Entrela¸camento de arcos - Diagrama de pontos de quebra

6.2 Diagrama de pontos de quebra

6.2.2 Entrela¸camento de arcos

Sejam P = (π, σ, Γ) um problema, ρ uma reversão em π, α e β arcos em P e ρ(α, π) a reversão induzida por α em π. Dizemos que ρ e α se entrela¸cam caso α possua orienta¸cões distintas em π e πρ. Dizemos que β entrela¸ca α caso β possua orienta¸cões distintas em π e πρ(α, π).

Seja α uma permuta¸cão e A _{⊂ E (α). A subtra¸cão de A em α resulta na permuta¸cão} α\ A tal que α \ A | α, |E (α \ A)| = |E (α)| − |A| e se x ∈ A então x /∈ E (α \ A).

Seja P = (π, σ, Γ) um problema, G um conjunto de genes de P e ΓG o conjunto dos complementos dos genes em G. A subtra¸c˜ao de G em P resulta no problema P _{\ G = (π \ (G ∪ ΓG), σ \ (G ∪ ΓG), Γ \ (G ∪ ΓG)).}

Seja P = (π, σ, Γ) um problema e α e β arcos distintos de P . Dizemos que α e β se intercalam quando existe um anel θ de π tal que

(x y Γσx Γσy)_{| θ} para x _{∈ Supp(α) e y ∈ Supp(β).}

Os Lemas 14, 15 e 16 a seguir analisam o efeito da subtra¸cão sobre os arcos com suas orienta¸cões e rela¸cões de intercala¸cão.

Lema 14. Seja P = (π, σ, Γ) um problema e G um conjunto de genes em P . Se α = (x Γσx ) é um arco de P e Supp(α)∪ {σx } ⊂ E (P \ G) então α é arco de P \ G.

Demonstra¸cão. De acordo com o enunciado podemos afirmar que {x , Γx , σx , Γσx } ⊂ E (P \ G). Observe que σ \ (G ∪ ΓG)x = σx , assim, Γ \ (G ∪ ΓG)σ \ (G ∪ ΓG)x = Γσx e, desta forma, α é arco também em P _{\ G.}

Lema 15. Seja P = (π, σ, Γ) um problema e G um conjunto de genes em P . Se α = (x Γσx ) é um arco de P e Supp(α)_{∪ {σx } ⊂ E (P \ G) então α é arco em P \ G e sua} orienta¸cão é a mesma em P e P _{\ G.}

6.2. Diagrama de pontos de quebra 55

Demonstra¸c˜ao. O Lema 14 nos garante que α ´e arco em P_{\ G.}

Pelo enunciado temos que Supp(α) _{⊂ E (P \ G) e, de acordo com a defini¸cão de} subtra¸cão, podemos afirmar que π_{\ (G ∪ ΓG) | π logo, se α | π então α | π \ (G ∪ ΓG) e} se α ∤ π então α ∤ π\ (G ∪ ΓG).

Lema 16. Seja P = (π, σ, Γ) um problema e G um conjunto de genes em P . Se α = (x Γσx ) e β = (y Γσy) são arcos de P e Supp(α)∪ Supp(β) ∪ {σx , σy} ⊂ E (P \ G) então α e β são arcos em P_{\ G, α e β se intercalam em P \ G caso se intercalem em P e α e} β não se intercalam em P _{\ G caso não se intercalem em P.}

Demonstra¸c˜ao. O Lema 14 nos garante que α e β s˜ao arcos em P_{\ G.}

De acordo com a defini¸cão de subtra¸cão, π_{\ (G ∪ ΓG) | π. Desta forma os elementos} x , Γσx , y e Γσy estarão, num dos anéis de P _{\ G, na mesma ordem que estavam num} dos anéis de P e, assim, α e β se intercalam em P\ G se, e somente se, se intercalam em P .

Nos Lemas 17 e 18 assim como na Conjectura 1 e Corolário 2 faremos uma análise da rela¸cão entre os conceitos de entrela¸camento e intercala¸cão. Ao final conclu´ımos que os conceitos são eqüivalentes.

Lema 17. Seja P = (π, σ, Γ) um problema e α e β arcos distintos deste problema. Se os arcos α e β se intercalam ent˜ao β entrela¸ca α.

Demonstra¸cão. Inicialmente observemos a estrutura do anel. Note que, no anel, cada ele- mento fica acompanhado de seu complemento, os elementos de uma fita e outra alternam, os elementos da fita tomada como base, digamos π1, ficam na mesma ordem de π ou, algebricamente, também podemos dizer que π1|Γπ1. Os da outra fita, digamos π2, ficam na ordem inversa ou, algebricamente, também podemos dizer que π−1

2 | Γπ1.

Faremos agora uma análise de casos variando α e β de orienta¸cão. São quatro casos no total. Para o estudo iremos utilizar o seguinte problema como referência

P =  



π = (Γa Γx Γy Γf Γi )(i f y x a) σ = qualquer

Γ = (a Γa)(x Γx )(y Γy)(f Γf )(i Γi ) onde temos

θ(π) = (a Γa x Γx y Γy f Γf i Γi )

como um dos anéis. Temos também que x ∈ Supp(α), y ∈ Supp(β), Γσx = f ou Γσx = Γf e Γσy = i ou Γσy = Γi . Note que os valores de Γσx e Γσy variam de acordo com a orienta¸cão. Temos ainda que a = πx .

56 Cap´ıtulo 6. Uma solu¸cão algébrica para o problema da Distância de Reversão

Para verificar se β entrela¸ca α iremos observar se β altera de orienta¸cão quando apli- camos a reversão induzida por α. A seguir apresentamos a análise em casos.

• α orientado: neste caso temos α = (x f ) e ρ(α, π) = ρ(x , f , π). Ao aplicar ρ(α, π) teremos

πρ(α, π) = (Γa y x Γf Γi )(i f Γx Γy a) e

θ(πρ(α, π)) = (a Γa Γy y Γx x f Γf i Γi )

– β orientado: neste caso temos β = (y i ). Observe que (y i ) ∤ πρ(α, π) e, assim, podemos afirmar que β entrela¸ca α.

– β n˜ao orientado: neste caso temos β = (y Γi ). Observe que (y Γi ) _{| πρ(α, π)} e, assim, podemos afirmar que β entrela¸ca α.

• α n˜ao orientado: neste caso temos α = (x Γf ) e ρ(α, π) = ρ(Γa, Γf , π). Ao aplicar ρ(α, π) teremos

πρ(α, π) = (Γa f y x Γi )(i Γx Γy Γf a) e

θ(πρ(α, π)) = (a Γa Γf f Γy y Γx x i Γi )

– β orientado: neste caso temos β = (y i ). Observe que (y i ) ∤ πρ(α, π) e, assim, podemos afirma que β entrela¸ca α.

– β n˜ao orientado: neste caso temos β = (y Γi ). Observe que (y Γi ) _{| πρ(α, π)} e, assim, podemos afirmar que β entrela¸ca α.

Ao concluir a análise destes casos chegamos a conclusão de que β entrela¸ca α em qualquer das poss´ıveis combina¸cões de orienta¸cão para α e β em P . Observe que a subtra¸cão do gene a e conseqüente substitui¸cão de πx = a para πx = i não alteraria os resultados.

Observe tamb´em o que os Lemas 15 e 16 nos permitem. Digamos que tiv´essemos um problema com o seguinte π

6.2. Diagrama de pontos de quebra 57

onde A1, A2, A3 e A4 são blocos contendo zero ou mais elementos. Utilizando a subtra¸cão podemos construir qualquer problema com pelo menos dois arcos e reduz´ı-lo ao problema base desta demonstra¸cão. Finalmente, conclu´ımos que se α e β se intercalam então β entrela¸ca α.

Conjectura 1. Seja P um problema e α e β arcos de P . Se α entrela¸ca β ent˜ao α e β se intercalam.

Lema 18. Seja P um problema e α e β arcos de P . Se α entrela¸ca β ent˜ao β entrela¸ca α.

Demonstra¸c˜ao. De acordo com a Conjectura 1 podemos dizer que, como α entrela¸ca β, α e β intercalam. Agora pelo Lema 17 podemos concluir que β entrela¸ca α.

O resultado demonstrado pelo Lema 18 nos leva agora a dizer que α e β se entrela¸cam ao inv´es de dizer que α entrela¸ca β. Os Lemas 17 e 18 e a Conjectura 1 nos levam ao seguinte corol´ario.

Corol´ario 2. Seja P um problema e α e β arcos distintos de P . Os arcos α e β se intercalam se, e somente se, se entrela¸cam.

Os Lemas 19 e 20 a seguir iniciam uma an´alise do efeito de uma revers˜ao induzida por um arco no que se refere aos entrela¸camentos.

Lema 19. Seja P = (π, σ, Γ) um problema e α e β arcos em P . Se α _{| π e α e β se} entrela¸cam em π ent˜ao α e β n˜ao se entrela¸cam em πρ(α, π).

Demonstra¸c˜ao. Como α| π, pelo Lema 13 podemos afirmar que πρ(α, π)ρ(α, πρ(α, π)) = πρ(α, π).

Segue uma demonstra¸c˜ao em dois casos.

• Quando β | π: como α e β se entrela¸cam em π então podemos afirmar que β ∤ πρ(α, π). Pela observa¸cão acima podemos dizer que β ∤ πρ(α, π)ρ(α, πρ(α, π)) e assim α e β não se entrela¸cam em πρ(α, π).

• Quando β ∤ π: como α e β se entrela¸cam em π então podemos afirmar que β | πρ(α, π). Pela observa¸cão acima podemos dizer que β _{| πρ(α, π)ρ(α, πρ(α, π)) e} assim α e β não se entrela¸cam em πρ(α, π).

Lema 20. Seja P = (π, σ, Γ) um problema e α e β arcos em P . Se α ∤ π e α e β se entrela¸cam em π ent˜ao α e β se entrela¸cam em πρ(α, π).

58 Cap´ıtulo 6. Uma solu¸cão algébrica para o problema da Distância de Reversão

Demonstra¸c˜ao. Como α ∤ π, pelo Lema 12 podemos afirmar que πρ(α, π)ρ(α, πρ(α, π)) = π. Segue uma demonstra¸c˜ao em dois casos:

• β | π: como α e β se entrela¸cam em π ent˜ao podemos afirmar que β ∤ πρ(α, π). Pela observa¸c˜ao acima podemos dizer que β _{| πρ(α, π)ρ(α, πρ(α, π)) e assim α e β} se entrela¸cam em πρ(α, π).

• β ∤ π: como α e β se entrela¸cam em π ent˜ao podemos afirmar que β | πρ(α, π). Pela observa¸c˜ao acima podemos dizer que β ∤ πρ(α, π)ρ(α, πρ(α, π)) e assim α e β se entrela¸cam em πρ(α, π).

No documento Comparação algebrica de genomas : o caso da distancia de reversão (páginas 66-70)