Episódio 2 da Professora 2 (E2P2)

O episódio que apresentamos no quadro a seguir ocorreu no momento em que o grupo avaliava a (in)correção de uma divisão de frações usando o algoritmo DND (até então novo para os participantes) da seguinte forma:

. A Professora 2 propôs um modo diferente de resolver esta divisão, distinto inclusive do modo sugerido pelo Licenciando 2 (cf. E1L2).

Quadro 30. Episódio 2 da Professora 2 (indicado por E2P2), extraído da Oficina 2 aos 27min. P2 Sabe o que eu pensei? Como ela colocou ali [concordando com outro participante], realmente

assim não dá. Iria dividir separadamente que é 0,6 e que é 0,3333... e usar aquela regrinha que ensina lá no sexto ano de arrumar multiplicando por cem, por dez, arrumar. E fazer a divisão com número. Mas aí ia dar muito trabalho e o aluno também não ia gostar muito dessa história.

Fonte: Dados transcritos da Oficina 2.

O modo de resolução de P2 é exatamente o algoritmo alternativo Conversão das

frações em decimais (CD) que consiste em “transformar as frações em decimais e operar com

eles, expressando depois o resultado em forma de fração” (CONTRERAS, 2012, p. 51). Ela demonstrou conhecimento dele (c1, KoT), ainda que porventura não saiba tal nomenclatura, ao explicar que primeiro converteria em 0,6 : 0,3333..., para depois utilizar “aquela regrinha que se ensina lá no sexto ano de arrumar multiplicando por cem, por dez, arrumar” e, então, finalizar a operação.

A “regrinha” em questão diz respeito ao procedimento de transformar a representação decimal em fração multiplicando numerador e denominador por potências de dez (c2, KoT). Entendemos que ela é especialmente útil para o caso de 0,6, mas em relação à 0,3333... seria mais adequado usar o conceito de fração geratriz da dízima. Conceito este que a professora lembrou alguns minutos depois ao ver outra dízima (1,666...) no mesmo problema: “sabe o que eu já ia falar que tava pensando, de fazer aquele negócio de dízima, a geratriz.” (cf. E3P1). Portanto, temos o indício de que ela conhece o conceito de fração geratriz da dízima (i1, KoT). Acrescente-se que ela sabe que a referida “regrinha” pertence ao currículo do 6º ano demonstrando, assim, conhecimento do que deve ser ensinado na referida etapa escolar (c3, KMLS).

Destacamos que ao converter uma fração em decimal realizando a divisão entre numerador e denominador, P2 mostra conhecer a interpretação de fração (ou subconstructo)

quociente (c4, KoT), ainda que porventura não conheça esta nomenclatura.

Neste episódio foram utilizadas duas representações (simbólicas) de frações: como divisão indicada ( e ) e decimais (0,6 e 0,3333..., respectivamente) (c5, KoT).

Além do indício de conhecimento anteriormente mencionado (sobre fração geratriz), percebemos outros. Após propor o modo alternativo para resolver a divisão (com a conversão em decimais), a professora afirmou que ele “ia dar muito trabalho e o aluno não ia gostar”. Isto nos sugeriu conhecimento sobre a quantidade de etapas envolvidas no processo de resolução (i2, KoT). E, ainda, que isto poderia ser uma barreira para a aprendizagem do aluno (i3, KFLM).

Sobre o indício de conhecimento 1. Ao realizarmos a entrevista utilizando nosso procedimento metodológico padrão de apresentar o episódio e realizar os questionamentos, foi possível confirmar o indício de que ela conhece o procedimento de calcular a fração geratriz de uma dízima (c6, KoT): “Quando eu tenho 0,333..., 0,555... ou 0,444..., o algarismo que se repete ele mesmo eu vou dividir por nove. E se fosse 0,3232323232 são dois algarismos diferentes repetindo, então usaria 99” (3ª fala a seguir). Também foi possível reforçar o conhecimento c2, quanto ao procedimento de obtenção da fração geratriz de um decimal finito (1ª fala de P2).

I Teve um momento que você falou de fração geratriz. Como você entende essa fração geratriz e como isso se encaixa aqui [no episódio]?

P2 Ah, tá. Porque o 0,6 que apareceu é um número, de um inteiro ele não ocupou todo. Faltou o 0,4 pro todo. E eu poderia direto já escrever 6 décimos. Já 0,333... começou a repetir o mesmo algarismo, então é uma divisão não exata. Ele vai sempre sobrar resto que é diferente de zero. I Sobrar resto na divisão da chave?

P2 É. Na divisão que os alunos não gostam. Aqui [no quociente] ia dar zero e o resto seria diferente de zero. E que toda vez que você tentasse colocar o valor no quociente, ia sobrar o mesmo resto, a mesma quantidade de resto. Então eu poderia escrever 3 nonos.

I Por que três nonos?

P2 Aí vai a regra de novo. Quando eu tenho 0,333...; 0,555... ou 0,444..., o algarismo que se repete ele mesmo eu vou dividir por nove. E se fosse 0,3232323232 são dois algarismos diferentes repetindo, então usaria 99. Apesar daquela demonstração toda da dízima.

Percebemos um conhecimento conceitual de dízima periódica (c7, KoT), cuja explicação foi bem detalhada e muito parecida com a definição presente na literatura matemática (VIANNA, 1914). Ela conhece que a dízima periódica resulta da conversão de uma fração em decimal, cujos restos das divisões sucessivas e reiteradas são sempre iguais e não nulos (1ª fala), de modo que os algarismos no quociente reaparecem constantemente e na mesma ordem (2ª fala).

Sobre os indícios de conhecimento 2 e 3. Perguntamos para a professora como o número de etapas envolvidas no algoritmo PC e no de CD poderia interferir na aprendizagem do aluno. Para responder ela iniciou resolvendo dos dois modos (conforme imagens do trecho a seguir) e contabilizando o número de etapas envolvidas (que ela chamara de “fases”). Em relação ao CD ela afirma que seria necessário passar por “quatro fases para chegar na resposta” (cf. parte A), sem contar os dois cálculos de rascunho (cf. parte B) e, ainda, poderia ser necessário usar outros modos para justificar as etapas em caso de dúvida de alunos (“Alguém vai falar: ‘Mas como, professora?’. Aí eu tenho que mostrar pra eles no quadro. Ou às vezes eu mostro em forma de fração, com a barrinha de chocolate, colorindo”). Em relação ao algoritmo PC ela menciona somente duas etapas (“numerador de um, denominador do outro; denominador da primeira fração com o numerador da segunda fração”). Ela evidenciou características dos dois algoritmos em relação à quantidade de etapas necessárias para resolver a operação referida (c8, KoT), confirmando o indício 2.

I [Após descrever os cálculos envolvidos nas imagens ao lado, ela conclui:]

P2 Alguém vai falar: “Mas como, professora?”. Aí eu tenho que mostrar pra eles no quadro. Ou às vezes eu mostro em forma de fração, com a barrinha de chocolate, colorindo. Quem entra lá [na sala] pensa que estou brincando com as crianças, mas tem horas que tem que fazer assim pra eles visualizarem. Quer dizer, são 4 fases para chegar na resposta. E quando eu falo para multiplicar cruzado: numerador de um, denominador do outro; denominador da

primeira fração com o numerador da segunda fração. Só de eu estar perdendo tempo de falar A

isso, eles já estão na resposta. Às vezes, a minha falta de tempo (eu precisar cumprir um conteúdo), a regra segura. Apesar de ter outros métodos.

Eu tirava dois dias da semana, uma hora e meia, para atender os alunos. E quando ia, eu tentava fazer ele pensar: e se a gente fizer isso? Pode dividir esse por esse pra virar um número decimal? Ai é uma coisa entre eu e ele, dois ou três [alunos], no máximo, que iam em horário diferente. Já na sala inteira fica complicado. Enquanto um está tentando entender o que eu estaria fazendo, o outro já terminou. Ainda mais quando a gente pega no nono ano, ele já passou por outros professores de matemática que tem muito arraigado só a questão de regra. Então é complicado lá na frente ter que desconstruir, pra construir de novo.

Após a comparação dos dois algoritmos, a professora fez comentários sobre “falta de tempo” na aula, necessidade de “cumprir um conteúdo”, da diversidade de pensamentos que haveria em uma “sala inteira” e de conhecimentos prévios de alunos de 9º ano (sobre a “regra”) que pareciam indicar desvantagens de se usar o algoritmo CD em aulas regulares. Ela deixou entender que tal algoritmo seria mais passível de uso em momentos que se trabalha com poucos alunos, como é o caso dos dias que ela os atendia fora do horário regular de aula. Diante de suas considerações, acreditamos não ter elementos suficientes para confirmar o indício 3 que diz respeito às características de aprendizagem dos estudantes (KFLM).

Sintetizamos no quadro a seguir todos os resultados obtidos neste episódio.

Quadro 31. Conhecimentos identificados a partir de E2P2.

CONHECIMENTO DE... ^SUBDOMÍNIO

MTSK

1. um algoritmo alternativo: conversão das frações em decimais KoT 2. procedimento de transformar um decimal em fração multiplicando numerador e

denominador por potências de dez ^KoT

3. um conteúdo que deve ser ensinado numa dada etapa escolar: transformação de

decimal em fração pertence ao currículo do 6º ano ^KMLS

4. interpretação de fração: subconstructo quociente KoT

5. duas representações (simbólicas) de frações: como divisão indicada ( e ) e decimais (0,6 e 0,3333..., respectivamente)

KoT 6. procedimento de calcular a fração geratriz de uma dízima KoT

7. conceito de dízima periódica KoT

8. característica de algoritmos de divisão de frações quanto à quantidade de etapas envolvidas na solução: a resolução de envolve quatro etapas e dois cálculos auxiliares ao usar o algoritmo conversão em decimais e duas etapas usando o algoritmo produtos cruzados

KoT

Fonte: Produção própria do autor.