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Les modifications des propriétés du plasma dépendent de la concentration des vapeurs métalliques. Dans notre modèle ces modifications sont prises en compte à partir de plusieurs lois de mélange qui sont présentées dans cette section. Les lois dépendent soit de la fraction massique soit de la fraction molaire. Nous présentons donc d’abord les calculs de ces différentes fractions massiques.

Définitions des différentes fractions

Pour un nombre de gaz d’indice de masse m et de quantité de matière n, on peut définir plusieurs types de fractions :

Figure II.1.1 Évolution du coefficient de Marangoni en fonction de la température pour trois

systèmes : le fer pur, le Fe-S et l’Acier-S. La concentration en soufre des deux systèmes binaires est 200 ppm.

 La fraction massique de gaz i :

_∑

(II.1.7)

 La fraction molaire de gaz i :

_∑

(II.1.8)

Ces deux premières formulations sont liées par les relations suivantes :

∑ et

∑ (II.1.9)

Il est important de noter ici que la masse molaire M des éléments composés de plusieurs entités est définie en fonction de la température. Par exemple, la masse molaire d’un plasma d’argon est différente à 5 et 25 kK car les densités des espèces ionisés et neutres sont différentes. Les valeurs des masses molaires sont obtenus soit de la composition du plasma, soit de la masse volumique lorsqu’il y a peu d’écart à la loi des gaz parfaits. À pression atmosphérique, on peut ainsi calculer la masse molaire pour la gamme de température d’étude :

(II.1.10)

avec R la constante des gaz parfaits, T la température et P la pression. La figure II.1.2 illustre la variation de la masse molaire en fonction de la température pour un plasma d’argon,

Figure II.1.2 Évolution de la masse molaire en fonction de la température pour un plasma d’argon,

II.1. Données de base et équations de conservation

d’Arcal 37 et de fer. Pour le plasma d’argon, la valeur à basse température est environ 40 g.mol-1 ce qui correspond à la masse molaire de l’atome d’argon. En augmentant la température, l’argon s’ionise et plusieurs autres espèces sont présentes dans le plasma (Ar+

et les électrons) diminuant la valeur de la masse molaire. Ce même raisonnement peut s’appliquer pour le plasma d’Arcal 37 et de fer.

 La fraction volumique est facilement définissable dans le cas d’un mélange d’espèces non miscibles. C’est le cas d’un système à deux phases. Le volume de chaque phase est alors clairement défini. Pour obtenir la fraction volumique il suffit de faire le rapport ente le volume occupé par une phase et le volume total afin d’obtenir la fraction volumique.

La notion est plus délicate lors d’un mélange de gaz, c’est-à-dire d’espèces miscibles. Tous les gaz occupent alors entièrement le volume disponible. Il est commun de définir le volume partiel d’un gaz comme le volume que le gaz occuperait si la masse de gaz i était seule présente à la pression et à la température du mélange. Ainsi défini, il est possible d’utiliser la loi d’Amagat : « Le volume d’un gaz parfait ou semi- parfait est égale à la somme des volumes partiels des gaz constituants » [Bor05] pour définir la fraction volumique d’un gaz i :

_∑

(II.1.11) En supposant la loi des gaz parfait, le volume occupé par une mole de gaz est égale pour chaque constituant , on a alors :

_∑

∑ (II.1.12)

Dans ce cas, les fractions molaire et volumique sont égales. C’est pour cela que dans la littérature, les deux termes sont utilisés pour définir la même quantité. Cette égalité n’est valable que pour des gaz parfaits. Pour des gaz réels, il faut utiliser un facteur de compressibilité pour la conversion entre la fraction volumique et molaire [RvA04].

Dans notre modèle, nous considérons que les plasmas étudiés vérifient l’équation d’état des gaz parfaits. La fraction massique est équivalente à la fraction volumique et la masse molaire est déduite de la masse volumique. Dans cette condition, les relations de passage entre la fraction molaire et la fraction massique (équation II.1.9) s’écrivent :

et (II.1.13) où ρ représente la masse volumique du mélange définie par le rapport entre la masse et le volume occupé par ce mélange.

Dans la suite de la section, les différentes lois de mélange sont énoncées.

Loi de mélange de la masse volumique. Pour déterminer la masse volumique du mélange, la

loi d’Amagat est directement utilisée :

∑ _∑

(II.1.14)

Cette formule se retrouve dans plusieurs modèles [Lag04a, Che08].

Loi de mélange de la viscosité. La loi utilisée est celle proposée par C. Wilke [Wil50]. C’est

une interpolation molaire linéaire améliorée. La viscosité du mélange μ est prise égal à :

∑ [ ( ∑ ₎ ] √ ( ) [ ( ) ( ) ] (II.1.15)

Loi de mélange de la conductivité thermique. La formule utilisée pour calculer la

conductivité thermique du mélange κ est :

∑ [ ( ∑ ₎ ] √ ( ) [ ( ) ( ) ] (II.1.16)

Cette formule est transposée de celle de C. Wilke pour la viscosité : la viscosité est remplacée par la conductivité thermique aussi bien dans le terme principal que du facteur de pondération

. Notre formulation est également proche de celle établie par E. Mason et S. Saxena

[Mas58] directement sur la conductivité thermique. Par rapport à ces derniers auteurs, le facteur de 1,065 qui multiplie est supprimé pour garantir des valeurs bornées par celles

des plasmas purs pour des températures supérieures à 20kK. Dans un souci de cohérence avec la loi de mélange sur a viscosité, le dernier rapport de masses molaires du facteur de pondération est inversé par rapport à celle des auteurs (mais n’a pas d’influence sur les résultats).

Loi de mélange de conductivité électrique. La conductivité électrique du mélange σ est

calculée à l’aide d’une interpolation molaire :

∑

II.1. Données de base et équations de conservation

Selon A. Gleizes et al [Gle10] cette approximation est valable pour des températures supérieures à 10kK. Pour des températures plus faibles, cette loi de mélange tend à sous- estimer la valeur de la conductivité.

Loi de mélange de la chaleur spécifique. L’interpolation de la chaleur spécifique se base sur la définition pour des gaz non réactifs :

∑

(II.1.18)

Loi de mélange du coefficient d’émission nette. Le coefficient d’émission nette est calculé à partir de la fraction molaire :

∑

(II.1.19)

Selon A. Gleizes et al [Gle10] cette approximation est satisfaisante pour des températures au- delà de 12 kK.