Episódio 5: a regra da cadeia em um ponto

Esse episódio foi construído com o objetivo de mostrar como as duplas, Adriano e Vívia, Andrews e Daiane, Lucas e Pedro, ao trabalharem com os gráficos e a animação de um ponto a, perceberam a regra da cadeia nesse ponto, ou seja, perceberam a derivada de uma função composta, f'

(

g

( )

a

) ( )

.g' a , nesse ponto.

A dupla, formada por Adriano e Vívia, depois de completar a tabela do item 6), conforme Figura 6.27, tentou responder a pergunta 7) sobre a expressão algébrica que poderia ser atribuída a função D

(

FoG

)

:

(

fȠg

( )

x

)

'.

Figura 6.27 - Tabela de derivada de regra da cadeia em um ponto a.

Adriano: É só fazer uma vezes a outra aqui. Sandra: É só fazer uma vezes a outra? Adriano: É sim, é só fazer uma vezes a outra. Sandra: Por quê?

Adriano: Pela regra da cadeia é isso que faz...

Adriano, ao observar a tabela, lembrou-se da fórmula para calcular a derivada da função composta, mas não ficou claro se ele sabia qual seria a expressão algébrica associada à regra da cadeia. Perguntei qual era a função composta e sua derivada. Eles responderam que era

( )

(

g x

)

sen

( )

x

f = 3 e para a derivada 3cos

( )

3x , então questionei.

Sandra: De onde saiu esse 3 mesmo? Adriano: Da g, derivada da g.

Sandra: A derivada do seno não é cosseno?... Mas aqui tá dando cos

( )

3 ! x

Vívia: A derivada do seno é cosseno.

Adriano: Tá certo!

Sandra: Mas e a derivada de sen

( )

3 ? x

Adriano: Teoricamente daria cos

( )

3 ... mas é x 3cos

( )

3x .

Perguntei de onde surgiu aquele 3.

Vívia: Da g, aqui... da derivada da g.

Vívia escreveu, em uma folha de papel, a composta e sua derivada, conforme pode ser visto na Figura 6.28.

Figura 6.28 - Cálculo da derivada da função composta f

(

g

( )

x

)

=sen

( )

3x .

Adriano e Vívia desenvolveram toda a atividade, levando em conta a animação do parâmetro a, e para generalizar o resultado expressaram na forma escrita para concluírem que a derivada da função composta f

(

g

( )

x

)

=sen

( )

3x em um determinado ponto a é

( )

(

)

(

f g x

)

' =3cos

( )

3x , no ponto a.

A dupla, formada por Andrews e Daiane, obteve os gráficos das funções derivadas

( )

(

g x

)

f' , g'

( )

x , e o gráfico da derivada da função composta,

(

f

(

g

( )

x

))

', sem suas expressões algébricas, animando o parâmetro a, conforme Figura 6.29 e completou a tabela usando essa animação.

Figura 6.29 - Gráficos das funções f'

(

g

( )

x

)

, g'

( )

x e

(

f

(

g

( )

x

))

', com a animação do parâmetro a.

Ao ser pedida a expressão algébrica que poderia ser atribuída à função

(

FoG

)

:

(

fog

( )

x

)

'

D , Daiane perguntou se era para analisar ponto a ponto.

Daiane: Mas aí vai analisar ponto a ponto?

Daiane chamou à atenção de Andrews para a expressão algébrica e, enquanto ele conversava com ela, escreveu, em uma folha de papel, as expressões algébricas das funções

( )

x sen

( )

x

f = e g

( )

x =3x e calculou suas derivadas, conforme Figura 6.30.

Andrews: Qual que é a derivada da g? Daiane: A derivada da g, 3.

Andrews: Pera aí. Primeiro eu preciso da derivada da composta... derivada da f,

composta com a g...

Figura 6.30 - Cálculo da expressão algébrica da função D

(

FoG

)

:

(

fog

( )

x

)

'.

Andrews inseriu a função obtida no software Winplot, constatando que obtinha o mesmo gráfico, porém tive a impressão de que ele estava fazendo certa confusão, ao explicar oralmente, entre a derivada da função composta e a função composta f'

(

g

( )

x

)

.

Sandra: Qual era a função composta mesmo? Andrews: f composta com g?

Sandra: Isso.

Andrews: sen

( )

3 ... Se eu derivar a função composta... vai ficar x cos

( )

3 ... falta x aparecer o 3.

Daiane: O 3 é o...

Andrews: A derivada da g, da g

( )

x é 3... Regra da cadeia é...

Sandra: Mas a função composta qual que é?

Andrews: A composta é essa... sen

( )

3 [circulou a função x sen

( )

3 na folha de papel, x

conforme Figura 6.30]. Quando eu derivo a composta cos

( )

3x ... derivada da composta vezes a derivada da g... que é a regra da cadeia... eu chego em

( )

x cos 3

Andrews: Não, não sumiu...

Sandra: Então a derivada do sen

( )

3 ...? x

Andrews: O x3 eu mantenho, quando eu derivo, eu tiro o seno e ponho o cosseno, o

resto eu mantenho.

Sandra: E esse 3 depois aparece aqui?

Andrews: Porque a derivada de

g( )x

é 3... e a derivada da composta é cos

( )

3 ... x quer dizer a derivada de f composta com g que vai ser cos

( )

3 . x

Por essa fala pude notar que Andrews se corrigiu para falar da derivada da função composta, e isso foi possível observar quando ele comparou as expressões algébricas com os gráficos obtidos pelo software Winplot.

Foi interessante notar que, embora em vários momentos, a dupla, formada por Lucas e Pedro, mencionasse que o computador era “impreciso”, a atitude deles foi mudando, no decorrer dos experimentos, e começaram a interagir com o computador, observando a animação proporcionada pelo software Winplot.

Lucas, enquanto animava o parâmetro a, dizia os intervalos em que as funções estavam definidas e discutia com Pedro suas afirmações. No entanto, Lucas anotou, em uma tabela, conforme Figura 6.31, os intervalos, em uma folha de papel, para poder, posteriormente, editar as funções com o intervalo travado.

Lucas: Agora, vamos ver... A que passa pela reta x3 .

Pedro: Qual ponto você tá analisando? Da reta x3 você tá falando? É o ponto

(

a 3 . , a

)

Lucas: O ponto A percorre o eixo x, entre os intervalos 2

π

/3 e −2π /3. Esse a

gente já fez, [mostrando o ponto P

(

a,3a

)

] esse a gente já fez [mostrando com o mouse o ponto Q

(

3a,3a

)

].

Figura 6.31 - Tabela de pontos, funções e intervalos.

Ao ser pedido para derivar a função composta f

(

g

( )

x

)

=sen

( )

3x , usando o comando

do software Winplot, Lucas preferiu calcular à mão.

Lucas: Eu vou derivar, aqui na mão, mais fácil, que daí a gente já coloca com um...

Lucas se negava a observar o gráfico e tentou, sem muito sucesso, obter a expressão algébrica. Depois de algumas tentativas, inserindo alguns valores aleatoriamente, Lucas escreveu na folha de papel a função y=3cos

( )

3x e voltou a se referir a derivada da função

composta, conforme Figura 6.32.

Lucas: Agora o fog, pêra aí...

Figura 6.32 - Cálculo da derivada da função composta f

(

g

( )

x

)

=sen

( )

3x .

Ao ser pedido para completar a tabela, eles deveriam animar o parâmetro a, de modo a poder visualizar as variações decorrentes do que acontecia com os gráficos em seus

Lucas: Não pode fazer ela algebricamente?

Respondi que ele poderia fazer como quisesse.

Lucas: É mais fácil cara! É mais rápido!

Pedro: Você quem sabe!

Pedro animava aleatoriamente o parâmetro a e comentou sobre sua dificuldade com álgebra.

Pedro: Só que eu tô... Eu bóio um pouco na álgebra! Você sabe né!... Tem coisa que é mais fácil fazer algebricamente e tem coisa que é mais fácil aqui...

Perguntei se o que ele estava fazendo era mais fácil fazer algebricamente ou numericamente.

Pedro: Não... Com esse monte de pontos é mais fácil fazer desse jeito [referindo-se à animação]... Observando o gráfico tal... digo: com o Winplot, no braço

não seria tão fácil!

Lucas: Aqui é mais fácil! É 3, 3, 3, 3 e 3!... Agora, esse daqui! Aqui vai dar 3,

sempre 3 [mostrando na tabela a coluna de DG:g'

( )

a ] e aqui também! [mostrando na tabela a coluna de

(

DF

)

oG: f'

(

g

( )

a

)

] então a gente vai

substituir ali e vai ser...

Perguntei por que ele achava que daria sempre 3 na coluna

(

DF

)

oG: f'

(

g

( )

a

)

.

Lucas: Ué, porque ali vai ser... Ah não... Aí esquece... Porque aqui não é a derivada, tá certo!

Lucas se confundiu com o fato de compor com uma função constante. Perguntei se eles já não tinham o gráfico daquela função, mas Lucas insistiu em não observar os gráficos obtidos pelo software Winplot.

Lucas: Então, mas ó! Aí vai 3 , isso aqui vezes isso aqui vai ser isso! Então vai ser x

π

2

− . Aí ó, a gente substitui... Se o a é aqui a gente substitui aqui... Vai

ficar −2π 3. Então g... esse g

( )

a aqui vai dar −2π... −2π substituindo

no cos

( )

x , dá cos

(

−2

π)

é... que no caso vai dar -1... [levantando o lápis como se quisesse fazer no ar um círculo trigonométrico] vai dar 1, aliás.

Questionei se seria 1 ou -1.

Lucas: É a mesma coisa! Dá 1.

Pedro: Vê aqui! [mostrando a animação do parâmetro a no gráfico].

Lucas: Mas o cos de −2π não é 1 ou -1?

Sandra: Sim. Mas qual que é? É 1 ou -1?

Lucas: É 1, porque eu tenho aqui... eu posso escrever aqui?... Eu tenho esse

daqui... Aqui seria o sentido horário, 2

π

... −2π seria no sentido anti- horário, vai dar 1 do mesmo jeito... Aqui seria 1.

Sugeri a eles verificarem a variação no gráfico. Mas Lucas continuou descrevendo os elementos da tabela.

Lucas: E aqui você... você faz, aqui é −π 3. Substitui lá, vai dar −π, aí você...

quando você vem aqui pra... −π é esse daqui você vem aqui e faz esse

daqui... isso daqui representa o cosseno -1. Isso daqui [referindo-se a derivada com valor 0] você substitui lá dá zero, ou seja, é... cosseno de zero

é zero!... Não, cosseno de zero é 1, desculpa!

Pedro: Nossa! Eu não concordei com as coisas aí!

Lucas: Aí esse daqui é o π 3... π 3 substituindo lá da π, cosseno de π é -1. Esse

daqui é 2π 3, substituindo lá dá 2 , cosseno de π 2 é 1 [enquanto falava π

ia escrevendo os valores obtidos na tabela]. Agora a derivada de tudo! [referindo-se a última coluna da tabela] Então esse daqui vai ser −2π 3, aí

vai dar −2π , substitui em seno de 2 , que vai dar a mesma coisa que π

cosseno...

Lucas: −2π, daí aqui vai dar −2π, isso! Aqui vai dar −2π substitui aqui! Seno

de −2π! Seno de −2π dá aqui. O seno de −2π é zero. A derivada de zero

é zero.

Sandra: Humm?

Pedro: O zero tem derivada?

Podemos notar que Lucas cometeu um erro muito comum, substituir primeiro a constante antes de calcular a derivada e, com isso, obtém uma constante e, quando deriva resulta em zero.

Lucas: O a é −2π 3, certo? Substitui o... o a ta fazendo o papel de x aqui no caso

vai! Então substitui esse −2π 3 aqui... Você faz 3 vezes isso daqui vai dar π

2

− , certo? Então vai ficar f

(

−2

π)

. f

(

−2

π)

, no caso, vai ser

(

−2π

)

sen . sen

(

−2π

)

é zero. Derivada de zero é zero!

Percebi, no momento, que eu deveria intervir com outro questionamento.

Sandra: Você substituiu os pontos primeiro para depois derivar? Lucas: Não... eu não sub...

Sandra: Ou você derivou primeiro e depois substituiu o ponto? Lucas: Ah é verdade, tá certo! Foi isso que eu fiz.

Lucas concordou e corrigiu, porém ainda sem muito sucesso

Lucas: Então vai ficar sen

( )

3a e aí eu vou derivar isso daí! Aí eu derivo isso daqui que, no caso, vai ser cos

( )

3a . A derivada disso é cos

( )

3a .

Perguntei se era aquilo mesmo, porém sem qualquer outro cálculo ele comentou que era mais fácil fazer pela regra da cadeia.

Lucas: É mais fácil fazer por regra da cadeia, vai! Nossa verdade! Muito mais fácil fazer pela regra da cadeia.

Questionei por que era mais fácil fazer pela regra da cadeia.

Lucas: Porque aqui já tá pronto!... Deixa eu ver ó! Nossa! Eu tava fazendo uma coisa muito difícil, dava pra fazer pela regra da cadeia aqui... Dava 3, -3, 3, -3 e 3.

Lucas: Ó é o seguinte: Lembra da regra da cadeia? Pra você pegar a derivada do fog, você precisa só adicionar na derivada... fazer vezes... a derivada de g na... derivada da... na derivada de f com g de x. Você faz isso... Então é só fazer isso daqui vezes... esse número que tá aqui [coluna

(

DF

)

oG: f'

(

g

( )

a

)

] vezes a derivada de g, e a derivada de g é 3. Então se

eu fizer, vai ficar 3, -3, 3, -3 e 3, acabou! Sem nenhum problema!

Embora Lucas dissesse que era só “fazer pela regra da cadeia”, tive a impressão de que ele apenas decorara a fórmula, já que as colunas da tabela conduziam à lembrança da fórmula da regra da cadeia.

Lucas, por se recusar a identificar as representações numéricas a partir da animação do gráfico para completar uma tabela, que o conduziria a identificar a derivada de uma função composta, apenas completou a tabela e permaneceu no aspecto algébrico. Podemos observar que o fato de Lucas tentar calcular a derivada da função composta, apenas algebricamente levava-o a cometer algumas confusões.

É possível notar, nesse episódio, que as duas primeiras duplas calcularam a derivada de uma função composta em um ponto a partir de uma abordagem gráfica, usando a animação proporcionada pelo software Winplot e, a partir da representação gráfica, completaram a tabela com as representações numéricas, generalizando para a representação algébrica. Já a dupla, formada por Lucas e Pedro tentou inverter o processo denotando uma forte conotação algébrica.

Dessa forma, esses cinco episódios foram elaborados a partir das gravações transcritas, que tinham por meta responder à pergunta de pesquisa desta tese,

Como o coletivo, formado por alunos-com-mídias, produz o conhecimento acerca de Função Composta e Regra da Cadeia, a partir de uma abordagem gráfica?

No primeiro episódio, a visualização, potencializada pela mídia informática, proporcionou à dupla elaborar conjecturas acerca das propriedades da composição de funções, tais como: existência de elemento neutro e não comutatividade. Ainda, a visualização

coeficientes são animados, por meio de um recurso do software Winplot. O desenvolvimento da atividade inserida nesse episódio só foi possível devido ao recurso computacional. Os alunos pensaram, com esse recurso, na elaboração de suas conjecturas.

No segundo episódio, embora os alunos tivessem dificuldade em lidar com os gráficos de funções sem as suas expressões algébricas, a interpretação, mediada pela visualização, possibilitou a elaboração de conjecturas associadas à obtenção do gráfico da função composta a partir dos gráficos das funções componentes. A animação provocou um esclarecimento sobre a inserção da função identidade para a obtenção desse gráfico. Além disso, as representações gráficas e algébricas foram articuladas pelos alunos ao avaliarem as respostas dadas pelo software Winplot, para confirmarem ou refutarem suas hipóteses.

No terceiro episódio, a coordenação entre as representações gráficas e algébricas, proporcionou às duplas enunciarem a regra da cadeia, f'

(

g

( )

x

) ( )

.g' x , desconstruindo a idéia subjacente de que a derivada de uma função composta é dada pela de função f'

(

g

( )

x

)

. A atividade foi elaborada com funções polinomiais e os alunos desenvolveram-na contrastando as notações e refutando algumas conjecturas a partir dos gráficos gerados pelo software Winplot. A visualização gráfica, comparada com a representação algébrica, e a interação entre os alunos, desconstruiu a idéia das notações para a derivada da função composta.

No quarto episódio, embora os alunos não soubessem calcular derivadas de funções que não fosse a polinomial, não tiveram dificuldade em analisar a representação gráfica e confrontá-la com as representações algébricas de modo a produzirem o conhecimento acerca da função composta, derivada e regra da cadeia, quando uma das funções não é polinomial. Embora a abordagem algébrica ainda tenha sua supremacia, ficou claro que somente seu uso pode evidenciar apenas uma manipulação de símbolos.

No quinto episódio, a interação entre a representação numérica, gerada pela animação proporcionada pelo software Winplot, e a representação gráfica, permitiu uma generalização acerca da representação algébrica para a derivada de uma função composta em um ponto. Essa generalização foi desencadeada pelas representações múltiplas e pelas atividades anteriores sobre regra da cadeia. A animação proporcionada por um recurso do software Winplot foi imprescindível para a articulação das representações gráficas e numéricas,

evidenciando a produção do conhecimento sobre a regra da cadeia junto com uma determinada mídia.

No próximo capítulo, esses dados serão analisados em profundidade à luz da literatura estudada, sobre visualização, representações múltiplas e produção do conhecimento quando as TIC estão inseridas no ambiente de aprendizagem.

No documento Tecnologias da informação e comunicação, função composta e regra de cadeia (páginas 144-157)