆq) = W [f(p, q)]. Seguindo o procedimento teremos:
46 5.4. APLICAÇÃO DO PROCEDIMENTO DE WEYL F (ˆp, ˆq) = exp −i~ 2 ∂2 ∂q∂p f (p, q) = exp −i~ 2 ∂2 ∂q∂p (qp) = qp −i~ 2 ∂2(qp) ∂q∂p + 1 2! −i~ 2 2 ∂2 ∂q∂p ∂2(qp) ∂q∂p + · · ·
onde foi usado a expansão em Maclaurin [50]
eA= I + A + A 2 2! +
A3 3! + · · · com A sendo uma matriz (operador).
Realizando as derivações e fazendo a substituição q → ˆq e p → ˆp, conforme McCoy, nosso operador F será escrito
F (ˆp, ˆq) = ˆq ˆp −i~ 2
que aparentemente não é o operador correspondente de qp. Entretanto, basta utilizarmos a relação de comutação entre ˆp e ˆq
[ˆq, ˆp] = ˆq ˆp − ˆpˆq = i~
e substituindo na expressão de F que chegamos a forma mais conhecida desse operador
F (ˆp, ˆq) = 1
2(ˆq ˆp + ˆpˆq) (5.7)
que é a forma direta, exata e simetrizada do da função f(p, q) = qp. Este exemplo simples mostra o poder da técnica, que funciona de maneira geral mesmo para casos mais complicados de funções.
48
Capítulo 6
Quantização da Energia Gravitacional
do Modelo de Gödel-Obukhov
Uma vez que já estabelecemos a (densidade) energia gravitacional do Universo de Gödel-Obukhov eq.(4.11) e construímos uma técnica que permite a quantização direta de quantidade físicas clássicas mapeando em operadores no espaço de Hilbert [56, 46], podemos então unir essas duas ideias e encontrar o respectivo operador Hamiltoniano e consequentemente uma Equação do tipo Schrödinger. Para isso então vamos construir um espaço de fase clássico nas variáveis A e ˙A. E, portanto, construir operadores associados
ˆ
A e ˆ˙A, obedecendo a relação de comutação
h ˆA,Aˆ˙i
com λ sendo a constante associada ao sistema. Quantizando a energia, teremos: ˆ H = exp −iλ 2 ∂2 ∂A∂ ˙A εg A, ˙A ˆ H = exp −iλ 2 ∂2 ∂A∂ ˙A − e mx 32π√ξ σm2A + 12kA ˙A2 ˆ H = − e mx 32π√ξ σm2A + 12kA ˙A2− iλ 2 ∂2 ∂A∂ ˙A − e mx 32π√ξ σm2A + 12kA ˙A2 + · · · ˆ H = − e mx 32π√ξ
12kA ˙A2+ m2σA −iλ 224k ˙A ˆ H = − e mx 32π√ξ
12kA ˙A2− 12iλk ˙A + m2σA
E usando a comutação eq.(6.1), podemos reescrever ˆ˙A como um operador na base de A:
ˆ˙
A = −iλ d dA.
Assim reescrevemos o operador Hamiltoniano em termos de A e suas derivadas. E então construir uma equação diferencial que determina as autofunções da Equação de Schrödin- ger [23]. Escrevendo então ˆHΨ (A, x) = Ψ (A, x), teremos a seguinte equação diferencial
− e mx 8π√ξ −12λ2kA∂ 2Ψ(A, x) ∂A2 − 12λ 2k∂Ψ(A, x) ∂A + σm 2AΨ(A, x) = Ψ (6.2) reorganizando os termos, nossa equação fica
A∂ 2Ψ ∂A2 + ∂Ψ ∂A − m2σ 12λ2kA + 2π√ξ 3emxλ2k Ψ = 0 (6.3)
que nos leva a uma solução:
Ψ (A, x) = e−2λm √ σ 3ka F1(x)M J, 1,m λ r σ 3ka + F2(x)U J, 1,m λ r σ 3ka (6.4)
50
onde F1 e F2 são funções complexas que depende apenas da coordenada x e é determinada a partir das condições de contorno sobre essa variável e
J = 2π 3 r 3ξ kσ e−mx mλ + 1 2.
As funções M(a, b, z) e U(a, b, z) são as Funções Hipergeométrica Confluentes, ou funções de Kummer [2]: M (a, b, z) = ∞ X n=0 a(n)zn b(n)n!
onde a(0) = 1 e a(n) = a (a + 1) (a + 2) · · · (a + n − 1), enquanto U(a, b, z)
U (a, b, z) = Γ (1 − b) Γ (a + 1 − b)M (a, b, z) + Γ (b − 1) Γ (a) z 1−b M (a + 1 − b, 2 − b, z)
Através da função de onda temos todas as informações necessárias, pelo menos na interpretação ortodoxa da mecânica quântica [36, 28], para caracterizar o sistema físico e suas propriedades junto aos observáveis. O problema então é definir os autovalores da autofunção encontrada, para isso devemos que ter que J seja um número inteiro não positivo, garantindo o bom comportamento da função de onda (6.4):
2π 3 r 3ξ kσ e−mx mλ + 1 2 = −n.
Realizando as manipulações algébricas para isolar a auto-energia
n = − 3mλ 2π s kσ 3ξe mx n +1 2 (6.5)
Uma vez que n ∈ N, claramente esta expressão se assemelha às auto-energias do Oscilador Harmônico Quântico, com a diferença que em nosso caso elas podem ser negativas. Como estamos trabalhando no regime quântico fica claro que λ deve ser um número muito pequeno, e portanto podemos assumir numa primeira análise que tanto A quanto ˙A são quantidade pequenas, o que nos leva a interpretar nossos resultados para um universo de Gödel-Obukhöv muito pequeno também. Realizando então uma expansão no parâmetro
espacial x n = − 3mλ 2π s kσ 3ξe mx n + 1 2 n = − 3mλ 2π s kσ 3ξ 1 + mx + (mx) 2 2 + · · · n + 1 2 .
Se levarmos em conta que x deve ser muito pequeno no ínicio do Universo, então podemos desprezar os termos de ordem alta e ter apenas
n = − 3mλ 2π s kσ 3ξ n +1 2 .
Assim a energia tem um máximo em n = 0 e λ > 0 e para valores maiores, temos energia cada vez mais negativas
0 = − 3mλ 4π s kσ 3ξ e 0 > 1 > 2 > · · · (6.6) Expressões negativas de energia são incomuns, mas não impossíveis, já que o Teorema da Positividade da Energia[30] é provado válido apenas para os campos de matéria, e o nosso caso é puramente gravitacional. Uma maneira de contornar tais problema é imaginar que a adição de matéria no processo de quantização pode levar a um valor de nmáx do qual a energia gravitacional não poderia decair mais, tornado o saldo de energia total do modelo de Gödel positivo ou pelo menos nulo, mas não completamente negativo.
Por outro lado, supondo λ = −ω < 0, teremos auto-energias positivas associadas ao sistema, o que é mais comum e mais fácil de interpretar fisicamente.
0 = 3mω 4π s kσ 3ξ e 0 < 1 < 2 < · · · (6.7) O valor de λ então só pode ser definido experimentalmente para podermos determinar o valor de 0.A dificuldade está em detectar qual o valor exato de 0 devido a sua depen- dência direta com os muitos parâmetros do modelo de Gödel-Obukhov, o que significa
52
ainda um longo caminho para entender completamente os valores de energia envolvidos. Conseguimos assim uma expressão bastante clara baseada tanto nos conceitos consistentes da mecânica quântica, quanto da cosmologia, baseada na formulação TERG da mesma.
Capítulo 7
Consideração Finais
Neste trabalho propusemos uma possível solução para a quantização de energia gravi- tacional do modelo tipo-Gödel como feito por Obukhov, que descreve um universo preen- chido por um fluido cósmico de densidade ε e pressão p, apresentando rotação e expansão simultaneamente. Isso é possível graças a formulação do TERG, que nos possibilita en- contrar a (densidade de) energia gravitacional do modelo.
Houve dois objetivos em nossa proposta: a utilização de uma teoria que não a teoria da relatividade geral ao tentar descrever um Universo em rotação e expansão, apesar das evi- dências observacionais não serem conclusivas. Determinar uma equação de Schrödinger a partir da quantização da hamiltoniana clássica que descreve o universo de Gödel-Obukhov, pela regra de quantização de Weyl.
Para o primeiro problema recorremos à TERG como teoria base da gravitação que permitiu, a partir da métrica de Obukhov e assim determinar completamente o tensor de energia-momento gravitacional (sem adição de matéria) para esse Universo, com base em um conjunto de observadores co-móveis ao fluido que o preenche.
Através de tal tensor tµν, expressamos a densidade de energia ε (já que a energia total do universo de Gödel-Obukhov é divergente) em termos do fator de escala A(t) e sua respectiva derivada temporal ˙A(t). O processo de quantização dessa densidade de energia nos leva então a um operador quântico hermitiano, o hamiltoniano ˆH usando como base a versão quantizada dos operadores acima citados.
54
a evolução temporal da função de onda cosmológica que governa o comportamento da gravidade. Como resultado temos eq(6.4), com nível de complexidade bem alto. As constantes associados à normalização são obtidas garantindo que
Z ∞ 0
dA|Ψ(A, x)|2 = 1
para todo x [36].
A função de onda apresentada contém assim toda a informação que podemos obter deste sistema. Há ainda a questão, não explorada neste trabalho, de quantizar o próprio momento angular gravitacional diretamente pelo procedimento de Weyl. Então, trabalhar com a possibilidade de um Universo em rotação pode trazer luz à questões ainda em aberto, principalmente oriundas de recentes dados observacionais que estão se tornando cada vez mais acurados e precisos graças ao avanço tecnológico.
Com isso avançamos mais alguns passos para estabelecer os alicerces da Cosmologia Quântica nos moldes aqui apresentada. Novos desafios se impõe e que precisam ser eluci- dados com mais clareza, e esperamos que este trabalho possa ajudar no desenvolvimento de outros pesquisadores e futuros cientistas e cosmólogos.
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