CAPÍTULO I – ENQUADRAMENTO TEÓRICO E CONCEPTUAL
1. Gerontologia Social e Envelhecimento Humano
1.3. Envelhecimento e Ambiente: interação pessoa-ambiente
Si l’on augmente p au-delà de pa-, les propriétés du front changent considérablement.
Dans ces conditions, le front d’onde joint un état stable, Xz, à un état non station
naire qu’on peut choisir égale à Xi. Il s’agit d’une situation similaire au problème
de la propagation d’une flamme [50]. Le mélange réactionnel à l’avant du front est
instable, et le front thermique envahit le système l’amenant vers un état thermo-
chimiquement stable (l’état de combustion complète).
Dans ce domaine des paramètres, l’analyse théorique fait défaut. Il est donc
particulièrement instructif de simuler un front dans ces conditions et de mesurer
la vitesse ainsi que l’écart quadratique moyen de la position. Il est évident que le
3.2. Fluctuations externes et fronts d’onde bistable 123
Figure 3.5: Position moyenne du front d’onde pour les paramètres suivants :
X — 2, n = 1.08, D = 10~^ et Q = 10““*. La droite y extrapolée se superpose
exactement aux valeurs numériques.
Figure 3.6: Déviation quadratique moyenne (r^(t)) pour les mêmes valeurs des
paramètres que la figure 3.5. Sont aussi représentées : y, la régression linéaire
sur les valeurs numériques, et la droite théorique d’après l’équation (3.34).
front n’est plus stationnaire : le pied du front a tendance à évoluer vers l’état stable
indépendamment de la présence du front. Donc, si un front se propage, il ne peut
avoir qu’une durée de vie limitée. Celle-ci dépend de l’éloignement au point critique
Per- A cause du phénomène de ralentissement critique près du point critique, le
système peut subsister dans l’état initial pendant une période d’induction d’autant
plus longue qu’on est proche du seuil critique et le front d’onde pourra donc persister
plus longtemps. Les mesures de positions et vitesses du front simulé seront donc
limitées à la durée de vie du front. La valeur de p est choisie très légèrement au-delà
de ^cr : = L09.
Comme le montre la figure 3.7, un front se propage effectivement à vitesse con
stante malgré la présence du bruit externe au moins pendant la période correspon
dant au début de la simulation ; il ne “survit” pas plus de 7 unités de temps alors que
dans la situation bistable il lui faut une trentaine d’unités de temps pour traverser
le système. La déviation quadratique moyenne, (Ar^(^)) augmente dramatiquement
(Fig. (3.8)). Etant donné l’instabilité du front, la sensibilité en est accrue. On ne
peut manifestement plus conclure à un mouvement de type diffusif.
3.3 Fluctuations internes et fronts d’onde
Dans la section précédente, nous avons présenté une méthode théorique qui se li
mite à l’analyse des fluctuations externes dans le cas d’une solution stable de type
front d’onde. Elle ne peut pas rendre compte de l’extension spatiale des corrélations
induites par la diffusion et n’est pas d’application dans le cas d’un front instable.
Considérons un mécanisme chimique caractérisé par un terme de source quadra
tique en la concentration. Typiquement, dans ces conditions, il existe deux états
stationnaires possibles dont l’un est stable et l’autre instable. Un front reliant ces
deux états est instable vis-à-vis de toute perturbation locale affectant la région du
front correspondant à l’état instable. Ce système a été examiné par F. de Pascale et
al. [79]. Ils indiquent que la méthode consistant à séparer les contributions provenant
du mode de Goldstone ne peut pas être appliquée à une dynamique chimique de ce
type.
3.3. Fluctuations internes et fronts d’onde 125
Figure 3.7: Position du front d’onde chimique (r(t)} pour les valeurs de
paramètres X = 2, n = 1.09, D = 10~^ et Q = 10“'*. La vitesse du front
est fournie par une régression linéaire y : v = 0.055.
Figure 3.8: Déviation quadratique moyenne (r^(t)) pour les valeurs de
agissant sur le pied du front (l’état instable) peut, soit induire une transition vers
l’état stable (nucléation) qui détruira le front, soit éloigner localement le système
loin de l’état stable comme l’illustre la figure 3.9. La variable diverge en e‘ ce qui,
dans la plupart des cas, n’a pas de sens physique à moins de prescrire dès le départ
qu’un tel système modélise la période d’induction d’un comportement explosif (voir
chapitre 2 et ref. [33, 32]). Si l’on envisage une étude stochastique de ce type de
système, la nature du bruit considéré doit être soigneusement choisie de telle sorte
que ce dernier cas de figure soit exclu. Nous nous limiterons au cas du bruit propre
aux fluctuations thermodynamiques inhérentes à tout système physico-chimique.
Figure 3.9: Description schématique de l’effet d’une perturbation sur l’état
instable .Ti. Soit le système tend asymptotiquement vers l’état stable X
2, soit
il s’en éloigne indéfiniment.
Dans cette section, nous allons donc nous intéresser à l’effet des fluctuations
intrinsèques sur la propagation d’un front, la sélection de sa vitesse ainsi que de
sa forme. Deux cas sont examinés : d’une part une cinétique chimique cubique
identique au problème évoqué dans la section précédente, d’autre part, un système
chimique “minimum” à non-linéarité quadratique.
Pour ce faire, nous aurons recours à la théorie stochastique des réactions chi
miques basée sur le formalisme de l’équation maîtresse (cfr. section 1.4). D’autres
méthodes peuvent être adoptées, notamment la simulation directe Monte-Carlo de
3.3. Fluctuations internes et fronts d’onde 127
l’équation de Boltzmann. Lemarchand et al. [80] ont mis en pratique cette méthode
précisément dans le cas d’un front d’onde ; nous reviendrons sur leurs résultats par
la suite. Par rapport à la description en termes des équations différentielles stochas
tiques utilisées précédemment pour décrire les fluctuations externes, les propriétés
des fluctuations sont “naturellement” définies par la nature des processus chimiques
et diffusifs considérés.
3.3.1 Système bistable
Nous abordons la description stochastique d’un front chimique dans le cas du modèle
bistable de Schlôgl introduit dans la section précédente. Nous le formulons cepen
dant d’une manière quelque peu différente de manière à simplifier la description
stochastique du modèle.
Dans les équations cinétiques (3.28) nous maintenons toujours constantes les con
centrations en A et B (système ouvert) et nous introduisons le changement d’échelle
suivant [81, 82] :
3 1
kl = ^ k2 = , ki = 3 + 6
ki = l , B = A{l+6') ,x=^ (3.36)
/i
On trouve une équation pour la variable macroscopique sous une forme quelque peu
modifiée
dx
= -x^ -I- 3x^ - x{3 + (5) + (1 -h ô') (3.37)
Notons que le passage de l’équation (3.29) à l’équation (3.37) s’éffectue simplement
moyennant le changement de variable
X X — l
X ^ -6 (3.38)
{J. >—>■ 5' — 6
Pour ce modèle, l’équation maîtresse s’écrit sous la forme d’une équation de “vie et
mort”
où A est le taux de “vie”
A(X) = jX{X - 1) + ^(1 + 6') (3.40)
et P le taux de “mort”
p{X) = ^X{X - 1){X - 2) + (3 + 6)X (3.41)
Nous ne nous étendrons pas sur les propriétés et les solutions stationnaires de
l’équation maîtresse (3.39), ceci ayant déjà fait l’objet de nombreux travaux [82, 83].
Nous abordons immédiatement la description du modèle de Schlôgl spatialement
distribué à une dimension.
Nous subdivisons l’espace en N cellules égales de volume V. Chaque cellule
est le siège de deux types d’événements distincts : les collisions réactives entre
différents constituants du système et l’échange de matière entre cellules voisines.
Les réactions chimiques sont simulées par un processus de vie et mort dans l’espace
discret du nombre de particules. Quant à l’échange de matière, nous nous limiterons
à une diffusion fickienne simulée par une promenade aléatoire. Nous supposerons,
en outre, que la fréquence moyenne de collisions élastiques est sensiblement plus
grande que celle des collisions réactives, ceci afin d’assurer à tout instant la validité
de l’équilibre local et donc de permettre une description du système en termes des
seules variables de composition. Ainsi à chaque instant, l’état du système sera
entièrement caractérisé par la fonction de probabilité multivariée (cfr. section 1.4).
Le front d’onde à une dimension est caractérisé par sa vitesse de propagation
et son épaisseur tant au niveau macroscopique qu’au niveau microscopique. Dans
le cas du modèle de Schlôgl, nous avons vu que ces caractéristiques peuvent être
évaluées exactement à partir des données cinétiques (Eq. (3.32) et (3.31)).
Nous avons vu qu’un bruit additif externe induit un mouvement de type dif-
fusif de la position du front mais ne modifie pas sa vitesse moyenne. Qu’en est-il
lorsque le bruit est généré par la dynamique elle-même ? Nous allons examiner plus
particulièrement la vitesse de propagation et l’épaisseur du front.
Pour les besoins de la simulation, il faut confiner l’ensemble du système dans un
espace unidimensionnel de taille finie. L’inconvénient majeur de cette contrainte est
de limiter la durée de vie du front ; il disparaît une fois la paroi atteinte. Pour simuler
3.3. Fluctuations internes et fronts d’onde 129
un système de taille infinie nous avons recours à l’artifice suivant : le front est amorcé,
à i = 0, en portant quelques cellules dans l’état final correspondant au sommet du
front. Dès que le point d’infiexion du profil atteint une position déterminée, par
exemple le milieu du système, l’ensemble du front est décalé d’une cellule dans la
direction opposée au sens de propagation. Une cellule à l’arrière du firont disparaît
alors qu’une cellule nouvelle apparaît à l’avant du front (voir Fig. (3.10)). Cette
dernière est préparée dans l’état métastable (ou instable selon le modèle) en réactif
frais. En d’autres termes, tout se passe comme si le front se propage sur une droite
infinie dans le référentiel inertiel. L’apparition et la disparition de boîtes aux bords
n’influencent pas la propagation du front pour autant que son épaisseur soit petite
devant la taille du système de référence.
Figure 3.10: Représentation schématique de l’artifice permettant d’obtenir un
référentiel mobile : initiation, repérage du milieu, décalage vers la gauche avec
injection de réactif à droite.
Nous définissons la vitesse instantanée de propagation comme le rapport entre
la dimension d’une cellule élémentaire et le temps mis par le front pour la traverser,
c’est-à-dire l’intervalle de temps entre deux décalages du front. La précision de la
mesure de la vitesse est donc limitée par la taille des cellules élémentaires.
Vitesse et largeur du front
Pour pouvoir interpréter les résultats des simulations stochastiques, établissons tout
d’abord la correspondance entre les paramètres macroscopiques et mésoscopiques.
L’équation déterministe (Eq. (3.37)) est caractérisée par trois paramètres : 6, 6'
en ce qui concerne la chimie et D le coefficient de diffusion de Fick. S’il n’y a pas
d’ambiguïté quant aux coefficients S et 6', par contre l’équation maîtresse définit V
comme la fréquence de saut d’une particule d’une cellule à sa cellule voisine. Le
coefficient de diffusion Fickien D s’exprime alors comme
D = Vl^ = ^ (3.42)
OÙ N est le nombre total de cellules composant le système, l, la dimension d’une
cellule, qui vaut l/N pourvu que l’on normalise au préalable la taille du système à
1 ce qui est toujours possible moyennant un changement d’échelle ad-hoc.
Les simulations ont été réalisées pour différentes valeurs de V (et donc de D) en
fixant les autres paramètres aux valeurs suivantes :
6 =
8' =
8'„
=
-0.5
-0.4
-0.364
-0.6361
où 6'„ est la valeur critique de 8' délimitant le passage de la région bistable à la
région monostable.
Pour ces valeurs de paramètres, les états stationnaires stables, X\ et X3, sont
donnés par
Xi = 0.43 =
A
X3 = 1.79 = ^
A
Quant à la vitesse de propagation, elle est définie par
3.3. Fluctuations internes et fronts d’onde 131
Figure 3.11: Définition géométrique de la largeur l et de la pente s du front.
On se convaincra aisément que, moyennant le changement de variable (3.39), on
retrouve la définition (3.32) de v. La pente du front s est définie à la figure 3.11 et
vaut
(3.44)
Lors de chaque simulation, le front est suivi pendant un temps suffisant pour per
mettre un échantillonnage significatif de la vitesse instantanée ainsi que de la pente
de manière à construire les distributions correspondantes. Celles-ci sont présentées
aux figures 3.12, 3.13 et 3.14 pour les valeurs de D valant 1, 4 et 8 respectivement.
A partir de ces distributions, nous pouvons aisément déterminer la vitesse moyen
ne, V, et la vitesse la plus problable, v*, correspondant au maximum de la distri
bution. De la même manière, on évalue la pente moyenne, s, et la pente la plus
probable, s*. Ces mesures peuvent être comparées aux valeurs déterministes corres
pondantes (Eq. (3.43 et 3.44)). Les résultats sont rassemblés dans le tableau (3.1).
Notons tout d’abord que les distributions de vitesse ont une allure non gaussienne
et asymétrique, la valeur moyenne ne se superpose pas à la valeur la plus probable.
Ceci s’explique par la nature de la variable v qui ne peut être négative. La mesure
de la vitesse la plus probable coïncide parfaitement avec la valeur déterministe. La
%
é
c
h
a
n
ti
llo
n
s
%
é
ch
a
n
till
o
n
s
(b) pente
Figure 3.12: (a) Distribution des vitesses et (b) distribution de la pente du
front pour V = 1, 6 = -0.5 et 6' = -0.4.
%
é
c
h
a
n
till
o
n
s
%
é
c
h
a
n
til
lo
n
s
3.3. Fluctuations internes et fronts d’onde 133
(b) pente
Figure 3.13: (a) Distribution des vitesses et (b) distribution de la pente du
front pour V — 4, les autres paramètres étant identiques à la figure 3.12.
%
éc
ha
nti
llo
n
%
éc
ha
nti
llo
n
16 I____I____I____I____I I I I I I I I I I I I I I I I I
(b) pente
Figure 3.14: (a) Distribution des vitesses et (b) distribution de la pente du
front pour P = 8, les autres paramètres étant identiques à la figure 3.12.
3.3. Fluctuations internes et fronts d’onde 135
V D V* V s* s Vth Sth {dv^) (<5s2)
1 4 X 10-“* 0.0094 0.01 -15.48 -15.37 0.0094 -16.37 10-2 5
4 1.6 X 10-2 0.0187 0.021 -8.22 -8.17 0.0188 -8.186 lO-'» 2.4
8 3.2 X 10-2 0.026 0.036 -5.65 -5.68 0.0266 -5.78 3.8 X 10-2 1.9
Table 3.1: Résumé des mesures de vitesse et de pente comparées aux valeurs
déterministes correspondantes pour trois valeurs de P : 1, 4 et 8.
déformation de la distribution mesurée par la différence entre valeur moyenne et
valeur la plus probable est d’autant plus importante que le coefficient de diffusion
est élevé.
La distribution des pentes (inversement proportionnelles à la largeur du front
l) est symétrique et gaussienne. La pente la plus probable correspond à la pente
moyenne et est en bon accord avec la valeur déterministe. En d’autres termes, sous
l’effet des fluctuations intrinsèques, le front d’onde se contracte ou se dilate autour
de sa valeur moyenne. Notons qu’il peut sembler étrange de mesurer des pentes
positives alors que la pente déterministe est définie négative. Ceci s’explique par la
manière dont la pente est mesurée, en l’occurrence par une procédure d’extrapolation
linéaire au point d’inflexion du front. Il n’est donc pas exclu qu’une fluctuation locale
du nombre de particules produise une déformation du profil telle qu’une mesure
positive de la pente est possible. Ces excroissances locales du front peuvent être
évitées si l’on procède à moyenne partielle dans le temps du profil.
Ce comportement peut être expliqué qualitativement de la manière suivante.
Comme nous l’avons vu précédemment, les états stationnaires supérieur (le sommet
du front) et inférieur (le pied du front) sont séparés par un état stationnaire instable.
Comme le montre la figure 3.15, les fluctuations sont plus importantes autour de
cet état et agissent de manière symétrique précisément là où le front est localisé.
Pour accélérer le front et modifier sa pente, il aurait fallu que les fluctuations soient
maximales au pied du front de manière à induire plus facilement la transition de
l’état métastable à l’état stable. Inversement, pour le ralentir, les fluctuations plus
faibles au pied du front qu’en “tête” de front stabilisent l’état métastable vis-à-vis de
l’état stable. Ces mécanismes ne sont pas possibles dans le cas du modèle bistable
de Schlôgl et, en conséquence, il n’y a pas lieu de s’attendre à une différence de
comportement significative entre la description microscopique et déterministe tout
au moins dans la région bistable loin du point critique.
La figure 3.16 représente la variance {6r‘^{t)) de la position du front. Elle croît
de manière linéaire conformément aux résultats de la section précédente dans le cas
d’un front bistable.
