EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM SÓLIDOS

SÓLIDOS

Em Lienhard IV e Lienhard V (2005) apresenta-se uma definição para a Primeira Lei da

Termodinâmica (também conhecida como Lei da Conservação de Energia), a qual afirma que

a taxa de variação da energia interna de um sistema fechado é dada pela soma das taxas de troca de calor e de trabalho que o sistema efetua (ou realiza) com o meio ao longo do tempo – Equação (3.1).

(3.1)

Na Equação (3.1) a parcela representa a taxa de trabalho do sistema, a parcela

corresponde à taxa de variação da energia térmica interna do sistema e a variável representa a taxa de troca de calor do sistema, todas expressas em J/s ou W. Em Lienhard IV e Lienhard V (2005) afirma-se que a análise do processo de transferência de calor pode geralmente ser feito sem referência a qualquer processo de trabalho (Figura 3.1b), embora a transferência de calor possa ser combinada com o trabalho na análise dos sistemas reais, caso necessário. A Primeira Lei da Termodinâmica considera então que a energia térmica é conservativa e que, a partir de sua aplicação a um volume de controle qualquer, é possível estabelecer o equilíbrio da energia térmica neste volume. A Figura 3.1 apresenta um volume de controle ao qual é aplicada a Primeira Lei da Termodinâmica.

(a) (b)

Figura 3.1: Aplicação da Primeira Lei da Termodinâmica: (a) Caso geral e (b) Caso sem consideração da taxa de trabalho. Fonte: Lienhard IV e Lienhard V, 2005.

A fim de compreender e estabelecer o equilíbrio da energia térmica de um volume de controle, como apresentado pela Figura 3.2, faz-se as seguintes considerações iniciais:

Capítulo 3 – Análise do Campo Térmico com abordagem via Método dos Elementos Finitos

a) O volume de controle apresenta uma parcela dR que está submetida a um campo térmico dado por ( ) no qual t representa o tempo e x, y e z as coordenadas de um ponto de interesse no volume de controle em relação a um sistema de coordenadas cartesianas adotado;

b) Ao diferencial de superfície (dS) pode-se associar dois vetores de interesse, sendo o primeiro um vetor unitário e normal à superfície, identificado por ⃗ (| ⃗ | 1), e o segundo, denominado vetor fluxo de calor, identificado por ⃗  o qual representa a quantidade de calor que flui numa unidade de área por unidade de tempo (em W/m²) naquele ponto da superfície.

Figura 3.2: Volume de controle com fluxo de calor. Modificado de Lienhard IV e Lienhard V, 2005.

Em Lienhard IV e Lienhard V (2005) afirma-se que, a partir da observação do fluxo de calor, este decorrente da não uniformidade de temperatura em um corpo, duas ideias podem ser obtidas acerca de tal fluxo de calor como mostra a Equação (3.2).

⃗ | ⃗ | | | (3.2) | ⃗ | | |

As considerações apresentadas pela Equação (3.2) significam, respectivamente, que o vetor fluxo de calor ⃗ e o gradiente de temperatura atuam em direções opostas e ainda que a magnitude do fluxo é diretamente proporcional ao referido gradiente de temperatura.

Capítulo 3 – Análise do Campo Térmico com abordagem via Método dos Elementos Finitos

O gradiente de temperatura ( ) referido na Equação (3.2) corresponde a um vetor associado ao escalar T que possui direção no sentido do aumento máximo de temperatura em cada ponto e está representado, em coordenadas cartesianas, pela Equação (3.3).

⃗ (3.3)

Dessa forma, a partir da Equação (3.2) e Equação (3.3), é possível escrever o gradiente térmico, de acordo com a Lei de Fourrier em campo tridimensional, segundo a forma simplificada apresentada na Equação (3.4), na qual é uma propriedade térmica que exprime a maior ou menor capacidade de condução de calor de um dado material, denominada condutividade térmica. Destaca-se aqui que o fluxo de calor é uma grandeza vetorial.

⃗ (3.4)

O valor de , para o caso mais geral, depende tanto da posição quanto da temperatura do ponto no sólido. Entretanto, a grande parte dos materiais pode ser assumida como homogênea, permitindo que seja tomado como constante.

Uma vez entendida a Lei de Fourrier para três dimensões, é possível definir a equação da condução de calor para um volume de controle (R), delimitado por uma superfície de contorno (S), como o apresentado pela Figura 3.2. Retomando a Equação (3.1) e desconsiderando a parcela referente à taxa de trabalho do sistema, obtém-se a Equação (3.5), representando a taxa de troca de calor do sistema.

(3.5)

Segundo Rigobello (2011), o referido volume de controle (Figura 3.2) pode ser entendido, para fins de análise, como uma estrutura inteira, parte de uma estrutura ou ainda uma pequena porção de material num dado ponto no espaço.

A troca de energia do volume de controle com o meio envolvente deve considerar o fluxo de calor que entra ou sai pela superfície de contorno S, assim como a geração (ou perda) de calor interno, expressa em termos de taxas. Assim, a parcela de energia que sai do volume de controle a cada instante através da superfície S na direção normal a mesma é dada pela

Capítulo 3 – Análise do Campo Térmico com abordagem via Método dos Elementos Finitos

∫ ⃗ ⃗ (3.6)

A outra parcela de energia térmica para o mesmo volume de controle corresponde à geração interna de energia, definida como uma quantidade de calor interno por unidade de tempo ( ̇), em W/m³, a qual pode ser originada a partir de reações químicas, nucleares entre outras. A Equação (3.7) quantifica a referida energia interna gerada no volume de controle.

∫ ̇ (3.7)

Dessa forma, utilizando as parcelas de energia definidas pela Equação (3.6) e Equação (3.7), juntamente com a Equação (3.5), é possível equacionar a taxa de mudança de energia

calorífica (global) no volume de controle – Equação (3.8).

∫ ⃗ ⃗ ∫ ̇ (3.8)

Uma última consideração a ser feita parte do fato de que os sólidos podem ser, frequentemente, tomados como incompressíveis e, dessa forma, o volume do mesmo é considerado constante durante todo o processo, o que resulta em uma relação da termodinâmica que representa a taxa de mudança de energia calorífica (Equação (3.9)), na qual representa a densidade e o calor específico do material.

∫

(3.9)

Combinando a Equação (3.8) e Equação (3.9) se obtém a Equação (3.10), a qual representa o equilíbrio de energia térmica para um dado volume de controle.

∫

∫ ⃗ ⃗ ∫ ̇ (3.10)

Observa-se, no entanto, que um dos termos da Equação (3.10) está expresso na forma de integral de superfície, enquanto os demais estão expressos por integrais de volume. Aplica-se neste caso, para a obtenção da equação de equilíbrio em integral de volume, o Teorema da Divergência de Gauss, o qual, juntamente com algumas manipulações matemáticas, resulta na forma dada pela Equação (3.11).

Capítulo 3 – Análise do Campo Térmico com abordagem via Método dos Elementos Finitos

∫

∫ ⃗ ∫ ̇ (3.11)

A Equação (3.11) tem seus termos reagrupados de forma a se obter uma relação mais compacta, apresentada por meio da Equação (3.12).

∫ [

⃗ ̇ ] (3.12)

A fim de encontrar a forma final da equação diferencial para a condução de calor em sólidos considera-se que o volume R é arbitrário e, portanto, diferente de zero, fazendo com que o integrando da Equação (3.12) seja, obrigatoriamente, igual a zero, pois, o sistema foi definido como conservativo. Feitas essas considerações, obtém-se a Equação (3.13), denominada

equação diferencial da difusão (condução) de calor em sólidos.

( ) ̇

(3.13)